Rzut równoległy na płaszczyznę. Rysowanie figur płaskich w rzucie równoległym na płaszczyznę kartkówka LiczBit

29.3 Rzut równoległy na płaszczyznę. Rysowanie figur płaskich w rzucie równoległym na płaszczyznę

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Kierunek rzutowania równoległego na ustaloną płaszczyznę $\pi$ wyznacza prosta $k$. W wyniku tego rzutu obrazem odcinka $AB$ na płaszczyźnie $\pi$ okazał się pojedynczy punkt $P$. Określ wzajemne położenie prostej zawierającej odcinek $AB$ względem prostej $k$.

Wskazówki:

Przypomnij sobie konstrukcję rzutu równoległego punktu na płaszczyznę: przez rzutowany punkt prowadzimy prostą równoległą do kierunku rzutowania (prostą rzutującą), a jej punkt przecięcia z płaszczyzną rzutów stanowi obraz punktu.
Zastanów się, w jakiej relacji muszą znajdować się proste rzutujące przechodzące przez dwa różne końce odcinka, aby wyznaczały dokładnie ten sam punkt na płaszczyźnie rzutów.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i definicja rzutu równoległego:
W rzucie równoległym na płaszczyznę $\pi$ w kierunku prostej $k$ obrazem dowolnego punktu przestrzeni $X$ jest punkt przebicia płaszczyzny $\pi$ przez prostą rzutującą przechodzącą przez $X$ i równoległą do $k$. W ogólnym przypadku rzutem odcinka $AB$ jest odcinek $A'B'$ łączący rzuty jego końców:
Analiza warunku redukcji obrazu odcinka do pojedynczego punktu:
Obrazem odcinka $AB$ jest dokładnie jeden punkt $P$ wtedy i tylko wtedy, gdy rzuty obu jego końców pokrywają się: $$A' = B' = P$$ Oznacza to, że prosta rzutująca przechodząca przez punkt $A$ oraz prosta rzutująca przechodząca przez punkt $B$ przecinają płaszczyznę $\pi$ w tym samym punkcie $P$.

Z definicji rzutu równoległego obie te proste rzutujące są równoległe do prostej $k$. Ponieważ dwie proste równoległe do tej samej prostej $k$ i posiadające co najmniej jeden punkt wspólny (punkt $P$) muszą się pokrywać, proste rzutujące punktów $A$ i $B$ stanowią jedną i tę samą prostą.

W konsekwencji punkty $A$ i $B$ leżą na tej samej prostej rzutującej, skąd wynika, że prosta zawierająca odcinek $AB$ jest równoległa do prostej $k$ (lub w szczególnym wypadku pokrywa się z nią).
Rysunek wynikowy i interpretacja geometryczna:
Gdy odcinek $AB$ leży na prostej równoległej do kierunku rzutowania, wszystkie jego punkty rzutują się wzdłuż tej samej prostej na jeden punkt przebicia $P$ płaszczyzny $\pi$:

Odpowiedź:
Prosta zawierająca odcinek $AB$ jest równoległa do prostej $k$ wyznaczającej kierunek rzutowania (lub pokrywa się z nią).

Zadanie 2

Dany jest odcinek $KL$ zawieszony w przestrzeni oraz odcinek $K_1L_1$ będący jego rzutem równoległym na płaszczyznę $\alpha$ w kierunku wyznaczonym przez prostą $KK_1$. Punkty $M$ i $N$ leżą na odcinku $KL$ w taki sposób, że zachodzi relacja $|MN| = 3|KM|$, a punkt $N$ jest środkiem odcinka $KL$ (czyli $|KN| = |NL|$). Wyznacz rzuty równoległe punktów $M$ i $N$ na płaszczyznę $\alpha$ oraz ustal, w jakim stosunku punkty $M_1$ i $N_1$ dzielą rzut $K_1L_1$.

Wskazówki:

Konstrukcja rzutu równoległego dowolnego punktu polega na poprowadzeniu przez ten punkt prostej równoległej do zadanego kierunku rzutowania i znalezieniu punktu jej przecięcia z płaszczyzną rzutu.
Rzut równoległy na płaszczyznę zachowuje stosunek podziału odcinków leżących na jednej prostej – oznacza to, że punkty rzutowane dzielą rzut odcinka w identycznym stosunku, w jakim punkty wyjściowe dzieliły odcinek w przestrzeni.

Rozwiązanie krok po kroku:

Konstrukcja rzutów równoległych punktów $M$ i $N$:
Kierunek rzutowania jest wyznaczony przez prostą $KK_1$. Aby wyznaczyć rzuty równoległe punktów $M$ oraz $N$ na płaszczyznę $\alpha$, prowadzimy przez nie proste równoległe do prostej $KK_1$.
Ponieważ punkty $M$ i $N$ należą do odcinka $KL$, to ich rzuty równoległe $M_1$ i $N_1$ są punktami przebicia płaszczyzny $\alpha$ przez te proste i leżą bezpośrednio na odcinku $K_1L_1$.
Wyznaczenie stosunku podziału odcinka $KL$:
Wprowadzamy pomocnicze oznaczenie długości odcinka $KM$: $$|KM| = x \quad \text{gdzie } x > 0$$ Zależność podana w treści zadania określa długość odcinka $MN$: $$|MN| = 3|KM| = 3x$$ Obliczamy długość odcinka $KN$, który składa się z sumy odcinków $KM$ i $MN$: $$\begin{aligned} |KN| &= |KM| + |MN| \\[8pt] &= x + 3x \\[8pt] &= 4x \end{aligned}$$ Z treści zadania wynika również, że punkt $N$ jest środkiem całego odcinka $KL$, czyli: $$|NL| = |KN| = 4x$$ Zapisujemy stosunek podziału odcinka $KL$ przez punkty $M$ i $N$: $$\begin{aligned} |KM| : |MN| : |NL| &= x : 3x : 4x \\[8pt] &= 1 : 3 : 4 \end{aligned}$$
Zastosowanie twierdzenia o zachowaniu stosunku odcinków i rysunek wynikowy:
W rzucie równoległym zachowywany jest stosunek podziału odcinków leżących na jednej prostej. Oznacza to, że rzuty punktów dzielą rzut odcinka w dokładnie takiej samej proporcji, co punkty wyjściowe: $$\dfrac{|K_1M_1|}{|M_1N_1|} = \dfrac{|KM|}{|MN|} \quad \text{oraz} \quad \dfrac{|M_1N_1|}{|N_1L_1|} = \dfrac{|MN|}{|NL|}$$ Stąd stosunek, w jakim punkty $M_1$ i $N_1$ dzielą odcinek $K_1L_1$, wynosi: $$|K_1M_1| : |M_1N_1| : |N_1L_1| = 1 : 3 : 4$$

Odpowiedź:
Rzuty równoległe punktów $M$ i $N$ to punkty przecięcia płaszczyzny $\alpha$ z prostymi poprowadzonymi odpowiednio przez punkty $M$ oraz $N$ równolegle do prostej $KK_1$ (leżą one na odcinku $K_1L_1$).

Punkty $M_1$ i $N_1$ dzielą odcinek $K_1L_1$ w stosunku: $$|K_1M_1| : |M_1N_1| : |N_1L_1| = 1 : 3 : 4$$

Zadanie 3

W trójkącie $KLM$ poprowadzono wysokość $MP$ oraz środkową $MS$ opuszczone z wierzchołka $M$ na bok $KL$. Spodek wysokości $P$ podzielił podstawę $KL$ na dwa odcinki w stosunku $|KP| : |PL| = 1 : 5$. Sporządź rysunek przedstawiający rzut równoległy trójkąta $KLM$ na płaszczyznę rzutowania, jeżeli wiadomo, że bok $KL$ jest równoległy do tej płaszczyzny, natomiast płaszczyzna trójkąta nie jest równoległa ani do rzutni, ani do prostych wyznaczających kierunek rzutowania. Na wykonanym szkicu zaznacz rzut wysokości $M_1P_1$ oraz rzut środkowej $M_1S_1$. Ustal, w jakim stosunku punkty $P_1$ i $S_1$ dzielą rzut podstawy $K_1L_1$.

Wskazówki:

Skorzystaj z podstawowej własności rzutu równoległego: rzut równoległy zachowuje stosunek podziału odcinka punktem na prostej (oraz zachowuje środek odcinka).
Zauważ, że rzut równoległy zachowuje równoległość prostych, lecz z reguły nie zachowuje miar kątów. W związku z tym rzut wysokości trójkąta nie musi być prostopadły do boku rzutowanego trójkąta.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza relacji w trójkącie wyjściowym:
Niech długość boku $KL$ trójkąta wynosi $c$. Ponieważ spodek wysokości $P$ dzieli bok $KL$ w stosunku $1 : 5$, cały bok składa się z $1 + 5 = 6$ jednakowych części: $$\begin{aligned} |KP| &= \dfrac{1}{6}c \\[8pt] |PL| &= \dfrac{5}{6}c \end{aligned}$$ Odcinek $MS$ jest środkową poprowadzoną do boku $KL$, co oznacza, że punkt $S$ jest środkiem odcinka $KL$: $$|KS| = |SL| = \dfrac{1}{2}c = \dfrac{3}{6}c$$
Wyznaczenie podziału boku $KL$ przez punkty $P$ oraz $S$:
Ponieważ $|KP| = \dfrac{1}{6}c < |KS| = \dfrac{3}{6}c$, punkt $P$ leży między wierzchołkiem $K$ a środkiem $S$. Długość odcinka $PS$ wynosi zatem: $$\begin{aligned} |PS| &= |KS| - |KP| \\[8pt] &= \dfrac{3}{6}c - \dfrac{1}{6}c \\[8pt] &= \dfrac{2}{6}c = \dfrac{1}{3}c \end{aligned}$$ Długość pozostałego odcinka $SL$ to: $$|SL| = \dfrac{1}{2}c = \dfrac{3}{6}c$$ Zestawiając długości trzech kolejnych fragmentów podstawy $KL$: $$\begin{aligned} |KP| : |PS| : |SL| &= \dfrac{1}{6}c : \dfrac{2}{6}c : \dfrac{3}{6}c \\[8pt] &= 1 : 2 : 3 \end{aligned}$$
Zastosowanie twierdzenia o zachowaniu stosunku odcinków w rzucie równoległym i interpretacja graficzna:
W rzucie równoległym obrazem prostej jest prosta, a stosunek długości odcinków zawartych na jednej prostej zostaje zachowany: $$\dfrac{|K_1P_1|}{|P_1S_1|} = \dfrac{|KP|}{|PS|} = \dfrac{1}{2}, \quad \dfrac{|P_1S_1|}{|S_1L_1|} = \dfrac{|PS|}{|SL|} = \dfrac{2}{3}$$ Oznacza to, że punkty $P_1$ i $S_1$ dzielą rzut podstawy $K_1L_1$ na trzy odcinki w stosunku: $$|K_1P_1| : |P_1S_1| : |S_1L_1| = 1 : 2 : 3$$ Środkowa $MS$ przechodzi w rzucie równoległym na środkową $M_1S_1$ trójkąta $K_1L_1M_1$, ponieważ $|K_1S_1| = |S_1L_1|$.
Kąt prosty między wysokością $MP$ a podstawą $KL$ nie ulega z reguły zachowaniu, dlatego odcinek $M_1P_1$ jest rzutem wysokości, lecz sam nie tworzy kąta prostego z bokiem $K_1L_1$.

Odpowiedź:
Punkty $P_1$ i $S_1$ dzielą bok $K_1L_1$ w stosunku $1 : 2 : 3$ (licząc od wierzchołka $K_1$). Odcinek $M_1S_1$ jest środkową boku $K_1L_1$, a rzut wysokości $M_1P_1$ na ogół nie jest prostopadły do boku $K_1L_1$.

Zadanie 4

Dany jest sześcian $KLMNK_1L_1M_1N_1$, w którym czworokąt $KLMN$ stanowi podstawę dolną, a $K_1L_1M_1N_1$ odpowiadającą jej podstawę górną. Przyjmijmy, że płaszczyzna dolnej podstawy $(KLMN)$ pełni rolę rzutni, natomiast prosta $k$ poprowadzona przez wierzchołki $L$ oraz $M_1$ wyznacza kierunek rzutu równoległego. Wyznacz oraz naszkicuj figurę będącą obrazem w tym rzucie:

a) kwadratu górnej podstawy $K_1L_1M_1N_1$
b) trójkąta $NLM_1$
c) trójkąta $NMT$, gdzie punkt $T$ jest środkiem krawędzi $N_1M_1$

Wskazówki:

Punkty należące do płaszczyzny rzutni $(KLMN)$ są stałe w tym rzucie – ich obrazem są one same.
Kierunek rzutu wyznacza prosta $LM_1$. Oznacza to, że promień rzutujący przechodzący przez wierzchołek $M_1$ to dokładnie prosta $LM_1$, która przecina rzutnię w punkcie $L$, stąd obrazem $M_1$ jest $L$.
W rzucie równoległym zachowywana jest równoległość prostych oraz stosunki długości odcinków na prostych równoległych. W szczególności środek odcinka rzutuje się na środek rzutu tego odcinka.
Jeśli prosta lub bok figury jest równoległy do kierunku rzutowania, cały ten odcinek rzutuje się na pojedynczy punkt.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wyznaczenie rzutów poszczególnych wierzchołków sześcianu:
Wierzchołki dolnej podstawy $K, L, M, N$ leżą bezpośrednio na rzutni $(KLMN)$, więc pokrywają się ze swoimi rzutami: $$K' = K, \quad L' = L, \quad M' = M, \quad N' = N$$ Wyznaczamy rzuty wierzchołków górnej podstawy wzdłuż prostych równoległych do prostej $LM_1$:
- Rzut punktu $M_1$: Prosta przechodząca przez $M_1$ o kierunku prostej $k$ to sama prosta $LM_1$. Przecina ona rzutnię w punkcie $L$, zatem: $$M_1' = L$$
- Rzut punktu $N_1$: Odcinek $N_1M_1$ jest równoległy i równy odcinkowi $KL$. W rzucie równoległym odcinki równoległe rzutują się na odcinki równoległe o zachowanym stosunku długości. Skoro $M_1' = L$, to punkt $N_1'$ musi leżeć na prostej $KL$ w odległości równej krawędzi sześcianu od punktu $L$, czyli dokładnie w punkcie $K$: $$N_1' = K$$
- Rzut punktu $L_1$: W prawej ścianie bocznej $LMM_1L_1$ prowadzimy przez wierzchołek $L_1$ prostą równoległą do $LM_1$. Ponieważ czworokąt $LMM_1L_1$ jest kwadratem o boku $a$, prosta ta przecina prostą zawierającą krawędź $ML$ w punkcie $L_1'$ leżącym na zewnątrz sześcianu w odległości $a$ od wierzchołka $L$.
- Rzut punktu $K_1$: Analogicznie w lewej ścianie bocznej prosta poprowadzona przez $K_1$ równolegle do kierunku rzutu przecina prostą $NK$ w punkcie $K_1'$ leżącym w odległości $a$ od wierzchołka $K$.
Podpunkt a) Wyznaczenie obrazu kwadratu $K_1L_1M_1N_1$:
Łączymy wyznaczone rzuty wierzchołków górnej podstawy: $$\begin{aligned} K_1 &\longrightarrow K_1' \\ L_1 &\longrightarrow L_1' \\ M_1 &\longrightarrow L \\ N_1 &\longrightarrow K \end{aligned}$$ Czworokąt $K_1'L_1'LK$ leży w płaszczyźnie rzutni $(KLMN)$. Ponieważ: $$|K_1'L_1'| = |KL| = a \quad \text{oraz} \quad |KK_1'| = |LL_1'| = a$$ a proste $K_1'K$ i $L_1'L$ są prostopadłe do krawędzi $KL$, otrzymana figura jest kwadratem o boku długości $a$, który przylega bezpośrednio do boku $KL$ podstawy sześcianu.
Podpunkt b) Wyznaczenie obrazu trójkąta $NLM_1$:
Wyznaczamy obrazy poszczególnych wierzchołków trójkąta $NLM_1$:
- Wierzchołek $N$ leży na rzutni, więc $N' = N$.
- Wierzchołek $L$ leży na rzutni, więc $L' = L$.
- Wierzchołek $M_1$ rzutuje się wzdłuż prostej $k = LM_1$ na punkt $L$, zatem $M_1' = L$.
Ponieważ cały odcinek $LM_1$ jest równoległy do kierunku rzutu, jego obrazem jest pojedynczy punkt $L$. Zatem obraz trójkąta degeneruje się do odcinka łączącego rzuty pozostałych wierzchołków: $$\Delta NLM_1 \longrightarrow \text{odcinek } NL$$ Jest to przekątna dolnej podstawy sześcianu.
Podpunkt c) Wyznaczenie obrazu trójkąta $NMT$:
Wyznaczamy rzuty wierzchołków trójkąta $NMT$:
- Punkty $N$ oraz $M$ leżą na rzutni, zatem $N' = N$ oraz $M' = M$.
- Punkt $T$ jest środkiem krawędzi $N_1M_1$. Ponieważ rzutem punktu $N_1$ jest $K$, a rzutem punktu $M_1$ jest $L$, rzut równoległy zachowuje środek odcinka: $$T' = \text{środek odcinka } [N_1'M_1'] = \text{środek odcinka } KL$$
Obrazem trójkąta $NMT$ jest trójkąt $NMT'$ o podstawie równej krawędzi $NM$ oraz wierzchołku $T'$ leżącym dokładnie w połowie krawędzi $KL$ w płaszczyźnie podstawy dolnej sześcianu.

Odpowiedź:
a) Kwadrat $K_1'L_1'LK$ o boku $a$ leżący w płaszczyźnie rzutni $(KLMN)$, przylegający bezpośrednio do krawędzi $KL$ na zewnątrz sześcianu.

b) Odcinek $NL$ będący przekątną podstawy dolnej sześcianu.

c) Trójkąt $NMT'$ zawarty w podstawie sześcianu, gdzie $T'$ jest środkiem krawędzi $KL$.

Zadanie 5

Punkt $S$ leży poza płaszczyzną $\alpha$, a jego odległość od obu końców leżącego na tej płaszczyźnie odcinka $KL$ jest jednakowa i wynosi $25\text{ cm}$. Odcinek $KL$ ma długość $48\text{ cm}$. Wiedząc, że rzut prostokątny punktu $S$ na płaszczyznę $\alpha$ należy do odcinka $KL$, oblicz odległość punktu $S$ od płaszczyzny $\alpha$.

Wskazówki:

Zastanów się, jaką figurą w przestrzeni jest trójkąt $KLS$ utworzony przez wierzchołki odcinka i dany punkt.
Przypomnij sobie definicję rzutu prostokątnego punktu na płaszczyznę – wyznacza on odcinek prostopadły do każdej prostej leżącej na tej płaszczyźnie.
Wykorzystaj własność wysokości trójkąta równoramiennego opuszczonej na podstawę oraz twierdzenie Pitagorasa.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza relacji geometrycznych:
Niech punkt $S'$ będzie rzutem prostokątnym punktu $S$ na płaszczyznę $\alpha$. Z definicji rzutu prosta $SS'$ jest prostopadła do płaszczyzny $\alpha$, a w konsekwencji jest prostopadła do każdej prostej na niej leżącej, w tym do prostej zawierającej odcinek $KL$: $$SS' \perp KL$$ Odcinek $SS'$ reprezentuje szukaną odległość punktu $S$ od płaszczyzny $\alpha$.

Z treści zadania wynika, że: $$|SK| = |SL| = 25\text{ cm}$$ Oznacza to, że trójkąt $KLS$ jest trójkątem równoramiennym o podstawie $KL$. W trójkącie równoramiennym wysokość poprowadzona z wierzchołka między ramionami dzieli podstawę na dwie równe części. Zatem punkt $S'$ jest środkiem odcinka $KL$.
Wyznaczenie długości połowy podstawy $|KS'|$:
Skoro rzut prostokątny $S'$ dzieli odcinek $KL$ na dwie równe części, obliczamy długość przyprostokątnej $KS'$: $$\begin{aligned} |KS'| &= \dfrac{1}{2} \cdot |KL| \\[8pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot 48\text{ cm} \\[8pt] &= 24\text{ cm} \end{aligned}$$
Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa i obliczenie szukanej odległości:
Rozważamy trójkąt prostokątny $KS'S$ o kącie prostym przy wierzchołku $S'$. Przyprostokątnymi są odcinki $KS'$ oraz $SS'$, a przeciwprostokątną ramię $SK$.

Zapisujemy twierdzenie Pitagorasa: $$\begin{aligned} |SS'|^2 + |KS'|^2 &= |SK|^2 \\[8pt] |SS'|^2 + 24^2 &= 25^2 \\[8pt] |SS'|^2 + 576 &= 625 \\[8pt] |SS'|^2 &= 625 - 576 \\[8pt] |SS'|^2 &= 49 \end{aligned}$$ Wyznaczamy długość odcinka $|SS'|$: $$|SS'| = \sqrt{49} = 7\text{ cm}$$

Odpowiedź:
Odległość punktu $S$ od płaszczyzny $\alpha$ wynosi $7\text{ cm}$.

Grupa B

Zadanie 1

Rzut równoległy przestrzeni na zadaną płaszczyznę $\alpha$ odbywa się wzdłuż ustalonej prostej $m$. Ustal, w jakiej relacji do prostej $m$ musi znajdować się odcinek $CD$, aby jego obrazem na płaszczyźnie $\alpha$ był dokładnie jeden punkt.

Zadanie 2

W przestrzeni dany jest odcinek $AB$ oraz odcinek $A_1B_1$ leżący na płaszczyźnie $\pi$, stanowiący rzut równoległy odcinka $AB$ w kierunku prostej $AA_1$. Na odcinku $AB$ wybrano punkty $C$ oraz $D$ spełniające zależności $|CD| = 3|AC|$ oraz $|AD| = 2|DB|$. Wyznacz rzuty równoległe punktów $C$ i $D$ na płaszczyznę $\pi$ oraz oblicz stosunek, w jakim otrzymane rzuty $C_1$ i $D_1$ dzielą odcinek $A_1B_1$.

Zadanie 3

W trójkącie $PQR$ poprowadzono z wierzchołka $R$ środkową $RM$ oraz wysokość $RH$ opadającą na bok $PQ$. Wiadomo, że spodek wysokości $H$ dzieli bok $PQ$ tak, że odcinek $PH$ jest trzykrotnie dłuższy od odcinka $HQ$ (czyli $|PH| : |HQ| = 3 : 1$). Narysuj obraz tego trójkąta w rzucie równoległym na płaszczyznę rzutowania przy założeniu, że podstawa $PQ$ jest równoległa do rzutni, a płaszczyzna trójkąta nie jest równoległa do rzutni ani do kierunku rzutowania. Zaznacz rzut środkowej $R_1M_1$ oraz rzut wysokości $R_1H_1$. W jakim stosunku punkty $M_1$ i $H_1$ dzielą rzut boku $P_1Q_1$?

Zadanie 4

Rozpatrzmy sześcian $EFGHE_1F_1G_1H_1$, w którym czworokąt $EFGH$ jest dolną podstawą, natomiast $E_1F_1G_1H_1$ podstawą górną. Na płaszczyznę zawierającą dolną podstawę $(EFGH)$ wykonujemy rzut równoległy wzdłuż prostej $k$ wyznaczonej przez wierzchołki $H$ oraz $E_1$. Wyznacz oraz przedstaw na szkicu figurę będącą rzutem:

a) kwadratu górnej podstawy $E_1F_1G_1H_1$
b) trójkąta $EGF_1$
c) trójkąta $EFQ$, wiedząc, że punkt $Q$ jest środkiem krawędzi $E_1F_1$

Zadanie 5

W płaszczyźnie $\beta$ zawarty jest odcinek $CD$ o długości $30\text{ cm}$. Punkt $M$ znajduje się poza tą płaszczyzną, a jego odległość od każdego z punktów $C$ i $D$ wynosi $17\text{ cm}$. Rzut prostokątny punktu $M$ na płaszczyznę $\beta$ leży na odcinku $CD$. Oblicz odległość punktu $M$ od płaszczyzny $\beta$.

29.3 Rzut równoległy na płaszczyznę. Rysowanie figur płaskich w rzucie równoległym na płaszczyznę

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋