Zbiory liczbowe. Liczby rzeczywiste sprawdzian 2 LiczBit

Zbiory liczbowe. Liczby rzeczywiste

Sprawdzian 2

Grupa A

Zadanie 1

Zestaw ze sobą i uszereguj od najmniejszej do największej liczby $p$, $q$ oraz $r$, jeśli: $$p = 3|1 - \sqrt{3}| - |3\sqrt{3} - 5| + |-2| \cdot |4|$$ $$q = \dfrac{2\frac{2}{5} + 3{,}4 : 2\frac{1}{8}}{0,(3)}$$ $$r = \text{NWD}(56, 88)$$

Wskazówki:

Definicja wartości bezwzględnej: $|x| = x$ dla $x \ge 0$ oraz $|x| = -x$ dla $x < 0$. Oszacuj wartość $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ oraz porównaj kwadraty liczb: $(3\sqrt{3})^2 = 27$ i $5^2 = 25$, aby prawidłowo ustalić znaki pod modułami.
W liczbie $q$ zamień ułamek okresowy na zwykły ($0,(3) = \frac{1}{3}$) oraz przedstaw liczby dziesiętne i mieszane w postaci ułamków nieskracalnych lub niewłaściwych. Pamiętaj o kolejności działań – dzielenie wykonujemy przed dodawaniem.
Największy wspólny dzielnik $\text{NWD}(56, 88)$ wyznacz za pomocą rozkładu na czynniki pierwsze lub stosując algorytm Euklidesa.
Uszeregowanie od najmniejszej do największej oznacza zapis w porządku rosnącym.

Rozwiązanie krok po kroku:

Obliczenie wartości liczby $p = 3|1 - \sqrt{3}| - |3\sqrt{3} - 5| + |-2| \cdot |4|$:
Szacujemy wielkości niewymierne: $\sqrt{3} \approx 1{,}73$. Ustalamy znaki wyrażeń wewnątrz poszczególnych modułów:
- Dla pierwszego modułu: ponieważ $1 < \sqrt{3}$, różnica jest ujemna ($1 - \sqrt{3} < 0$), więc zmieniamy znak na przeciwny: $$|1 - \sqrt{3}| = -(1 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1$$
- Dla drugiego modułu: porównujemy kwadraty składników: $$(3\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27, \quad 5^2 = 25$$ Ponieważ $27 > 25$, zachodzi $3\sqrt{3} > 5$, zatem $3\sqrt{3} - 5 > 0$. Opuszczamy moduł bez zmiany znaków: $$|3\sqrt{3} - 5| = 3\sqrt{3} - 5$$
- Dla iloczynu wartości bezwzględnych: $$|-2| = 2, \quad |4| = 4 \implies |-2| \cdot |4| = 2 \cdot 4 = 8$$
Podstawiamy otrzymane zależności do wzoru na liczbę $p$: $$\begin{aligned} p &= 3(\sqrt{3} - 1) - (3\sqrt{3} - 5) + 8 \\[8pt] &= 3\sqrt{3} - 3 - 3\sqrt{3} + 5 + 8 \\[8pt] &= (3\sqrt{3} - 3\sqrt{3}) + (-3 + 5 + 8) \\[8pt] &= 10 \end{aligned}$$ Wartość liczby $p$ wynosi $10$.
Obliczenie wartości liczby $q = \dfrac{2\frac{2}{5} + 3{,}4 : 2\frac{1}{8}}{0,(3)}$:
Zamieniamy ułamek okresowy w mianowniku na ułamek zwykły: $$0,(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$ Obliczamy wartość licznika ułamka głównego. W pierwszej kolejności wykonujemy dzielenie. Zamieniamy ułamek dziesiętny i liczbę mieszaną na ułamki niewłaściwe: $$3{,}4 = \frac{34}{10} = \frac{17}{5}$$ $$2\frac{1}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{17}{8}$$ Dzielenie zastępujemy mnożeniem przez odwrotność dzielnika, skracając liczbę $17$: $$\begin{aligned} 3{,}4 : 2\frac{1}{8} &= \frac{17}{5} : \frac{17}{8} \\[8pt] &= \frac{17}{5} \cdot \frac{8}{17} \\[8pt] &= \frac{8}{5} \end{aligned}$$ Dodajemy ułamki o wspólnym mianowniku w liczniku: $$\begin{aligned} 2\frac{2}{5} + \frac{8}{5} &= \frac{12}{5} + \frac{8}{5} \\[8pt] &= \frac{20}{5} = 4 \end{aligned}$$ Dzielimy otrzymany licznik przez mianownik: $$\begin{aligned} q &= \dfrac{4}{\dfrac{1}{3}} \\[8pt] &= 4 : \frac{1}{3} \\[8pt] &= 4 \cdot 3 = 12 \end{aligned}$$ Wartość liczby $q$ wynosi $12$.
Obliczenie wartości liczby $r = \text{NWD}(56, 88)$:

Sposób I – Rozkład na czynniki pierwsze za pomocą pionowej kreski:
Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze: $$\begin{array}{r|l} 56 & 2 \\ 28 & 2 \\ 14 & 2 \\ 7 & 7 \\ 1 & \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{r|l} 88 & 2 \\ 44 & 2 \\ 22 & 2 \\ 11 & 11 \\ 1 & \end{array}$$ Zapisujemy rozkłady w postaci potęgowej: $$\begin{aligned} 56 &= 2^3 \cdot 7^1 \\[8pt] 88 &= 2^3 \cdot 11^1 \end{aligned}$$ Największym wspólnym dzielnikiem jest iloczyn czynników wspólnych w najniższej potędze: $$r = \text{NWD}(56, 88) = 2^3 = 8$$
Sposób II – Zastosowanie algorytmu Euklidesa:
Wykonujemy kolejne dzielenia z resztą: $$\begin{aligned} 88 &= 1 \cdot 56 + 32 \\[8pt] 56 &= 1 \cdot 32 + 24 \\[8pt] 32 &= 1 \cdot 24 + 8 \\[8pt] 24 &= 3 \cdot 8 + 0 \end{aligned}$$ Ostatnią niezerową resztą jest $8$, stąd: $$r = \text{NWD}(56, 88) = 8$$
Porównanie otrzymanych wartości i uszeregowanie rosnące:
Zestawiamy uzyskane wyniki: $$\begin{aligned} p &= 10 \\[8pt] q &= 12 \\[8pt] r &= 8 \end{aligned}$$ Porządkujemy liczby w kolejności od najmniejszej do największej: $$8 < 10 < 12$$ czyli: $$r < p < q$$ Przedstawmy położenie wyznaczonych liczb na osi liczbowej:

Odpowiedź:
$r < p < q$ (czyli: $8 < 10 < 12$)

Zadanie 2

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste spełniające poniższe równania:

a) $\left(\dfrac{5}{3}x - 2\right)(-2x + 7) = 0$

b) $\dfrac{5x + 2}{3} - 2(x - 1) = \dfrac{3}{4}$

Wskazówki:

Podpunkt a): Równanie jest zapisane w postaci iloczynowej. Iloczyn dwóch wyrażeń jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedno z nich wynosi zero ($A \cdot B = 0 \iff A = 0 \lor B = 0$). Przyrównaj każdy nawias do zera i wyznacz wartości niewiadomej $x$.
Podpunkt b): W równaniu występują ułamki o mianownikach $3$ oraz $4$. Sprowadź równanie do postaci całkowitej, mnożąc obie strony przez ich najmniejszą wspólną wielokrotność, czyli $12$, a następnie pamiętaj o poprawnej redukcji wyrazów podobnych.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie iloczynowe $\left(\dfrac{5}{3}x - 2\right)(-2x + 7) = 0$:
Iloczyn jest równy zero, gdy pierwszy lub drugi czynnik jest równy zero: $$ \dfrac{5}{3}x - 2 = 0 \quad\lor\quad -2x + 7 = 0 $$ Rozwiązujemy pierwsze równanie liniowe: $$ \begin{aligned} \dfrac{5}{3}x - 2 &= 0 \\[8pt] \dfrac{5}{3}x &= 2 \end{aligned} $$ Mnożymy obie strony równania przez odwrotność ułamka stojącego przy $x$, czyli przez $\dfrac{3}{5}$: $$ x = 2 \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{5} = 1\dfrac{1}{5} $$ Rozwiązujemy drugie równanie liniowe: $$ \begin{aligned} -2x + 7 &= 0 \\[8pt] -2x &= -7 \\[8pt] x &= \dfrac{-7}{-2} = \dfrac{7}{2} = 3\dfrac{1}{2} \end{aligned} $$ Rozwiązaniami równania z podpunktu a) są zatem liczby: $$ x = \dfrac{6}{5} \quad\lor\quad x = \dfrac{7}{2} $$
Podpunkt b) Sposób I – Rozwiązujemy równanie $\dfrac{5x + 2}{3} - 2(x - 1) = \dfrac{3}{4}$ przez obustronne mnożenie przez wspólny mianownik:
Wychodzimy z wyjściowego równania: $$ \dfrac{5x + 2}{3} - 2(x - 1) = \dfrac{3}{4} $$ Najmniejszą wspólną wielokrotnością mianowników $3$ i $4$ jest liczba $12$. Mnożymy obie strony równania przez $12$: $$ 12 \cdot \left(\dfrac{5x + 2}{3} - 2(x - 1)\right) = 12 \cdot \dfrac{3}{4} $$ Mnożymy każdy ze składników z osobna: $$ \begin{aligned} 4 \cdot (5x + 2) - 24(x - 1) &= 3 \cdot 3 \\[8pt] 20x + 8 - 24x + 24 &= 9 \end{aligned} $$ Redukujemy wyrazy podobne po lewej stronie równania: $$ \begin{aligned} (20x - 24x) + (8 + 24) &= 9 \\[8pt] -4x + 32 &= 9 \end{aligned} $$ Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę: $$ \begin{aligned} -4x &= 9 - 32 \\[8pt] -4x &= -23 \end{aligned} $$ Dzielimy obie strony przez $-4$: $$ x = \dfrac{-23}{-4} = \dfrac{23}{4} = 5\dfrac{3}{4} = 5{,}75 $$
Podpunkt b) Sposób II – Rozbicie na ułamki proste i przekształcenia na ułamkach zwykłych:
Wychodzimy z wyjściowego równania: $$ \dfrac{5x + 2}{3} - 2(x - 1) = \dfrac{3}{4} $$ Rozdzielamy pierwszy ułamek na sumę oraz wymnażamy nawias przez liczbę $-2$: $$ \begin{aligned} \dfrac{5}{3}x + \dfrac{2}{3} - 2x + 2 &= \dfrac{3}{4} \\[8pt] \left(\dfrac{5}{3} - 2\right)x + \left(\dfrac{2}{3} + 2\right) &= \dfrac{3}{4} \end{aligned} $$ Sprowadzamy współczynniki liczbowe do wspólnego mianownika $3$: $$ \begin{aligned} \left(\dfrac{5}{3} - \dfrac{6}{3}\right)x + \left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{6}{3}\right) &= \dfrac{3}{4} \\[8pt] -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{8}{3} &= \dfrac{3}{4} \end{aligned} $$ Przenosimy ułamek $\dfrac{8}{3}$ na prawą stronę: $$ \begin{aligned} -\dfrac{1}{3}x &= \dfrac{3}{4} - \dfrac{8}{3} \\[8pt] -\dfrac{1}{3}x &= \dfrac{9}{12} - \dfrac{32}{12} \\[8pt] -\dfrac{1}{3}x &= -\dfrac{23}{12} \end{aligned} $$ Mnożymy obie strony równania przez $-3$: $$ \begin{aligned} x &= -\dfrac{23}{12} \cdot (-3) \\[8pt] x &= \dfrac{23}{4} = 5\dfrac{3}{4} \end{aligned} $$

Odpowiedź:
a) $x = \dfrac{6}{5} = 1\dfrac{1}{5}$ lub $x = \dfrac{7}{2} = 3\dfrac{1}{2}$

b) $x = \dfrac{23}{4} = 5\dfrac{3}{4} = 5{,}75$

Zadanie 3

Rozwiąż nierówność z jedną niewiadomą i przedstaw uzyskany zbiór rozwiązań na osi liczbowej: $$-3x + 1 - \dfrac{5 - x}{2} < 1{,}5(-x + 2)$$ a) Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą, która spełnia tę nierówność.

b) Rozstrzygnij, które spośród liczb niewymiernych: $\sqrt{11}$, $-\pi$, $-\pi - 2$ należą do zbioru rozwiązań tej nierówności.

Wskazówki:

Aby pozbyć się kreski ułamkowej, pomnóż obie strony nierówności przez mianownik równy $2$, zwracając szczególną uwagę na zmianę znaków wyrażenia w liczniku po opuszczeniu nawiasu poprzedzonego minusem.
Uporządkuj wyrazy podobne: przenieś składniki z niewiadomą $x$ na lewą stronę, a liczby na prawą stronę znaku nierówności.
Pamiętaj o podstawowej regule: dzielenie lub mnożenie obu stron nierówności przez liczbę ujemną odwraca zwrot znaku nierówności na przeciwny.
Nanieś zbiór rozwiązań na oś liczbową, zaznaczając punkt graniczny kółkiem otwartym (niezamalowanym).
Do wyznaczenia najmniejszej liczby całkowitej oraz oceny liczb niewymiernych zastosuj przybliżenia dziesiętne: $-\dfrac{9}{2} = -4{,}5$, $\pi \approx 3{,}14$ oraz $3 < \sqrt{11} < 4$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Rozwiązanie nierówności przez obustronne mnożenie przez mianownik:
Rozwiązujemy wyjściową nierówność: $$-3x + 1 - \dfrac{5 - x}{2} < 1{,}5(-x + 2)$$ Mnożymy obie strony nierówności przez $2$: $$2 \cdot (-3x + 1) - 2 \cdot \dfrac{5 - x}{2} < 2 \cdot 1{,}5(-x + 2)$$ $$2(-3x + 1) - (5 - x) < 3(-x + 2)$$ Wykonujemy mnożenie i opuszczamy nawiasy, pamiętając o zmianie znaków w wyrażeniu $-(5 - x)$: $$\begin{aligned} -6x + 2 - 5 + x &< -3x + 6 \\[8pt] -5x - 3 &< -3x + 6 \end{aligned}$$ Przenosimy wyrażenia ze zmienną $x$ na lewą stronę, a liczby na prawą stronę: $$\begin{aligned} -5x + 3x &< 6 + 3 \\[8pt] -2x &< 9 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony przez liczbę ujemną $-2$, co powoduje odwrócenie zwrotu znaku nierówności: $$\begin{aligned} x &> -\dfrac{9}{2} \\[8pt] x &> -4{,}5 \end{aligned}$$ Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział nieskończony: $$x \in \left(-\dfrac{9}{2}, +\infty\right)$$
Sposób II – Rozwiązanie nierówności z użyciem ułamków dziesiętnych:
Rozbijamy ułamek po lewej stronie na dwa składniki: $$\dfrac{5 - x}{2} = \dfrac{5}{2} - \dfrac{x}{2} = 2{,}5 - 0{,}5x$$ Podstawiamy do nierówności i redukujemy wyrazy: $$\begin{aligned} -3x + 1 - (2{,}5 - 0{,}5x) &< 1{,}5(-x + 2) \\[8pt] -3x + 1 - 2{,}5 + 0{,}5x &< -1{,}5x + 3 \\[8pt] -2{,}5x - 1{,}5 &< -1{,}5x + 3 \end{aligned}$$ Grupujemy wyrazy podobne: $$\begin{aligned} -2{,}5x + 1{,}5x &< 3 + 1{,}5 \\[8pt] -x &< 4{,}5 \quad \Big/ \cdot (-1) \\[8pt] x &> -4{,}5 \end{aligned}$$ Otrzymujemy identyczny zbiór rozwiązań: $x \in (-4{,}5, +\infty)$.
Zilustrowanie zbioru rozwiązań na osi liczbowej:
Nierówność jest ostra ($x > -4{,}5$), co oznacza, że liczba $-4{,}5$ nie należy do rozwiązań i zaznaczamy ją kółkiem otwartym (niezamalowanym). Zbiór rozwiązań tworzy półprosta biegnąca w prawo ku dodatniej nieskończoności.
Podpunkt a) Wyznaczenie najmniejszej liczby całkowitej spełniającej nierówność:
Rozwiązaniem nierówności są liczby spełniające warunek $x > -4{,}5$.

Wypisujemy liczby całkowite leżące w pobliżu wartości $-4{,}5$: $$\dots, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$$ Porównujemy wartości:
- Dla $x = -5$: zachodzi $-5 < -4{,}5$, więc liczba $-5$ nie należy do zbioru rozwiązań,
- Dla $x = -4$: zachodzi $-4 > -4{,}5$, więc liczba $-4$ należy do zbioru rozwiązań.
Zbiorem wszystkich liczb całkowitych spełniających tę nierówność jest zbiór $\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, \dots\}$. Najmniejszą liczbą całkowitą jest zatem: $$-4$$
Podpunkt b) Badanie przynależności liczb niewymiernych do zbioru rozwiązań:
Sprawdzamy kolejno każdą z trzech podanych liczb niewymiernych, porównując je z wartością $-4{,}5$:

1. Liczba $\sqrt{11}$:
Szacujemy wartość pierwiastka: $$3^2 = 9 < 11 < 16 = 4^2 \implies 3 < \sqrt{11} < 4 \implies \sqrt{11} \approx 3{,}32$$ Ponieważ $3{,}32 > -4{,}5$, liczba $\sqrt{11}$ spełnia nierówność.

2. Liczba $-\pi$:
Przyjmując przybliżenie $\pi \approx 3{,}1416$, otrzymujemy $-\pi \approx -3{,}14$. Porównujemy: $$-3{,}14 > -4{,}5$$ Liczba $-\pi$ spełnia nierówność.

3. Liczba $-\pi - 2$:
Odejmując $2$ od przybliżenia liczby $-\pi$, uzyskujemy: $$-\pi - 2 \approx -3{,}1416 - 2 = -5{,}1416$$ Porównujemy z wartością graniczną: $$-5{,}1416 < -4{,}5$$ Liczba $-\pi - 2$ nie spełnia nierówności.

Nierówność spełniają zatem liczby: $$\sqrt{11} \quad \text{oraz} \quad -\pi$$

Odpowiedź:
Zbiór rozwiązań: $x \in \left(-\dfrac{9}{2}, +\infty\right)$

a) $-4$

b) $\sqrt{11}$ oraz $-\pi$

Zadanie 4

W ramach posezonowej wyprzedaży cenę nowoczesnego roweru trekkingowego obniżono dwukrotnie, za każdym razem o identyczną wartość procentową. Po wprowadzeniu obu obniżek ostateczna kwota, jaką należało zapłacić za ten rower, wynosiła dokładnie 64% jego ceny wyjściowej. Ustal, o ile procent redukowano cenę roweru podczas każdego z tych dwóch etapów promocji.

Wskazówki:

Oznacz cenę wyjściową roweru dodatnią zmienną $c$ ($c > 0$), a wielkość procentową pojedynczej obniżki przez $p\%$ ($p \in (0, 100)$).
Zauważ, że druga obniżka jest naliczana od kwoty uzyskanej po pierwszej zmianie ceny, a nie od kwoty początkowej.
Zadanie możesz rozwiązać za pomocą klasycznego równania z niewiadomą $p$ lub wyznaczając mnożnik ułamkowy, przez który mnożona jest cena w każdym etapie.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zapisanie zależności algebraicznej opisującej kolejne obniżki ceny:
Wprowadzamy oznaczenia:
• $c$ – początkowa cena roweru trekkingowego ($c > 0$),
• $p$ – szukana wartość procentowa każdej z dwóch kolejnych obniżek ($0 < p < 100$).

Obniżenie ceny o $p\%$ oznacza pomnożenie dotychczasowej ceny przez czynnik $\left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$.
Cena roweru po pierwszej obniżce wynosi: $$c_1 = c \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$$ Cena roweru po drugiej obniżce o ten sam procent $p$ wynosi: $$\begin{aligned} c_2 &= c_1 \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right) \\[8pt] &= c \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right) \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right) \\[8pt] &= c \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^2 \end{aligned}$$ Z treści zadania wynika, że ostateczna cena stanowi $64\%$ ceny wyjściowej: $$c_2 = 64\% \cdot c = 0{,}64c$$
Sposób I – Wyznaczenie procentu obniżki z równania algebraicznego:
Przyrównujemy do siebie oba wyrażenia określające cenę końcową $c_2$: $$c \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^2 = 0{,}64c$$ Dzielimy obie strony równania przez dodatnią cenę wyjściową $c$: $$\left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^2 = 0{,}64$$ Zapisujemy liczbę $0{,}64$ w postaci ułamka zwykłego: $$\left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^2 = \dfrac{64}{100}$$ Ponieważ cena po obniżce pozostaje dodatnia, wyrażenie w nawiasie jest większe od zera ($1 - \dfrac{p}{100} > 0$). Wyciągamy pierwiastek kwadratowy z obu stron: $$\begin{aligned} 1 - \dfrac{p}{100} &= \sqrt{\dfrac{64}{100}} \\[8pt] 1 - \dfrac{p}{100} &= \dfrac{8}{10} \\[8pt] 1 - \dfrac{p}{100} &= 0{,}8 \end{aligned}$$ Przenosimy wyrazy i wyznaczamy wartość $p$: $$\begin{aligned} \dfrac{p}{100} &= 1 - 0{,}8 \\[8pt] \dfrac{p}{100} &= 0{,}2 \\[8pt] p &= 0{,}2 \cdot 100 \\[8pt] p &= 20 \end{aligned}$$ Zatem każda obniżka wynosiła $20\%$.
Sposób II – Wyznaczenie wartości obniżki za pomocą mnożnika zmiany ceny:
Niech $k$ oznacza współczynnik określający, jaką część poprzedniej ceny stanowi cena po pojedynczej obniżce ($k \in (0, 1)$).
Po dwóch kolejnych przecenach o ten sam współczynnik końcowa kwota wynosi: $$c_2 = c \cdot k \cdot k = c \cdot k^2$$ Z treści zadania wiemy, że: $$c_2 = 0{,}64c \implies k^2 = 0{,}64$$ Wyznaczamy mnożnik $k$ (uwzględniając, że $k > 0$): $$\begin{aligned} k &= \sqrt{0{,}64} \\[8pt] k &= 0{,}8 = 80\% \end{aligned}$$ Współczynnik $k = 80\%$ oznacza, że po każdej obniżce pozostawało $80\%$ dotychczasowej ceny.
Wielkość pojedynczej obniżki wynosi więc: $$100\% - 80\% = 20\%$$

Odpowiedź:
Cenę roweru każdorazowo obniżano o $20\%$.

Zadanie 5

Uzasadnij, że dla dowolnej liczby naturalnej $n$ wielocyfrowa liczba o zapisie dziesiętnym $8\underbrace{3\dots3}_{2n+1}4$ dzieli się bez reszty przez $6$.

Wskazówki:

Wykorzystaj fakt, że liczba naturalna dzieli się przez $6$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie podzielna przez $2$ oraz przez $3$, ponieważ $6 = 2 \cdot 3$, a liczby $2$ i $3$ są względnie pierwsze ($\operatorname{NWD}(2, 3) = 1$).
Podzielność przez $2$ sprawdź na podstawie ostatniej cyfry danej liczby.
Podzielność przez $3$ zbadaj przy użyciu cechy podzielności: oblicz sumę wszystkich cyfr, sumując cyfrę $8$, cyfrę $4$ oraz $2n+1$ cyfr równych $3$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Warunek podzielności przez 6 i wykazanie podzielności przez 2:
Liczba całkowita jest podzielna przez $6$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie podzielna przez $2$ oraz przez $3$, ponieważ $6 = 2 \cdot 3$ oraz $\operatorname{NWD}(2, 3) = 1$.

Dana jest liczba: $$8\underbrace{3\dots3}_{2n+1}4$$ Ostatnią cyfrą tej liczby jest $4$. Ponieważ $4$ jest cyfrą parzystą ($4 \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$), badana liczba jest parzysta, a zatem jest podzielna przez $2$.
Sposób I – Wykazanie podzielności przez 3 na podstawie sumy cyfr:
Zgodnie z cechą podzielności przez $3$, liczba naturalna dzieli się przez $3$ wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez $3$.

Rozważana liczba składa się z:
- początkowej cyfry $8$,
- dokładnie $2n+1$ cyfr równych $3$ w środku,
- końcowej cyfry $4$.
Obliczamy sumę cyfr $S$ tej liczby: $$S = 8 + (2n + 1) \cdot 3 + 4$$ Wykonujemy przekształcenia algebraiczne: $$\begin{aligned} S &= 8 + 3(2n + 1) + 4 \\[8pt] &= 12 + 6n + 3 \\[8pt] &= 6n + 15 \\[8pt] &= 3(2n + 5) \end{aligned}$$ Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną ($n \in \mathbb{N}$), wartość $2n + 5$ również jest liczbą całkowitą dodatnią. Oznacza to, że suma cyfr $S$ jest wielokrotnością liczby $3$, co dowodzi, że badana liczba jest podzielna przez $3$.
Sposób II – Wykazanie podzielności przez 3 na podstawie rozwinięcia dziesiętnego i podsumowanie:
Liczba $8\underbrace{3\dots3}_{2n+1}4$ posiada łącznie $1 + (2n + 1) + 1 = 2n + 3$ cyfry. W pozycyjnym układzie dziesiętnym możemy zapisać ją w postaci sumy wagowych potęg liczby $10$: $$L = 8 \cdot 10^{2n+2} + 3 \cdot 10^{2n+1} + 3 \cdot 10^{2n} + \dots + 3 \cdot 10^1 + 4$$ Zauważmy, że każda potęga liczby dziesięć o wykładniku naturalnym $k \ge 1$ daje resztę $1$ przy dzieleniu przez $3$: $$10^k = \underbrace{99\dots9}_{k} + 1 = 3 \cdot \underbrace{33\dots3}_{k} + 1 = 3M_k + 1$$ gdzie $M_k$ jest liczbą całkowitą. Podstawiając tę zależność do rozwinięcia dziesiętnego, otrzymujemy: $$\begin{aligned} L &= 8(3M_{2n+2} + 1) + 3 \cdot \left(10^{2n+1} + \dots + 10^1\right) + 4 \\[8pt] &= 3 \cdot 8M_{2n+2} + 8 + 3K + 4 \\[8pt] &= 3(8M_{2n+2} + K) + 12 \\[8pt] &= 3(8M_{2n+2} + K + 4) \end{aligned}$$ gdzie $K = 10^{2n+1} + \dots + 10^1$ jest liczbą całkowitą. Wyrażenie w nawiasie jest sumą liczb całkowitych, co stanowi bezpośredni dowód podzielności liczby $L$ przez $3$.

Ponieważ wykazaliśmy, że badana liczba dzieli się przez $2$ oraz przez $3$, a liczby te są względnie pierwsze, liczba $8\underbrace{3\dots3}_{2n+1}4$ jest podzielna przez $2 \cdot 3 = 6$, co kończy uzasadnienie.

Odpowiedź:
Wykazano, że dla dowolnej liczby naturalnej $n$ liczba $8\underbrace{3\dots3}_{2n+1}4$ jest podzielna przez $2$ oraz przez $3$, a w konsekwencji dzieli się przez $6$.

Grupa B

Zadanie 1

Ustal porządek niemalejący dla liczb $u$, $v$ i $w$ określonych wzorami: $$u = 2|2 - \sqrt{5}| - |2\sqrt{5} - 3| + |-3| \cdot |4|$$ $$v = \dfrac{6\frac{4}{5} + 5{,}2 : 1\frac{5}{8}}{0,(6)}$$ $$w = \text{NWD}(42, 77)$$

Zadanie 2

Rozwiąż poniższe równania z jedną niewiadomą:

a) $\left(\dfrac{3}{4}x - 2\right)(-5x + 3) = 0$

b) $\dfrac{3x - 1}{2} - 3(x + 1) = \dfrac{1}{4}$

Zadanie 3

Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności i zilustruj go graficznie na osi liczbowej: $$-2x + 1 - \dfrac{8 - 3x}{4} < 0{,}75(-x + 2)$$ a) Wskaż najmniejszą liczbę całkowitą będącą rozwiązaniem tej nierówności.

b) Oceń, które spośród podanych liczb: $\sqrt{15}$, $-\pi$, $-\pi - 2$, należą do zbioru rozwiązań tej nierówności.

Zadanie 4

W salonie ze sprzętem audio cenę profesjonalnego zestawu głośnikowego zredukowano dwukrotnie, za każdym razem stosując ten sam procent rabatu. W rezultacie obu tych zmian ostateczna cena zestawu stanowiła 81% jego ceny katalogowej sprzed promocji. Oblicz, o ile procent zmniejszano cenę tego sprzętu podczas każdej z tych obniżek.

Zadanie 5

Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej $n$ zapisana w systemie dziesiętnym liczba $7\underbrace{3\dots3}_{2n+1}2$ jest podzielna przez $6$.