Stożek kartkówka LiczBit

30.2 Stożek

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Z brystolu przygotowano siatkę powierzchni bocznej stożka, która po rozprostowaniu na płaszczyźnie tworzy wycinek koła. Oblicz miarę kąta środkowego tego wycinka kołowego, jeżeli tworząca stożka oraz promień jego podstawy mają odpowiednio długości:

a) $l = 8\text{ cm}$ oraz $r = 3\text{ cm}$

b) $l = 6\text{ dm}$ oraz $r = 2\text{ dm}$

Wskazówki:

Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu wzdłuż tworzącej staje się wycinkiem koła, którego promień jest równy tworzącej stożka: $R = l$.
Łuk tego wycinka kołowego owija się wokół brzegu podstawy stożka, zatem jego długość jest równa obwodowi koła podstawy: $L = 2\pi r$.
Stosunek miary kąta środkowego wycinka $\alpha$ do kąta pełnego $360^\circ$ odpowiada stosunkowi długości łuku wycinka do obwodu całego koła o promieniu $l$, czyli $\dfrac{\alpha}{360^\circ} = \dfrac{r}{l}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zależności geometryczne i rysunek pomocniczy:
Rozcinając powierzchnię boczną stożka wzdłuż tworzącej $l$, otrzymujemy wycinek kołowy o promieniu $R = l$. Brzeg podstawy stożka o promieniu $r$ tworzy łuk tego wycinka:
Wyprowadzenie ogólnego wzoru na miarę kąta środkowego wycinka:
Obwód podstawy stożka o promieniu $r$ wynosi: $$Ob_p = 2\pi r$$ Promień wycinka koła odpowiada tworzącej stożka, zatem $R = l$. Pełny obwód koła o promieniu $l$ jest równy: $$Ob_k = 2\pi l$$ Ponieważ długość łuku wycinka kołowego jest równa obwodowi podstawy stożka, stosunek kąta środkowego $\alpha$ do kąta pełnego $360^\circ$ wynosi: $$\begin{aligned} \dfrac{\alpha}{360^\circ} &= \dfrac{Ob_p}{Ob_k} \\[8pt] \dfrac{\alpha}{360^\circ} &= \dfrac{2\pi r}{2\pi l} \\[8pt] \dfrac{\alpha}{360^\circ} &= \dfrac{r}{l} \end{aligned}$$ Mnożąc obustronnie przez $360^\circ$, uzyskujemy uniwersalną zależność: $$\alpha = \dfrac{r}{l} \cdot 360^\circ$$
Podpunkt a) Obliczenie kąta środkowego dla $l = 8\text{ cm}$ oraz $r = 3\text{ cm}$:
Podstawiamy dane wartości do wyprowadzonego wzoru: $$\begin{aligned} \alpha &= \dfrac{3\text{ cm}}{8\text{ cm}} \cdot 360^\circ \\[8pt] &= \dfrac{3}{8} \cdot 360^\circ \\[8pt] &= 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ \end{aligned}$$ Kąt środkowy wycinka koła będącego powierzchnią boczną stożka wynosi $135^\circ$.
Podpunkt b) Obliczenie kąta środkowego dla $l = 6\text{ dm}$ oraz $r = 2\text{ dm}$:
Wstawiamy wartości do wzoru: $$\begin{aligned} \alpha &= \dfrac{2\text{ dm}}{6\text{ dm}} \cdot 360^\circ \\[8pt] &= \dfrac{1}{3} \cdot 360^\circ = 120^\circ \end{aligned}$$ Kąt środkowy wycinka koła wynosi $120^\circ$.

Odpowiedź:
a) $135^\circ$

b) $120^\circ$

Zadanie 2

Z brystolu wycięto wycinek kołowy o kącie środkowym o mierze $216^\circ$ i promieniu równym $10\text{ cm}$. Następnie sklejono jego krawędzie boczne (promienie), otrzymując powierzchnię boczną pewnego stożka. Wyznacz długość promienia podstawy oraz wysokość tak utworzonej bryły.

Wskazówki:

Promień wycinka kołowego staje się po zwinięciu tworzącą stożka: $l = R$.
Łuk wycinka kołowego stanowi pełny obwód podstawy stożka: $L = 2\pi r$.
Wysokość stożka $h$, promień podstawy $r$ oraz tworząca $l$ tworzą trójkąt prostokątny, z którego wyznaczamy $h$ za pomocą twierdzenia Pitagorasa: $h^2 + r^2 = l^2$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza geometryczna zwijania powierzchni bocznej:
Po zwinięciu wycinka kołowego w stożek jego promień $R = 10\text{ cm}$ staje się tworzącą stożka $l$. Długość łuku tego wycinka staje się natomiast brzegiem koła podstawy stożka (obwodem o promieniu $r$).
Obliczenie długości łuku wycinka oraz promienia podstawy stożka:
Tworząca stożka jest równa promieniowi wycinka: $$l = R = 10\text{ cm}$$ Długość łuku wycinka kołowego o kącie $\alpha = 216^\circ$ i promieniu $R = 10\text{ cm}$ wynosi: $$\begin{aligned} L &= \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R \\[8pt] &= \dfrac{216^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 10 \\[8pt] &= \dfrac{3}{5} \cdot 20\pi \\[8pt] &= 12\pi\text{ cm} \end{aligned}$$ Łuk ten stanowi pełny obwód podstawy stożka o promieniu $r$: $$\begin{aligned} 2\pi r &= L \\[8pt] 2\pi r &= 12\pi \\[8pt] r &= 6\text{ cm} \end{aligned}$$
Obliczenie wysokości stożka z twierdzenia Pitagorasa i rysunek wynikowy:
Wysokość stożka $h$, promień podstawy $r$ oraz tworząca $l$ tworzą trójkąt prostokątny. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa: $$\begin{aligned} h^2 + r^2 &= l^2 \\[8pt] h^2 + 6^2 &= 10^2 \\[8pt] h^2 + 36 &= 100 \\[8pt] h^2 &= 64 \end{aligned}$$ Ponieważ wysokość jest wielkością dodatnią ($h > 0$), otrzymujemy: $$h = \sqrt{64} = 8\text{ cm}$$

Odpowiedź:
Promień podstawy stożka wynosi $r = 6\text{ cm}$, a wysokość bryły wynosi $h = 8\text{ cm}$.

Zadanie 3

Z brystolu przygotowano siatki dwóch brył obrotowych. Każda siatka składa się z wycinka kołowego tworzącego powierzchnię boczną oraz koła stanowiącego podstawę stożka. Na podstawie dokładnych wymiarów zaznaczonych na poniższych szkicach oblicz promień podstawy $r$ oraz wysokość $h$ każdego z tych stożków po ich poprawnym złożeniu:

Wskazówki:

Promień wycinka kołowego będącego pobocznicą stożka jest równy jego tworzącej: $R_{\text{wycinka}} = l$.
Długość łuku tego wycinka kołowego musi być dokładnie równa obwodowi podstawy stożka: $L_{\text{łuku}} = 2\pi r$.
Wysokość stożka $h$, promień podstawy $r$ oraz tworząca $l$ tworzą trójkąt prostokątny spełniający zależność $r^2 + h^2 = l^2$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rysunek pomocniczy i wyznaczenie tworzącej $l$ z geometrii wycinka:
Wycinek kołowy o kącie środkowym $\alpha = 120^\circ$ ma promień równy tworzącej stożka $l$. Cięciwa łącząca skrajne punkty łuku ma długość $c = 12\sqrt{3}\text{ cm}$. Wierzchołek kąta wraz z końcami cięciwy tworzy trójkąt równoramienny o ramionach długości $l$ i kącie rozwartym $120^\circ$.

Wysokość trójkąta opuszczona na podstawę dzieli kąt $120^\circ$ na dwa kąty o mierze $60^\circ$, a cięciwę na dwie równe części o długości $\dfrac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\text{ cm}$. Z funkcji sinus w trójkącie prostokątnym otrzymujemy: $$\begin{aligned} \sin(60^\circ) &= \dfrac{6\sqrt{3}}{l} \\[8pt] \dfrac{\sqrt{3}}{2} &= \dfrac{6\sqrt{3}}{l} \\[8pt] \sqrt{3} \cdot l &= 12\sqrt{3} \\[8pt] l &= 12\text{ cm} \end{aligned}$$
Podpunkt a) Wyznaczenie promienia podstawy $r$:
Długość łuku wycinka kołowego o kącie środkowym $\alpha = 120^\circ$ i promieniu $l = 12\text{ cm}$ wynosi: $$\begin{aligned} L_{\text{łuku}} &= \dfrac{120^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi l \\[8pt] &= \dfrac{1}{3} \cdot 2\pi \cdot 12 \\[8pt] &= 8\pi\text{ cm} \end{aligned}$$ Łuk ten stanowi pełny obwód koła podstawy stożka o promieniu $r$: $$\begin{aligned} 2\pi r &= 8\pi \\[8pt] r &= \dfrac{8\pi}{2\pi} \\[8pt] r &= 4\text{ cm} \end{aligned}$$
Podpunkt a) Obliczenie wysokości stożka $h$ oraz rysunek bryły po złożeniu:
Wysokość stożka wyznaczamy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa w przekroju osiowym stożka: $$\begin{aligned} r^2 + h^2 &= l^2 \\[8pt] 4^2 + h^2 &= 12^2 \\[8pt] 16 + h^2 &= 144 \\[8pt] h^2 &= 144 - 16 \\[8pt] h^2 &= 128 \\[8pt] h &= \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}\text{ cm} \end{aligned}$$
Podpunkt b) Wyznaczenie tworzącej $l$ oraz promienia podstawy $r$:
Wycinek kołowy jest półkolem ($\alpha = 180^\circ$), którego średnica wynosi $d = 12\text{ cm}$. Promień tego półkola jest równy tworzącej stożka $l$: $$\begin{aligned} l &= \dfrac{d}{2} \\[8pt] &= \dfrac{12}{2} = 6\text{ cm} \end{aligned}$$ Obliczamy długość łuku półkola o promieniu $l = 6\text{ cm}$: $$\begin{aligned} L_{\text{łuku}} &= \dfrac{180^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi l \\[8pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot 6 \\[8pt] &= 6\pi\text{ cm} \end{aligned}$$ Łuk ten po sklejeniu tworzy brzeg podstawy stożka: $$\begin{aligned} 2\pi r &= 6\pi \\[8pt] r &= \dfrac{6\pi}{2\pi} \\[8pt] r &= 3\text{ cm} \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obliczenie wysokości stożka $h$ oraz rysunek bryły po złożeniu:
Wysokość drugiego stożka obliczamy z twierdzenia Pitagorasa: $$\begin{aligned} r^2 + h^2 &= l^2 \\[8pt] 3^2 + h^2 &= 6^2 \\[8pt] 9 + h^2 &= 36 \\[8pt] h^2 &= 36 - 9 \\[8pt] h^2 &= 27 \\[8pt] h &= \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\text{ cm} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $r = 4\text{ cm}$, $\quad h = 8\sqrt{2}\text{ cm}$

b) $r = 3\text{ cm}$, $\quad h = 3\sqrt{3}\text{ cm}$

Zadanie 4

Dany jest stożek o tworzącej mającej długość $10\text{ cm}$. Wyznacz pole powierzchni bocznej tego stożka w sytuacji, gdy:

a) kąt nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy wynosi $45^\circ$,
b) wysokość bryły ma długość $8\text{ cm}$.

Wskazówki:

Pole powierzchni bocznej stożka obliczamy ze wzoru $P_b = \pi r l$, gdzie $r$ to promień podstawy, a $l$ to długość tworzącej.
Wysokość stożka $H$, promień podstawy $r$ oraz tworząca $l$ tworzą trójkąt prostokątny, w którym tworząca $l$ jest przeciwprostokątną.
W podpunkcie a) promień podstawy wyznaczamy z funkcji trygonometrycznej kosinus: $\cos\alpha = \dfrac{r}{l}$ lub z własności trójkąta prostokątnego o kątach $45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$.
W podpunkcie b) brakujący promień $r$ obliczamy z twierdzenia Pitagorasa: $r^2 + H^2 = l^2$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza trójkąta prostokątnego w stożku:
W przekroju osiowym stożka wyróżniamy trójkąt prostokątny o wierzchołkach: wierzchołek stożka $S$, środek podstawy $O$ oraz punkt na brzegu podstawy $A$. Przyprostokątnymi są wysokość $H = |SO|$ oraz promień podstawy $r = |OA|$, a przeciwprostokątną jest tworząca $l = |SA| = 10\text{ cm}$. Kąt nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy to kąt $\sphericalangle SAO = \alpha$.
Podpunkt a) Obliczenie promienia podstawy i pola powierzchni bocznej przy kącie $\alpha = 45^\circ$:
W trójkącie prostokątnym $SOA$ stosujemy definicję funkcji kosinus dla kąta $\alpha = 45^\circ$: $$\cos 45^\circ = \dfrac{r}{l}$$ Podstawiamy wartość $\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ oraz długość tworzącej $l = 10\text{ cm}$: $$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{2}}{2} &= \dfrac{r}{10} \\[8pt] r &= 10 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\[8pt] r &= 5\sqrt{2}\text{ cm} \end{aligned}$$ Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka: $$\begin{aligned} P_b &= \pi r l \\[8pt] &= \pi \cdot 5\sqrt{2} \cdot 10 \\[8pt] &= 50\sqrt{2}\pi\text{ cm}^2 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Wyznaczenie promienia podstawy i pola powierzchni bocznej przy wysokości $H = 8\text{ cm}$:
W trójkącie prostokątnym $SOA$ stosujemy twierdzenie Pitagorasa: $$r^2 + H^2 = l^2$$ Wstawiamy wartości $H = 8\text{ cm}$ oraz $l = 10\text{ cm}$: $$\begin{aligned} r^2 + 8^2 &= 10^2 \\[8pt] r^2 + 64 &= 100 \\[8pt] r^2 &= 100 - 64 \\[8pt] r^2 &= 36 \\[8pt] r &= \sqrt{36} = 6\text{ cm} \end{aligned}$$ Obliczamy pole powierzchni bocznej: $$\begin{aligned} P_b &= \pi r l \\[8pt] &= \pi \cdot 6 \cdot 10 \\[8pt] &= 60\pi\text{ cm}^2 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $P_b = 50\sqrt{2}\pi\text{ cm}^2$

b) $P_b = 60\pi\text{ cm}^2$

Zadanie 5

Dany jest trójkąt prostokątny, którego ramiona przy kącie prostym mierzą odpowiednio $5\text{ cm}$ oraz $12\text{ cm}$. Poprzez pełny obrót tej figury wokół jednej z przyprostokątnych powstaje stożek. Wyznacz pole powierzchni całkowitej utworzonej bryły obrotowej w sytuacji, gdy osią obrotu jest:

a) krótsza przyprostokątna,

b) dłuższa przyprostokątna.

Wskazówki:

W wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej powstaje stożek. Przyprostokątna stanowiąca oś obrotu jest jego wysokością $H$, druga przyprostokątna promieniem podstawy $r$, a przeciwprostokątna tworzącą stożka $l$.
Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa w wyjściowym trójkącie, aby obliczyć długość tworzącej $l$.
Pole powierzchni całkowitej stożka opisuje wzór: $P_c = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r + l)$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wyznaczenie tworzącej stożka $l$:
Niezależnie od tego, która przyprostokątna będzie osią obrotu, przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego stanie się tworzącą $l$ powstałego stożka.

Niech przyprostokątne mają długości $a = 5\text{ cm}$ oraz $b = 12\text{ cm}$.

Obliczamy długość przeciwprostokątnej z twierdzenia Pitagorasa: $$\begin{aligned} c^2 &= a^2 + b^2 \\[8pt] c^2 &= 5^2 + 12^2 \\[8pt] c^2 &= 25 + 144 \\[8pt] c^2 &= 169 \\[8pt] c &= \sqrt{169} = 13\text{ cm} \end{aligned}$$ Zatem tworząca stożka w obu wariantach wynosi $l = 13\text{ cm}$.
Podpunkt a) Obrót wokół krótszej przyprostokątnej ($a = 5\text{ cm}$):
W tym przypadku osią obrotu jest bok o długości $5\text{ cm}$, co oznacza, że: $$\begin{aligned} H_a &= 5\text{ cm} \\[8pt] r_a &= 12\text{ cm} \\[8pt] l &= 13\text{ cm} \end{aligned}$$ Obliczamy pole podstawy stożka: $$\begin{aligned} P_p &= \pi \cdot r_a^2 \\[8pt] &= \pi \cdot 12^2 = 144\pi\text{ cm}^2 \end{aligned}$$ Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka: $$\begin{aligned} P_b &= \pi \cdot r_a \cdot l \\[8pt] &= \pi \cdot 12 \cdot 13 = 156\pi\text{ cm}^2 \end{aligned}$$ Wyznaczamy pole powierzchni całkowitej: $$\begin{aligned} P_c &= P_p + P_b \\[8pt] &= 144\pi + 156\pi = 300\pi\text{ cm}^2 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obrót wokół dłuższej przyprostokątnej ($b = 12\text{ cm}$):
W tym wariancie osią obrotu jest bok o długości $12\text{ cm}$, co daje parametry stożka: $$\begin{aligned} H_b &= 12\text{ cm} \\[8pt] r_b &= 5\text{ cm} \\[8pt] l &= 13\text{ cm} \end{aligned}$$ Obliczamy pole podstawy: $$\begin{aligned} P_p &= \pi \cdot r_b^2 \\[8pt] &= \pi \cdot 5^2 = 25\pi\text{ cm}^2 \end{aligned}$$ Obliczamy pole powierzchni bocznej: $$\begin{aligned} P_b &= \pi \cdot r_b \cdot l \\[8pt] &= \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi\text{ cm}^2 \end{aligned}$$ Wyznaczamy pole powierzchni całkowitej: $$\begin{aligned} P_c &= P_p + P_b \\[8pt] &= 25\pi + 65\pi = 90\pi\text{ cm}^2 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $P_c = 300\pi\text{ cm}^2$

b) $P_c = 90\pi\text{ cm}^2$

Grupa B

Zadanie 1

Z tektury przygotowano filtr laboratoryjny w kształcie powierzchni bocznej stożka. Rozcinając ten filtr wzdłuż jednej z tworzących, rozłożono go na płaszczyźnie, uzyskując wycinek koła. Wyznacz miarę kąta środkowego otrzymanego wycinka kołowego, jeżeli bryła ma następujące wymiary:

a) tworząca ma długość $l = 6\text{ dm}$, a promień koła podstawy wynosi $r = 1\text{ dm}$

b) tworząca ma długość $l = 10\text{ cm}$, a promień koła podstawy wynosi $r = 4\text{ cm}$

Zadanie 2

Z arkusza blachy wycięto wycinek kołowy o promieniu równym $6\text{ dm}$ i kącie środkowym $120^\circ$. Zwijając ten wycinek tak, aby jego skrajne promienie się połączyły, wykonano powierzchnię boczną stożkowego leja. Ustal długość promienia podstawy oraz wysokość otrzymanej w ten sposób bryły.

Zadanie 3

W pracowni modelarskiej zaprojektowano szablony wykrojów do sklejenia dwóch modeli stożków. Każdy wykrój składa się z wycinka koła stanowiącego płaszcz boczny oraz dołączonej kołowej podstawy. Korzystając z wymiarów umieszczonych na poniższym schemacie, oblicz promień podstawy $r$ oraz wysokość $h$ każdego z gotowych modeli:

Zadanie 4

W pewnym stożku tworząca ma długość $26\text{ cm}$. Ustal pole powierzchni bocznej tej bryły, jeżeli:

a) nachylenie tworzącej względem płaszczyzny podstawy wynosi $60^\circ$,
b) odległość wierzchołka stożka od jego podstawy (wysokość) jest równa $24\text{ cm}$.

Zadanie 5

Trójkątną płytkę o kształcie trójkąta prostokątnego o bokach przy kącie prostym równych $8\text{ cm}$ oraz $15\text{ cm}$ wprawiono w ruch obrotowy wokół prostej zawierającej jedno z jej ramion. Oblicz całkowite pole powierzchni powstałego w ten sposób stożka, jeżeli obrót wykonano wokół:

a) krótszej przyprostokątnej,

b) dłuższej przyprostokątnej.

30.2 Stożek

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋