Schemat Bernoulliego kartkówka LiczBit

28.10 Schemat Bernoulliego

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Rzucamy 15 razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo wypadnięcia: a) 5 razy b) co najmniej jeden raz takiej liczby oczek, która jest podzielna przez 3.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (2 pkt)

Prawdopodobieństwo trafienia przez strzelca w cel w pojedynczym strzale jest stałe i równe $0,7$. a) Strzelec oddał $5$ strzałów do celu. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia w cel co najmniej $4$ razy. b) Ile co najmniej strzałów do celu musi oddać strzelec, aby prawdopodobieństwo trafienia w cel co najmniej raz było większe od $0,99$?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (1 pkt)

Z działa oddano $6$ strzałów do celu. Prawdopodobieństwo trafienia w cel w każdym strzale jest równe $0,5$. Aby cel został uznany za zniszczony, powinien zostać trafiony co najmniej cztery razy. Oblicz prawdopodobieństwo zniszczenia celu.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

W urnie jest 5 kul białych i 7 czarnych. Z urny losujemy 2 kule, oglądamy je i z powrotem wrzucamy do urny. Doświadczenie to powtarzamy 6 razy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) 4 razy wylosowano co najmniej jedną kulę białą, b) co najmniej raz wylosowano co najmniej jedną kulę białą, c) co najwyżej raz wylosowano co najmniej jedną kulę białą.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Mamy do czynienia ze schematem Bernoulliego. Liczba prób wynosi $n=6$. Zdefiniujmy zdarzenie 'sukces' jako wylosowanie co najmniej jednej kuli białej w pojedynczym losowaniu 2 kul. Najpierw obliczmy prawdopodobieństwo sukcesu ($p$). Łączna liczba kul w urnie to $5+7=12$. Zdarzeniem przeciwnym do sukcesu jest wylosowanie 2 kul czarnych. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego ($q$) wynosi:\[q = \frac{\binom{7}{2}}{\binom{12}{2}}\]Obliczamy kombinacje:\[\binom{7}{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21\]\[\binom{12}{2} = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66\]Zatem:\[q = \frac{21}{66} = \frac{7}{22}\]Prawdopodobieństwo sukcesu $p$ wynosi:\[p = 1 - q = 1 - \frac{7}{22} = \frac{15}{22}\]Teraz możemy obliczyć prawdopodobieństwa dla poszczególnych podpunktów, korzystając ze wzoru Bernoulliego $P_n(k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$. a) Dokładnie 4 sukcesy ($k=4$) w 6 próbach ($n=6$):\[P_6(4) = \binom{6}{4} \left(\frac{15}{22}\right)^4 \left(\frac{7}{22}\right)^{6-4} = \binom{6}{2} \left(\frac{15}{22}\right)^4 \left(\frac{7}{22}\right)^2\]\[\binom{6}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15\]\[P_6(4) = 15 \cdot \left(\frac{15}{22}\right)^4 \left(\frac{7}{22}\right)^2\]b) Co najmniej jeden sukces ($k \ge 1$). Jest to zdarzenie przeciwne do zerowej liczby sukcesów ($k=0$):\[P(k \ge 1) = 1 - P_6(0) = 1 - \binom{6}{0} \left(\frac{15}{22}\right)^0 \left(\frac{7}{22}\right)^6 = 1 - \left(\frac{7}{22}\right)^6\]c) Co najwyżej jeden sukces ($k \le 1$), czyli 0 sukcesów lub 1 sukces:\[P(k \le 1) = P_6(0) + P_6(1)\]\[P_6(0) = \left(\frac{7}{22}\right)^6\]\[P_6(1) = \binom{6}{1} \left(\frac{15}{22}\right)^1 \left(\frac{7}{22}\right)^5 = 6 \cdot \frac{15}{22} \left(\frac{7}{22}\right)^5 = \frac{90}{22} \left(\frac{7}{22}\right)^5\]\[P(k \le 1) = \left(\frac{7}{22}\right)^6 + \frac{90}{22} \left(\frac{7}{22}\right)^5 = \left(\frac{7}{22}\right)^5 \left(\frac{7}{22} + \frac{90}{22}\right) = \left(\frac{7}{22}\right)^5 \frac{97}{22}\]

Zadanie 5 (4 pkt)

W pierwszej urnie jest 5 białych kul i 5 czarnych, w drugiej - 8 białych kul i 2 czarne, w trzeciej - 4 białe kule i 6 czarnych. Rzucamy sześcienną kostką do gry. Jeśli wypadnie jedno lub dwa oczka - losujemy dwie kule z pierwszej urny, jeśli trzy lub cztery oczka - losujemy dwie kule z drugiej urny, w pozostałych przypadkach - losujemy dwie kule z trzeciej urny. Kule po obejrzeniu są zwracane do urny. Doświadczenie powtarzamy 12 razy. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania 10 razy kul o różnych kolorach.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Jest to schemat Bernoulliego, gdzie sukcesem jest wylosowanie dwóch kul o różnych kolorach. Obliczmy prawdopodobieństwo sukcesu $p$ w pojedynczej próbie. Oznaczmy zdarzenia: $U_1$ – losowanie z pierwszej urny, $U_2$ – losowanie z drugiej urny, $U_3$ – losowanie z trzeciej urny. Prawdopodobieństwa wyboru urn są równe: $P(U_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ (wynik rzutu to 1 lub 2 oczka) $P(U_2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ (wynik rzutu to 3 lub 4 oczka) $P(U_3) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ (wynik rzutu to 5 lub 6 oczek) Oznaczmy przez $A$ zdarzenie polegające na wylosowaniu dwóch kul o różnych kolorach. W każdej urnie jest 10 kul, więc liczba sposobów wylosowania 2 kul wynosi $\binom{10}{2} = 45$. Z urny 1 (5 białych, 5 czarnych):\[P(A|U_1) = \frac{\binom{5}{1} \binom{5}{1}}{\binom{10}{2}} = \frac{25}{45} = \frac{5}{9}\]Z urny 2 (8 białych, 2 czarne):\[P(A|U_2) = \frac{\binom{8}{1} \binom{2}{1}}{\binom{10}{2}} = \frac{16}{45}\]Z urny 3 (4 białe, 6 czarnych):\[P(A|U_3) = \frac{\binom{4}{1} \binom{6}{1}}{\binom{10}{2}} = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}\]Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite, obliczamy prawdopodobieństwo sukcesu $p=P(A)$:\[p = P(A|U_1)P(U_1) + P(A|U_2)P(U_2) + P(A|U_3)P(U_3)\]\[p = \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{3} + \frac{16}{45} \cdot \frac{1}{3} + \frac{8}{15} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \left( \frac{5}{9} + \frac{16}{45} + \frac{8}{15} \right)\]Sprowadzamy do wspólnego mianownika (45):\[p = \frac{1}{3} \left( \frac{25}{45} + \frac{16}{45} + \frac{24}{45} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{25+16+24}{45} = \frac{1}{3} \cdot \frac{65}{45} = \frac{1}{3} \cdot \frac{13}{9} = \frac{13}{27}\]Prawdopodobieństwo porażki wynosi $q = 1 - p = 1 - \frac{13}{27} = \frac{14}{27}$. Stosujemy wzór na prawdopodobieństwo w schemacie Bernoulliego dla $n=12$ prób, $k=10$ sukcesów:\[P_{12}(10) = \binom{12}{10} p^{10} q^{12-10} = \binom{12}{2} p^{10} q^2\]\[P_{12}(10) = \frac{12 \cdot 11}{2} \left(\frac{13}{27}\right)^{10} \left(\frac{14}{27}\right)^2 = 66 \left(\frac{13}{27}\right)^{10} \left(\frac{14}{27}\right)^2\]

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Rzucamy 18 razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo wypadnięcia: a) 6 razy b) co najmniej jeden raz takiej liczby oczek, która jest większa od 4.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (2 pkt)

Prawdopodobieństwo trafienia przez strzelca w cel w pojedynczym strzale jest stałe i równe $0,8$. a) Strzelec oddał $6$ strzałów do celu. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia w cel co najmniej $5$ razy. b) Ile co najmniej strzałów do celu musi oddać strzelec, aby prawdopodobieństwo trafienia w cel co najmniej raz było większe od $0,9999$?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (1 pkt)

Koszykarz wykonuje $4$ rzuty osobiste. Prawdopodobieństwo trafienia do kosza w każdym rzucie jest równe $0,7$. Aby zaliczyć próbę, musi trafić co najmniej dwa razy. Oblicz prawdopodobieństwo zaliczenia próby.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

W urnie są 4 kule białe i 8 czarnych. Z urny losujemy 4 kule, oglądamy je i z powrotem wrzucamy do urny. Doświadczenie to powtarzamy 7 razy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) 3 razy wylosowano co najmniej jedną kulę białą, b) co najmniej raz wylosowano co najmniej jedną kulę białą, c) co najwyżej raz wylosowano co najmniej jedną kulę białą.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (4 pkt)

W pierwszej urnie są 3 białe kule i 7 czarnych, w drugiej - 4 białe kule i 6 czarnych, w trzeciej - 2 białe kule i 8 czarnych. Rzucamy sześcienną kostką do gry. Jeśli wypadną 1 lub 2 oczka - losujemy dwie kule z pierwszej urny, jeśli 3 lub 4 oczka - losujemy dwie kule z drugiej urny, w pozostałych przypadkach - losujemy dwie kule z trzeciej urny. Kule po obejrzeniu są zwracane do urny. Takie doświadczenie wykonujemy 8 razy. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania 6 razy kul o różnych kolorach.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

28.10 Schemat Bernoulliego

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Zadanie 2 (2 pkt)

Zadanie 3 (1 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (4 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Zadanie 2 (2 pkt)

Zadanie 3 (1 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (4 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋