Zastosowanie funkcji wykładniczej i funkcji logarytmicznej do rozwiązywania zadań umieszczonych w kontekście praktycznym kartkówka LiczBit

26.6 Zastosowanie funkcji wykładniczej i funkcji logarytmicznej do rozwiązywania zadań umieszczonych w kontekście praktycznym

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

W laboratorium biotechnologicznym prowadzono badania nad dynamiką wzrostu biomasy mikroalg hodowanych w zamkniętym fotobioreaktorze. W chwili rozpoczęcia pomiarów masa kolonii wynosiła $6\text{ g}$. Zaobserwowano, że w sprzyjających warunkach oświetlenia i stałego napowietrzania przyrost biomasy w okresie $30$ dni opisuje funkcja: $$f(t) = 6 \cdot 2^{0{,}05 \cdot t}, \quad t \in \langle 0, 30 \rangle$$ gdzie $t$ oznacza czas trwania eksperymentu w dniach, a $f(t)$ wyraża masę mikroalg w gramach po $t$ dobach od momentu zainicjowania pomiarów.

a) Wyznacz masę mikroalg po $5$ dobach od rozpoczęcia obserwacji. Wynik podaj z dokładnością do $0{,}1\text{ g}$.

b) Po ilu dniach początkowa masa hodowli ulegnie podwojeniu?

c) Po jakim czasie masa kolonii osiągnie wartość $8\text{ g}$? Wynik wyraź w dobach i pełnych godzinach z dokładnością do jednej godziny.

d) Oblicz masę mikroalg po $30$ dniach prowadzenia eksperymentu. Wynik podaj z dokładnością do $0{,}1\text{ g}$.

Wskazówki:

Aby wyznaczyć masę hodowli w zadanym dniu, wstaw odpowiednią wartość zmiennej $t$ bezpośrednio do wzoru funkcji $f(t)$.
Podwojenie masy oznacza moment, w którym wartość funkcji osiągnie dwukrotność masy początkowej, czyli $f(t) = 2 \cdot f(0)$.
Równanie postaci $a^x = b$ rozwiązujemy poprzez obustronne zlogarytmowanie: $x = \log_a b = \dfrac{\ln b}{\ln a}$.
Część ułamkową doby zamieniamy na godziny poprzez pomnożenie jej przez $24$, a następnie zaokrąglamy do najbliższej liczby całkowitej.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczenie masy mikroalg po $5$ dobach z funkcji $f(t) = 6 \cdot 2^{0{,}05 \cdot t}$:
Wstawiamy argument $t = 5$ do wzoru funkcji: $$\begin{aligned} f(5) &= 6 \cdot 2^{0{,}05 \cdot 5} \\[8pt] &= 6 \cdot 2^{0{,}25} \\[8pt] &= 6 \cdot 2^{\frac{1}{4}} \\[8pt] &= 6 \cdot \sqrt[4]{2} \end{aligned}$$ Przyjmując przybliżenie $\sqrt[4]{2} \approx 1{,}1892$, obliczamy wartość liczbową: $$\begin{aligned} f(5) &\approx 6 \cdot 1{,}1892 \\[8pt] &\approx 7{,}1352\text{ g} \end{aligned}$$ Po zaokrągleniu do części dziesiątych otrzymujemy $7{,}1\text{ g}$.
Podpunkt b) Wyznaczenie czasu potrzebnego na podwojenie masy początkowej:
Masa początkowa w chwili $t = 0$ wynosi: $$f(0) = 6 \cdot 2^{0} = 6\text{ g}$$ Podwojona masa to $2 \cdot 6\text{ g} = 12\text{ g}$. Przyrównujemy wzór funkcji do tej wartości: $$\begin{aligned} 6 \cdot 2^{0{,}05 \cdot t} &= 12 \\[8pt] 2^{0{,}05 \cdot t} &= \dfrac{12}{6} \\[8pt] 2^{0{,}05 \cdot t} &= 2^1 \end{aligned}$$ Korzystając z różnowartościowości funkcji wykładniczej o podstawie $2$, przyrównujemy wykładniki: $$\begin{aligned} 0{,}05 \cdot t &= 1 \\[8pt] \dfrac{1}{20} \cdot t &= 1 \\[8pt] t &= 20\text{ dni} \end{aligned}$$ Masa mikroalg podwoi się dokładnie po $20$ dniach.
Podpunkt c) Ustalenie momentu, w którym masa kolonii osiągnie $8\text{ g}$:
Układamy równanie wykładnicze z wartością $f(t) = 8$: $$\begin{aligned} 6 \cdot 2^{0{,}05 \cdot t} &= 8 \\[8pt] 2^{0{,}05 \cdot t} &= \dfrac{8}{6} \\[8pt] 2^{0{,}05 \cdot t} &= \dfrac{4}{3} \end{aligned}$$ Stosujemy definicję logarytmu o podstawie $2$: $$\begin{aligned} 0{,}05 \cdot t &= \log_2\left(\dfrac{4}{3}\right) \\[8pt] \dfrac{1}{20} \cdot t &= \log_2 4 - \log_2 3 \\[8pt] t &= 20 \cdot (2 - \log_2 3) \end{aligned}$$ Korzystamy z przybliżenia $\log_2 3 \approx 1{,}5850$ lub zamiany na logarytmy naturalne: $$\begin{aligned} \log_2\left(\dfrac{4}{3}\right) &= \dfrac{\ln(1{,}3333)}{\ln 2} \approx 0{,}4150 \\[8pt] t &\approx 20 \cdot 0{,}4150 \\[8pt] t &\approx 8{,}3008\text{ dnia} \end{aligned}$$ Wyznaczamy liczbę pełnych godzin z części ułamkowej doby: $$\begin{aligned} 0{,}3008 \cdot 24\text{ h} &\approx 7{,}22\text{ h} \approx 7\text{ godzin} \end{aligned}$$ Łączny czas wynosi zatem $8\text{ dni i } 7\text{ godzin}$ (czyli w przybliżeniu $199\text{ godzin}$).
Podpunkt d) Obliczenie masy kolonii po $30$ dobach:
Wstawiamy $t = 30$ do równania opisującego wzrost: $$\begin{aligned} f(30) &= 6 \cdot 2^{0{,}05 \cdot 30} \\[8pt] &= 6 \cdot 2^{1{,}5} \\[8pt] &= 6 \cdot 2^{\frac{3}{2}} \\[8pt] &= 6 \cdot 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \\[8pt] &= 12\sqrt{2} \end{aligned}$$ Podstawiamy dokładne przybliżenie $\sqrt{2} \approx 1{,}4142$: $$\begin{aligned} f(30) &\approx 12 \cdot 1{,}4142 \\[8pt] &\approx 16{,}9704\text{ g} \end{aligned}$$ Po zaokrągleniu do $0{,}1\text{ g}$ otrzymujemy $17{,}0\text{ g}$.

Odpowiedź:
a) $7{,}1\text{ g}$

b) $20\text{ dni}$

c) $8\text{ dni i } 7\text{ godzin}$ (czyli ok. $199\text{ godzin}$)

d) $17{,}0\text{ g}$

Zadanie 2

Zależność temperatury $T$ (wyrażonej w stopniach Celsjusza) stygnącego w komorze chłodniczej bloku parafiny od czasu $t$ (w minutach) opisano wzorem funkcyjnym $T(t) = 60 \cdot 2^{-0{,}05t}$. Parafinę wstawiono do chłodni o temperaturze otoczenia równej $0^\circ\text{C}$ bezpośrednio po jej uprzednim rozgrzaniu do $60^\circ\text{C}$.

a) Ustal, jaką temperaturę osiągnie parafina po upływie 20 minut od rozpoczęcia chłodzenia.

b) Oblicz temperaturę preparatu po 60 minutach procesu. Wynik podaj z dokładnością do 0,1°C.

c) Wyznacz czas, po którym temperatura woskowej masy obniży się do poziomu 15°C.

d) Po ilu minutach od umieszczenia w chłodni temperatura parafiny wyniesie dokładnie 12°C? Wynik wyraź w minutach i sekundach, podając go z dokładnością do 1 sekundy.

Wskazówki:

W podpunktach a) oraz b) wystarczy podstawić daną liczbę minut pod zmienną $t$ we wzorze funkcji i obliczyć wartość potęgi o podstawie 2.
W podpunkcie c) przyrównaj wzór funkcji do zadanej temperatury, podziel obie strony równania przez współczynnik początkowy i przedstaw obie strony w postaci potęg o tej samej podstawie.
W podpunkcie d) po podzieleniu przez stałą skorzystaj z definicji logarytmu lub zlogarytmuj równanie obustronnie, a następnie zamień podstawę logarytmu na dziesiętną i przelicz ułamkową część minuty na sekundy (mnożąc ją przez 60).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczamy temperaturę parafiny po czasie $t = 20\text{ min}$:
Wstawiamy wartość $t = 20$ do wyjściowego wzoru funkcji opisującej temperaturę: $$\begin{aligned} T(20) &= 60 \cdot 2^{-0{,}05 \cdot 20} \\[8pt] &= 60 \cdot 2^{-1} \\[8pt] &= 60 \cdot \dfrac{1}{2} \\[8pt] &= 30^\circ\text{C} \end{aligned}$$ Po 20 minutach temperatura parafiny osiągnie dokładnie $30^\circ\text{C}$.
Podpunkt b) Obliczamy temperaturę masy po czasie $t = 60\text{ min}$:
Podstawiamy wartość $t = 60$ do wzoru funkcji: $$\begin{aligned} T(60) &= 60 \cdot 2^{-0{,}05 \cdot 60} \\[8pt] &= 60 \cdot 2^{-3} \\[8pt] &= 60 \cdot \dfrac{1}{8} \\[8pt] &= \dfrac{60}{8} = \dfrac{15}{2} = 7{,}5^\circ\text{C} \end{aligned}$$ Wartość ta jest już podana z żądaną dokładnością do jednego miejsca po przecinku i wynosi $7{,}5^\circ\text{C}$.
Podpunkt c) Wyznaczamy czas, po którym temperatura wyniesie $15^\circ\text{C}$:
Układamy równanie wykładnicze, przyrównując wzór funkcji do zadanej temperatury: $$60 \cdot 2^{-0{,}05t} = 15$$ Dzielimy obie strony równania przez 60: $$2^{-0{,}05t} = \dfrac{15}{60}$$ $$2^{-0{,}05t} = \dfrac{1}{4}$$ Zapisujemy prawą stronę jako potęgę liczby 2: $$2^{-0{,}05t} = 2^{-2}$$ Korzystając z różnowartościowości funkcji wykładniczej, przyrównujemy wykładniki potęg: $$\begin{aligned} -0{,}05t &= -2 \\[8pt] t &= \dfrac{-2}{-0{,}05} \\[8pt] t &= \dfrac{2}{\frac{5}{100}} = \dfrac{200}{5} = 40\text{ min} \end{aligned}$$ Temperatura obniży się do $15^\circ\text{C}$ po upływie $40$ minut.
Podpunkt d) Wyznaczamy czas, po którym temperatura spadnie do $12^\circ\text{C}$:
Układamy odpowiednie równanie z warunków zadania: $$60 \cdot 2^{-0{,}05t} = 12$$ Dzielimy obustronnie przez 60: $$\begin{aligned} 2^{-0{,}05t} &= \dfrac{12}{60} \\[8pt] 2^{-0{,}05t} &= \dfrac{1}{5} \end{aligned}$$ Odwracając obie strony równania, otrzymujemy: $$2^{0{,}05t} = 5$$ Stosujemy definicję logarytmu, aby wyznaczyć wykładnik potęgi: $$\begin{aligned} 0{,}05t &= \log_2 5 \\[8pt] t &= \dfrac{\log_2 5}{0{,}05} \\[8pt] t &= 20 \log_2 5 \end{aligned}$$ Aby wyznaczyć przybliżoną wartość liczbową, zamieniamy podstawę logarytmu na dziesiętną: $$\log_2 5 = \dfrac{\log 5}{\log 2} \approx \dfrac{0{,}69897}{0{,}30103} \approx 2{,}32193$$ Obliczamy czas w minutach: $$t \approx 20 \cdot 2{,}32193 = 46{,}4386\text{ min}$$ Przeliczamy część ułamkową minuty na sekundy: $$0{,}4386 \cdot 60\text{ s} \approx 26{,}32\text{ s} \approx 26\text{ s}$$ Czas potrzebny na ostygnięcie do $12^\circ\text{C}$ wynosi w zaokrągleniu do 1 sekundy: $46\text{ min } 26\text{ s}$.

Odpowiedź:
a) $30^\circ\text{C}$

b) $7{,}5^\circ\text{C}$

c) $40\text{ min}$

d) $\approx 46\text{ min } 26\text{ s}$ (dokładnie $20 \log_2 5\text{ min}$)

Zadanie 3

Pani Joanna ulokowała w banku kwotę $15\,000\text{ zł}$ na rachunku ze stałym rocznym oprocentowaniem wynoszącym $8\%$ oraz kwartalną kapitalizacją odsetek. W instytucji tej każdorazowo przy kapitalizacji pobierany jest $19$-procentowy podatek od dochodów kapitałowych.

a) Wyznacz kwotę czystego zysku, jaki właścicielka rachunku uzyska po upływie $5$ kwartałów.

b) Ustal, po ilu co najmniej pełnych kwartałach wygenerowany zysk netto osiągnie próg co najmniej $1000\text{ zł}$.

Wskazówki:

Kapitalizacja kwartalna oznacza, że w ciągu jednego roku odsetki dopisywane są czterokrotnie. Nominalną roczną stopę procentową $8\%$ należy zatem podzielić przez $4$, aby otrzymać kwartalną stopę procentową brutto: $r_{kw} = \frac{8\%}{4} = 2\%$.
Podatek od zysków kapitałowych wynosi $19\%$. Oznacza to, że po potrąceniu podatku do kapitału dopisywane jest $100\% - 19\% = 81\%$ wyliczonych odsetek. Rzeczywista kwartalna stopa procentowa netto wynosi: $r_{netto} = 2\% \cdot 0{,}81 = 1{,}62\%$.
Kapitał po $n$ kwartałach z uwzględnieniem podatku przy każdej kapitalizacji wyraża się wzorem: $K_n = K_0 \cdot (1 + r_{netto})^n$, a czysty zysk to różnica między kapitałem końcowym a wpłaconym: $Z_n = K_n - K_0$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie kwartalnej stopy oprocentowania netto (po opodatkowaniu):
Roczne oprocentowanie wynosi $8\%$. Ponieważ rok ma $4$ kwartały, stopa oprocentowania brutto za jeden kwartał wynosi: $$r_{kw} = \dfrac{8\%}{4} = 2\% = 0{,}02$$ Od dopisywanych odsetek bank odprowadza $19\%$ podatku, co oznacza, że klient otrzymuje $81\%$ wypracowanej kwoty. Kwartalna stopa netto wynosi zatem: $$\begin{aligned} r_{netto} &= 2\% \cdot (1 - 0{,}19) \\[8pt] &= 2\% \cdot 0{,}81 = 1{,}62\% = 0{,}0162 \end{aligned}$$ Czynnik wzrostu kapitału w każdym kwartale jest równy: $$1 + r_{netto} = 1 + 0{,}0162 = 1{,}0162$$
Podpunkt a) Obliczenie zysku netto po upływie $5$ kwartałów:
Kwota początkowa wynosi $K_0 = 15\,000\text{ zł}$, a liczba okresów kapitalizacji to $n = 5$.

Sposób I – Zastosowanie wzoru na procent składany:
Obliczamy stan oszczędności po $5$ kwartałach: $$\begin{aligned} K_5 &= K_0 \cdot (1{,}0162)^5 \\[8pt] &= 15\,000 \cdot (1{,}0162)^5 \end{aligned}$$ Wyznaczamy wartość potęgi: $$(1{,}0162)^5 \approx 1{,}0836674$$ Podstawiamy i zaokrąglamy do pełnych groszy: $$\begin{aligned} K_5 &\approx 15\,000 \cdot 1{,}0836674 \\[8pt] &\approx 16\,255{,}01\text{ zł} \end{aligned}$$ Czysty zysk to różnica kapitału końcowego i początkowego: $$\begin{aligned} Z_5 &= K_5 - K_0 \\[8pt] &= 16\,255{,}01\text{ zł} - 15\,000\text{ zł} \\[8pt] &= 1255{,}01\text{ zł} \end{aligned}$$
Sposób II – Kapitalizacja kwartał po kwartale:
Obliczamy stan konta i naliczane odsetki netto w kolejnych kwartałach: $$\begin{aligned} \text{Kwartał 1:} \quad K_1 &= 15\,000 \cdot 1{,}0162 = 15\,243{,}00\text{ zł} \\[8pt] \text{Kwartał 2:} \quad K_2 &= 15\,243{,}00 \cdot 1{,}0162 \approx 15\,489{,}94\text{ zł} \\[8pt] \text{Kwartał 3:} \quad K_3 &= 15\,489{,}94 \cdot 1{,}0162 \approx 15\,740{,}88\text{ zł} \\[8pt] \text{Kwartał 4:} \quad K_4 &= 15\,740{,}88 \cdot 1{,}0162 \approx 15\,995{,}88\text{ zł} \\[8pt] \text{Kwartał 5:} \quad K_5 &= 15\,995{,}88 \cdot 1{,}0162 \approx 16\,255{,}01\text{ zł} \end{aligned}$$ Stąd zysk po $5$ kwartałach wynosi: $$Z_5 = 16\,255{,}01\text{ zł} - 15\,000\text{ zł} = 1255{,}01\text{ zł}$$
Podpunkt b) Ustalenie liczby kwartałów potrzebnych do osiągnięcia zysku co najmniej $1000\text{ zł}$:
Zysk netto po $n$ kwartałach ma spełniać warunek: $$Z_n \ge 1000\text{ zł}$$ Oznacza to, że kapitał zgromadzony na koncie musi wynosić co najmniej: $$\begin{aligned} K_n &\ge 15\,000\text{ zł} + 1000\text{ zł} \\[8pt] K_n &\ge 16\,000\text{ zł} \end{aligned}$$
Sposób I – Wykorzystanie nierówności wykładniczej:
Wstawiamy wzór ogólny na kapitał końcowy: $$\begin{aligned} 15\,000 \cdot (1{,}0162)^n &\ge 16\,000 \\[8pt] (1{,}0162)^n &\ge \dfrac{16\,000}{15\,000} \\[8pt] (1{,}0162)^n &\ge \dfrac{16}{15} \approx 1{,}06667 \end{aligned}$$ Obliczamy kolejne potęgi liczby $1{,}0162$: $$\begin{aligned} (1{,}0162)^1 &\approx 1{,}01620 \\[8pt] (1{,}0162)^2 &\approx 1{,}03266 \\[8pt] (1{,}0162)^3 &\approx 1{,}04939 \\[8pt] (1{,}0162)^4 &\approx 1{,}06639 < 1{,}06667 \\[8pt] (1{,}0162)^5 &\approx 1{,}08367 \ge 1{,}06667 \end{aligned}$$ Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest $n = 5$.

Sposób II – Analiza zysku w kolejnych kwartałach:
Wyznaczamy narastający zysk netto na koniec każdego okresu: $$\begin{aligned} Z_3 &= 15\,740{,}88\text{ zł} - 15\,000\text{ zł} = 740{,}88\text{ zł} < 1000\text{ zł} \\[8pt] Z_4 &= 15\,995{,}88\text{ zł} - 15\,000\text{ zł} = 995{,}88\text{ zł} < 1000\text{ zł} \\[8pt] Z_5 &= 16\,255{,}01\text{ zł} - 15\,000\text{ zł} = 1255{,}01\text{ zł} \ge 1000\text{ zł} \end{aligned}$$ Po $4$ kwartałach zysk wynosi $995{,}88\text{ zł}$, a zatem brakuje zaledwie $4{,}12\text{ zł}$ do przekroczenia wyznaczonego progu. Warunek zostanie więc spełniony po $5$ kwartałach.

Odpowiedź:
a) $1255{,}01\text{ zł}$

b) po $5$ kwartałach

Zadanie 4

Inwestor, pan Piotr, planuje ulokować wolne środki finansowe w kwocie 50 000 zł na rachunku oszczędnościowym o stałym oprocentowaniu z kapitalizacją odsetek. Bank przedstawił mu dwie opcje depozytowe:

Opcja A przewiduje umowę na 5 kwartałów ze stopą procentową 5% naliczaną w każdym kwartale.
Opcja B zakłada ulokowanie kapitału na 8 kwartałów przy stopie wynoszącej 3% w każdym kwartale.

W obu wariantach kapitalizacja odsetek następuje po zakończeniu każdego kwartału, a naliczane odsetki podlegają 19-procentowemu podatkowi od dochodów kapitałowych pobieranemu przy każdej kapitalizacji.

a) Który z przedstawionych wariantów zapewni panu Piotrowi większy zysk netto i jaka jest różnica zysków między tymi opcjami (w zaokrągleniu do groszy)?

b) O ile dodatkowych kwartałów należałoby przedłużyć korzystniejszą lokatę, aby łączny zysk netto wyniósł co najmniej 20 000 zł?

Wskazówki:

Skorzystaj ze wzoru na procent składany: $K_n = K_0 \cdot (1 + r)^n$, gdzie $K_0$ to kapitał początkowy, $r$ to stopa oprocentowania w jednym okresie kapitalizacji po uwzględnieniu podatku, a $n$ to liczba okresów (kwartałów).
Ponieważ 19-procentowy podatek od zysków kapitałowych jest potrącany przy każdej kapitalizacji, efektywna kwartalna stopa procentowa wynosi $r_{\text{netto}} = r_{\text{brutto}} \cdot (1 - 0{,}19) = r_{\text{brutto}} \cdot 0{,}81$.
Zysk netto z lokaty stanowi różnicę między kapitałem końcowym a wpłaconym kapitałem początkowym: $Z = K_n - K_0$.
W podpunkcie b) ułóż nierówność $K_n - K_0 \ge 20\,000$ i wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą $n$, a następnie oblicz liczbę dodatkowych kwartałów względem pierwotnego czasu trwania umowy.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczamy zysk netto dla Opcji A oraz Opcji B i ustalamy wariant korzystniejszy:
Kapitał początkowy wynosi: $$K_0 = 50\,000\text{ zł}$$ Analiza Opcji A:
Czas trwania lokaty wynosi $n_A = 5$ kwartałów. Kwartalna stopa brutto to $5\%$. Po potrąceniu $19\%$ podatku Belki kwartalna stopa netto wynosi: $$\begin{aligned} r_A &= 5\% \cdot (1 - 0{,}19) \\[8pt] &= 5\% \cdot 0{,}81 = 4{,}05\% = 0{,}0405 \end{aligned}$$ Obliczamy kapitał zgromadzony po 5 kwartałach: $$\begin{aligned} K_A &= 50\,000 \cdot (1 + 0{,}0405)^5 \\[8pt] &= 50\,000 \cdot (1{,}0405)^5 \\[8pt] &\approx 50\,000 \cdot 1{,}2195804 \approx 60\,979{,}02\text{ zł} \end{aligned}$$ Zysk netto w Opcji A wynosi: $$\begin{aligned} Z_A &= K_A - K_0 \\[8pt] &= 60\,979{,}02 - 50\,000 = 10\,979{,}02\text{ zł} \end{aligned}$$ Analiza Opcji B:
Czas trwania lokaty wynosi $n_B = 8$ kwartałów. Kwartalna stopa brutto wynosi $3\%$. Po potrąceniu podatku kwartalna stopa netto to: $$\begin{aligned} r_B &= 3\% \cdot (1 - 0{,}19) \\[8pt] &= 3\% \cdot 0{,}81 = 2{,}43\% = 0{,}0243 \end{aligned}$$ Obliczamy kapitał zgromadzony po 8 kwartałach: $$\begin{aligned} K_B &= 50\,000 \cdot (1 + 0{,}0243)^8 \\[8pt] &= 50\,000 \cdot (1{,}0243)^8 \\[8pt] &\approx 50\,000 \cdot 1{,}2117621 \approx 60\,588{,}11\text{ zł} \end{aligned}$$ Zysk netto w Opcji B wynosi: $$\begin{aligned} Z_B &= K_B - K_0 \\[8pt] &= 60\,588{,}11 - 50\,000 = 10\,588{,}11\text{ zł} \end{aligned}$$ Porównanie ofert:
Porównujemy wypracowane zyski: $$10\,979{,}02\text{ zł} > 10\,588{,}11\text{ zł}$$ Korzystniejszą propozycją jest Opcja A. Różnica zysków wynosi: $$\Delta Z = 10\,979{,}02 - 10\,588{,}11 = 390{,}91\text{ zł}$$
Podpunkt b) Wyznaczamy liczbę kwartałów, o jaką należy przedłużyć Opcję A:
Korzystniejszą ofertą jest Opcja A z kwartalną stopą netto $r_A = 0{,}0405$. Chcemy, aby zysk netto po $n$ kwartałach wyniósł co najmniej $20\,000\text{ zł}$: $$Z_n \ge 20\,000$$ Ponieważ $Z_n = K_n - K_0$, otrzymujemy warunek na kapitał końcowy: $$\begin{aligned} K_n - 50\,000 &\ge 20\,000 \\[8pt] K_n &\ge 70\,000 \end{aligned}$$ Wstawiamy wzór na kapitał końcowy: $$50\,000 \cdot (1{,}0405)^n \ge 70\,000$$ Dzielimy obie strony nierówności przez $50\,000$: $$(1{,}0405)^n \ge \dfrac{70\,000}{50\,000} \iff (1{,}0405)^n \ge 1{,}4$$ Sprawdzamy wartości potęg czynnika kapitalizującego dla kolejnych kwartałów: $$\begin{aligned} (1{,}0405)^8 &\approx 1{,}37384 \\[8pt] K_8 &= 50\,000 \cdot 1{,}37384 = 68\,692{,}08\text{ zł} \implies Z_8 = 18\,692{,}08\text{ zł} < 20\,000\text{ zł} \end{aligned}$$ Dla $n = 9$: $$\begin{aligned} (1{,}0405)^9 &= (1{,}0405)^8 \cdot 1{,}0405 \\[8pt] &\approx 1{,}37384 \cdot 1{,}0405 \approx 1{,}42948 \\[8pt] K_9 &= 50\,000 \cdot 1{,}42948 = 71\,474{,}11\text{ zł} \implies Z_9 = 21\,474{,}11\text{ zł} \ge 20\,000\text{ zł} \end{aligned}$$ Aby zysk netto osiągnął co najmniej $20\,000\text{ zł}$, lokata musi trwać łącznie co najmniej $9$ kwartałów. Ponieważ umowa w Opcji A pierwotnie została zawarta na $5$ kwartałów, należy przedłużyć ją o: $$9 - 5 = 4\text{ kwartały}$$

Odpowiedź:
a) Korzystniejsza jest Opcja A – o 390,91 zł.

b) O 4 kwartały.

Zadanie 5

W pracowni fizykochemicznej badana jest próbka promieniotwórczego izotopu jodu $^{131}\text{I}$, którego czas połowicznego rozpadu wynosi $8$ dni.

a) Wykaż, że opierając się na ogólnym prawie rozpadu promieniotwórczego $N = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$ (gdzie $\lambda$ oznacza stałą rozpadu), zależność masy próbki o masie początkowej $40\text{ g}$ od czasu $t$ wyrażonego w dniach opisuje funkcja $f(t) = 40 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{8}}$.

b) Wyznacz masę badanego izotopu, jaka pozostanie w próbce po upływie $12$ dni od rozpoczęcia pomiaru.

c) Oblicz, po ilu dniach i godzinach masa izotopu zmniejszy się do wartości $1\text{ g}$. Wynik podaj z dokładnością do 1 godziny.

Wskazówki:

Czas połowicznego rozpadu $T_{1/2}$ to czas, po którym liczba jąder promieniotwórczych (a tym samym masa próbki) zmniejsza się do połowy wartości początkowej: $N(T_{1/2}) = \frac{1}{2}N_0$.
Wstawiając warunek $t = 8$ oraz $N = \frac{1}{2}N_0$ do wzoru wykładniczego $N = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, wyznaczamy wyrażenie na czynnik $e^{-\lambda}$ w powiązaniu z podstawą $\frac{1}{2}$.
Masa próbki $m(t)$ jest wprost proporcjonalna do liczby niestabilnych jąder $N(t)$, dzięki czemu funkcja masy $f(t)$ przyjmuje identyczną postać funkcyjną.
W podpunkcie b) zastosuj działania na potęgach o wykładniku wymiernym: $\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2^3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
W podpunkcie c) przekształć równanie wykładnicze do postaci logarytmicznej, a następnie skorzystaj ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu: $\log_2 40 = \dfrac{\ln 40}{\ln 2}$. Część ułamkową doby przelicz na godziny, mnożąc ją przez $24$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyprowadzenie wzoru funkcji $f(t)$ na podstawie prawa rozpadu promieniotwórczego:
Wychodzimy z ogólnego równania rozpadu promieniotwórczego: $$N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$$ Z definicji czasu połowicznego rozpadu wiemy, że po czasie $T_{1/2} = 8$ dni liczba nietkniętych rozpadem jąder wynosi dokładnie połowę liczby początkowej: $$N(8) = \dfrac{1}{2}N_0$$ Podstawiamy ten warunek do wyjściowego wzoru: $$\begin{aligned} N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot 8} &= \dfrac{1}{2}N_0 \\[8pt] e^{-8\lambda} &= \dfrac{1}{2} \\[8pt] \left(e^{-\lambda}\right)^8 &= \dfrac{1}{2} \\[8pt] e^{-\lambda} &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{1}{8}} \end{aligned}$$ Podstawiamy wyznaczone wyrażenie $e^{-\lambda}$ do wzoru ogólnego: $$\begin{aligned} N(t) &= N_0 \cdot \left(e^{-\lambda}\right)^t \\[8pt] &= N_0 \cdot \left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{1}{8}}\right)^t \\[8pt] &= N_0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{8}} \end{aligned}$$ Masa próbki $m$ jest wprost proporcjonalna do liczby zawartych w niej jąder ($m = \frac{N \cdot M}{N_A}$). Zatem stosunek masy chwilowej do początkowej jest równy stosunkowi liczby cząstek: $$\dfrac{m(t)}{m_0} = \dfrac{N(t)}{N_0}$$ Dla masy początkowej $m_0 = 40\text{ g}$ funkcja $f(t)$ opisująca masę pozostałego izotopu w gramach po czasie $t$ dni ma postać: $$f(t) = 40 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{8}}$$ co należało wykazać.
Podpunkt b) Obliczenie masy izotopu pozostałej po $12$ dniach:
Rozważamy funkcję rozpadu dla argumentu $t = 12$: $$f(12) = 40 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{12}{8}}$$ Upraszczamy ułamek w wykładniku potęgi: $$\dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$$ Obliczamy wartość potęgi o wykładniku ułamkowym: $$\begin{aligned} f(12) &= 40 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}} \\[8pt] &= 40 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2^3}} \\[8pt] &= 40 \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \\[8pt] &= \dfrac{20}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$ Usuwamy niewymierność z mianownika: $$\begin{aligned} f(12) &= \dfrac{20 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \\[8pt] &= \dfrac{20\sqrt{2}}{2} \\[8pt] &= 10\sqrt{2}\text{ g} \end{aligned}$$ Przyjmując przybliżenie $\sqrt{2} \approx 1{,}4142$: $$f(12) \approx 10 \cdot 1{,}4142 \approx 14{,}14\text{ g}$$
Podpunkt c) Wyznaczenie czasu rozpadu próbki do masy $1\text{ g}$:
Przyrównujemy wzór funkcji do zadanej masy końcowej $f(t) = 1$: $$40 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{8}} = 1$$ Dzielimy obie strony równania przez $40$: $$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{8}} = \dfrac{1}{40}$$ Korzystamy z własności ujemnego wykładnika potęgi: $$\begin{aligned} \left(2^{-1}\right)^{\frac{t}{8}} &= 40^{-1} \\[8pt] 2^{-\frac{t}{8}} &= 40^{-1} \\[8pt] 2^{\frac{t}{8}} &= 40 \end{aligned}$$ Z definicji logarytmu otrzymujemy: $$\dfrac{t}{8} = \log_2 40 \implies t = 8 \cdot \log_2 40$$ Rozpisujemy logarytm iloczynu: $$\begin{aligned} \log_2 40 &= \log_2 (8 \cdot 5) \\[8pt] &= \log_2 8 + \log_2 5 \\[8pt] &= 3 + \log_2 5 \end{aligned}$$ Stosujemy wzór na zmianę podstawy logarytmu przy użyciu logarytmu naturalnego: $$\log_2 5 = \dfrac{\ln 5}{\ln 2} \approx \dfrac{1{,}609438}{0{,}693147} \approx 2{,}321928$$ Wobec tego: $$\log_2 40 \approx 3 + 2{,}321928 = 5{,}321928$$ Obliczamy całkowity czas w dniach: $$t = 8 \cdot 5{,}321928 \approx 42{,}5754\text{ dnia}$$ Przeliczamy część ułamkową doby na godziny: $$0{,}5754 \cdot 24\text{ h} \approx 13{,}81\text{ h} \approx 14\text{ godzin}$$ Czas potrzebny na spadek masy próbki do $1\text{ g}$ wynosi w zaokrągleniu do 1 godziny $42\text{ dni i } 14\text{ godzin}$ (czyli łącznie $1022\text{ godziny}$).

Odpowiedź:
a) Dowód w pełnym rozwiązaniu

b) $10\sqrt{2}\text{ g} \approx 14{,}14\text{ g}$

c) ok. $42\text{ dni i } 14\text{ godzin}$ (czyli ok. $1022\text{ godz.}$)

Grupa B

Zadanie 1

W zakładzie biotechnologii przemysłowej badano przyrost masy drożdży odżywczych w laboratoryjnej kadzi o ściśle kontrolowanej temperaturze. Na starcie cyklu badawczego próbka miała masę $8\text{ g}$. Ustalono, że przez pierwsze $30$ dni procesu zachowanie hodowli jest opisywane przez zależność funkcyjną: $$g(t) = 8 \cdot 2^{0{,}04 \cdot t}, \quad t \in \langle 0, 30 \rangle$$ gdzie zmienna $t$ określa liczbę dni od momentu zapoczątkowania obserwacji, natomiast $g(t)$ reprezentuje łączną masę drożdży w gramach.

a) Oblicz masę drożdży po $5$ dniach prowadzenia procesu. Wynik zaokrąglij do $0{,}1\text{ g}$.

b) Po upływie ilu dni masa próbki ulegnie podwojeniu?

c) Po jakim czasie łączna masa drożdży wzrośnie do $10\text{ g}$? Wynik podaj w dniach i godzinach z dokładnością do jednej godziny.

d) Jaka będzie masa hodowli po $30$ dobach od startu pomiarów? Wynik zaokrąglij do $0{,}1\text{ g}$.

Zadanie 2

Przebieg stygnięcia próbki specjalistycznego płynu chłodniczego w otoczeniu o temperaturze $0^\circ\text{C}$ opisano za pomocą funkcji $T(x) = 120 \cdot 2^{-0{,}1x}$, gdzie $T$ jest temperaturą cieczy podawaną w stopniach Celsjusza ($^\circ\text{C}$), natomiast zmienna $x$ określa czas w minutach liczony od chwili umieszczenia jej w chłodziarce. Początkowa temperatura płynu po uprzednim podgrzaniu wynosiła $120^\circ\text{C}$.

a) Oblicz, jaka będzie temperatura badanego płynu po upływie 10 minut.

b) Jaką temperaturę osiągnie płyn po 50 minutach procesu? Wynik podaj z dokładnością do 0,1°C.

c) Po ilu minutach temperatura cieczy obniży się do poziomu 30°C?

d) Ustal, po jakim czasie od włożenia płynu do chłodziarki jego temperatura spadnie do 40°C. Wynik podaj z dokładnością do 1 sekundy.

Zadanie 3

Pan Artur wpłacił na rachunek oszczędnościowy kwotę $20\,000\text{ zł}$. Bank gwarantuje stałe roczne oprocentowanie równe $8\%$ z kwartalną kapitalizacją odsetek. Od zysków kapitałowych przy każdym dopisaniu odsetek pobierany jest podatek w wysokości $19\%$.

a) Oblicz zysk netto wygenerowany na tej lokacie po upływie $3$ kwartałów.

b) Ustal, po ilu kwartałach czysty zysk z tej inwestycji wyniesie co najmniej $1000\text{ zł}$.

Zadanie 4

Spółka technologiczna dysponuje kapitałem rezerwowym w wysokości 200 000 zł, który zamierza zdeponować w instytucji bankowej z zastosowaniem procentu składanego. Zarząd analizuje dwie konkurencyjne oferty:

Wariant I: depozyt terminowy na 6 kwartałów, w którym oprocentowanie w każdym kwartale wynosi 5%.
Wariant II: depozyt terminowy na 4 kwartały, w którym oprocentowanie w każdym kwartale wynosi 7%.

Obie oferty zakładają kwartalną kapitalizację odsetek oraz potrącanie 19-procentowego podatku od dochodów kapitałowych przy każdej kapitalizacji.

a) Która oferta gwarantuje spółce wyższy dochód po opodatkowaniu i o ile złotych przewyższa ona ofertę drugą (podaj wynik z dokładnością do groszy)?

b) O ile kwartałów powinien zostać wydłużony czas trwania korzystniejszej oferty, aby wygenerowany zysk netto osiągnął poziom co najmniej 70 000 zł?

Zadanie 5

W instytucie onkologii badany jest preparat leczniczy zawierający izotop promieniotwórczy, którego okres połowicznego zaniku wynosi $10$ dni.

a) Wykorzystując zależność $N = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, w której $\lambda$ oznacza stałą rozpadu, udowodnij, że funkcja $f$ opisująca pozostałą masę próbki o masie początkowej $30\text{ g}$ w zależności od liczby dni $t$ dana jest wzorem $f(t) = 30 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{10}}$.

b) Oblicz masę substancji promieniotwórczej, jaka ocaleje z próbki $30\text{ g}$ po upływie $15$ dni.

c) Ustal, po jakim czasie w badanej porcji pozostanie dokładnie $1\text{ g}$ izotopu. Wynik podaj z dokładnością do 1 godziny.

26.6 Zastosowanie funkcji wykładniczej i funkcji logarytmicznej do rozwiązywania zadań umieszczonych w kontekście praktycznym

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋