Równania wykładnicze kartkówka LiczBit

25.4 Równania wykładnicze

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste $x$ spełniające poniższe równania wykładnicze:

a) $0,8^{x+4} = \left(1\dfrac{1}{4}\right)^{x-2}$

b) $\left(2\dfrac{7}{9}\right)^{x-1} = 0,6^{3x-8}$

c) $\left(1\dfrac{3}{5}\right)^{3x-2} - \left(\dfrac{5}{8}\right)^{x+6} = 0$

d) $0,2^{2x-7} = 125^{x-1}$

e) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2} - 4^{-x} = 0$

f) $2^{\frac{4}{x-3}} = 0,25^2$

Wskazówki:

Sprowadź obie strony każdego z równań do potęgi o tej samej podstawie, zamieniając ułamki dziesiętne na zwykłe oraz liczby mieszane na ułamki niewłaściwe.
Wykorzystaj własność potęgi o wykładniku ujemnym: odwrotność ułamka odpowiada zmianie znaku wykładnika, czyli $\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}$.
Gdy podstawy potęg po obu stronach są identyczne, dodatnie i różne od $1$, przyrównaj ich wykładniki na mocy różnowartościowości funkcji wykładniczej: $a^u = a^w \iff u = w$.
W równaniach, w których niewiadoma występuje w mianowniku ułamka, pamiętaj o wyznaczeniu dziedziny (mianownik nie może być zerem).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $0,8^{x+4} = \left(1\dfrac{1}{4}\right)^{x-2}$:
Zapisujemy ułamek dziesiętny oraz liczbę mieszaną w postaci ułamków zwykłych: $$0,8 = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}, \qquad 1\dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4} = \left(\dfrac{4}{5}\right)^{-1}$$ Podstawiamy obie zależności do wyjściowego równania: $$\left(\dfrac{4}{5}\right)^{x+4} = \left[\left(\dfrac{4}{5}\right)^{-1}\right]^{x-2}$$ Wymnażamy wykładniki po prawej stronie: $$\left(\dfrac{4}{5}\right)^{x+4} = \left(\dfrac{4}{5}\right)^{-x+2}$$ Z różnowartościowości funkcji wykładniczej przyrównujemy wykładniki: $$\begin{aligned} x + 4 &= -x + 2 \\[8pt] 2x &= -2 \\[8pt] x &= -1 \end{aligned}$$ Rozwiązaniem jest liczba $x = -1$.
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $\left(2\dfrac{7}{9}\right)^{x-1} = 0,6^{3x-8}$:
Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy, a ułamek dziesiętny na ułamek zwykły nieskracalny: $$2\dfrac{7}{9} = \dfrac{25}{9} = \left(\dfrac{5}{3}\right)^2, \qquad 0,6 = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} = \left(\dfrac{5}{3}\right)^{-1}$$ Sprowadzamy obie potęgi do wspólnej podstawy równej $\frac{5}{3}$: $$\left[\left(\dfrac{5}{3}\right)^2\right]^{x-1} = \left[\left(\dfrac{5}{3}\right)^{-1}\right]^{3x-8}$$ Wykonujemy potęgowanie potęgi po obu stronach: $$\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2x-2} = \left(\dfrac{5}{3}\right)^{-3x+8}$$ Przyrównujemy wykładniki: $$\begin{aligned} 2x - 2 &= -3x + 8 \\[8pt] 5x &= 10 \\[8pt] x &= 2 \end{aligned}$$ Rozwiązaniem jest liczba $x = 2$.
Podpunkt c) Rozwiązujemy równanie $\left(1\dfrac{3}{5}\right)^{3x-2} - \left(\dfrac{5}{8}\right)^{x+6} = 0$:
Przenosimy drugi składnik na prawą stronę znaku równości: $$\left(1\dfrac{3}{5}\right)^{3x-2} = \left(\dfrac{5}{8}\right)^{x+6}$$ Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: $$1\dfrac{3}{5} = \dfrac{8}{5}$$ Zauważamy, że $\dfrac{5}{8} = \left(\dfrac{8}{5}\right)^{-1}$, co pozwala sprowadzić prawą stronę do podstawy $\frac{8}{5}$: $$\left(\dfrac{8}{5}\right)^{3x-2} = \left[\left(\dfrac{8}{5}\right)^{-1}\right]^{x+6}$$ $$\left(\dfrac{8}{5}\right)^{3x-2} = \left(\dfrac{8}{5}\right)^{-x-6}$$ Przyrównujemy wykładniki: $$\begin{aligned} 3x - 2 &= -x - 6 \\[8pt] 4x &= -4 \\[8pt] x &= -1 \end{aligned}$$ Rozwiązaniem jest liczba $x = -1$.
Podpunkt d) Rozwiązujemy równanie $0,2^{2x-7} = 125^{x-1}$:
Sprowadzamy obie strony równania do podstawy $5$, korzystając ze związków $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$ oraz $125 = 5^3$: $$\left(5^{-1}\right)^{2x-7} = \left(5^3\right)^{x-1}$$ Mnożymy wykładniki: $$5^{-2x+7} = 5^{3x-3}$$ Przyrównujemy wykładniki: $$\begin{aligned} -2x + 7 &= 3x - 3 \\[8pt] -5x &= -10 \\[8pt] x &= 2 \end{aligned}$$ Rozwiązaniem jest liczba $x = 2$.
Podpunkt e) Rozwiązujemy równanie $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2} - 4^{-x} = 0$:
Przenosimy składnik z minusem na prawą stronę: $$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2} = 4^{-x}$$ Przedstawiamy obie potęgi przy podstawie $2$, wiedząc, że $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ oraz $4 = 2^2$: $$\left(2^{-1}\right)^{x^2} = \left(2^2\right)^{-x}$$ $$2^{-x^2} = 2^{-2x}$$ Przyrównujemy wykładniki obu potęg: $$\begin{aligned} -x^2 &= -2x \\[8pt] -x^2 + 2x &= 0 \\[8pt] -x(x - 2) &= 0 \end{aligned}$$ Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem: $$x = 0 \quad \text{lub} \quad x = 2$$ Rozwiązaniem są liczby $x \in \{0, 2\}$.
Podpunkt f) Rozwiązujemy równanie $2^{\frac{4}{x-3}} = 0,25^2$:
Ustalamy dziedzinę równania, pamiętając, że mianownik nie może być zerem: $$x - 3 \ne 0 \implies x \ne 3 \implies D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$$ Przekształcamy prawą stronę równania do potęgi liczby $2$, wiedząc, że $0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$: $$0,25^2 = \left(2^{-2}\right)^2 = 2^{-4}$$ Zapisujemy równanie w postaci o jednakowych podstawach: $$2^{\frac{4}{x-3}} = 2^{-4}$$ Przyrównujemy wykładniki: $$\dfrac{4}{x-3} = -4$$ Mnożymy obustronnie przez $(x - 3)$: $$\begin{aligned} 4 &= -4(x - 3) \\[8pt] 4 &= -4x + 12 \\[8pt] 4x &= 8 \\[8pt] x &= 2 \end{aligned}$$ Liczba $x = 2$ należy do dziedziny ($2 \in D$), zatem stanowi poprawne rozwiązanie.

Odpowiedź:
a) $x = -1$

b) $x = 2$

c) $x = -1$

d) $x = 2$

e) $x = 0$ lub $x = 2$

f) $x = 2$

Zadanie 2

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste $x$ spełniające poniższe równania wykładnicze z wartością bezwzględną w wykładniku:

a) $3^{|x-2|} = 27$

b) $(\sqrt[3]{2})^{|x+3|} = 16$

c) $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{|x+4|+1} = \left(2\dfrac{7}{9}\right)^2$

d) $(\sqrt{8})^{|5-x|} = 2^{|5-x|}$

e) $9 \cdot 3^{|-x-2|} = 27^{|x+2|}$

f) $\dfrac{64}{4^{|x-1|}} = 2^{|1-x|}$

Wskazówki:

Sprowadź obie strony każdego z równań do potęgi o tej samej podstawie, wykorzystując własności potęg i pierwiastków (m.in. $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$, $\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$ oraz $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$).
Gdy podstawy potęg po obu stronach są identyczne, dodatnie i różne od $1$, skorzystaj z różnowartościowości funkcji wykładniczej: $a^u = a^w \iff u = w$.
Pamiętaj o kluczowej własności modułu: $|-w| = |w|$, dzięki której zachodzi $|b - x| = |x - b|$ oraz $|-x - c| = |x + c|$.
Równanie typu $|W(x)| = c$ dla $c > 0$ rozpisujemy na alternatywę: $W(x) = c$ lub $W(x) = -c$. Jeżeli natomiast $c < 0$, to równanie jest sprzeczne, ponieważ wartość bezwzględna liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemna.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $3^{|x-2|} = 27$:
Prawą stronę równania przedstawiamy w postaci potęgi liczby $3$, wiedząc, że $27 = 3^3$: $$3^{|x-2|} = 3^3$$ Dzięki różnowartościowości funkcji wykładniczej przyrównujemy wykładniki obu stron: $$|x-2| = 3$$ Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej otrzymujemy dwa równania liniowe: $$\begin{aligned} x - 2 = 3 \quad &\text{lub} \quad x - 2 = -3 \\[8pt] x = 5 \quad &\text{lub} \quad x = -1 \end{aligned}$$ Rozwiązaniem są liczby $x \in \{-1, 5\}$.
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $(\sqrt[3]{2})^{|x+3|} = 16$:
Sprowadzamy obie strony równania do podstawy równej $2$. Zapisujemy pierwiastek jako potęgę o wykładniku ułamkowym $\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$, a liczbę $16$ jako $2^4$: $$\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^{|x+3|} = 2^4$$ Stosujemy regułę potęgowania potęgi po lewej stronie: $$2^{\frac{1}{3}|x+3|} = 2^4$$ Przyrównujemy wykładniki: $$\dfrac{1}{3}|x+3| = 4$$ Mnożymy obustronnie przez $3$: $$|x+3| = 12$$ Rozbijamy równanie modułowe na dwa przypadki: $$\begin{aligned} x + 3 = 12 \quad &\text{lub} \quad x + 3 = -12 \\[8pt] x = 9 \quad &\text{lub} \quad x = -15 \end{aligned}$$ Rozwiązaniem są liczby $x \in \{-15, 9\}$.
Podpunkt c) Rozwiązujemy równanie $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{|x+4|+1} = \left(2\dfrac{7}{9}\right)^2$:
Zajmujemy się najpierw prawą stroną równania. Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: $$2\dfrac{7}{9} = \dfrac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \dfrac{25}{9}$$ Zauważamy, że $\dfrac{25}{9} = \left(\dfrac{5}{3}\right)^2 = \left(\dfrac{3}{5}\right)^{-2}$. Podnosząc to wyrażenie do kwadratu, otrzymujemy: $$\left(2\dfrac{7}{9}\right)^2 = \left[\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-2}\right]^2 = \left(\dfrac{3}{5}\right)^{-4}$$ Podstawiamy prawą stronę do równania wyjściowego: $$\left(\dfrac{3}{5}\right)^{|x+4|+1} = \left(\dfrac{3}{5}\right)^{-4}$$ Ponieważ podstawy są jednakowe, przyrównujemy wykładniki: $$|x+4| + 1 = -4$$ Odejmujemy $1$ od obu stron: $$|x+4| = -5$$ Wartość bezwzględna dowolnej wielkości rzeczywistej jest zawsze liczbą nieujemną, czyli $|x+4| \ge 0$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$. Ponieważ $-5 < 0$, otrzymaliśmy sprzeczność. Równanie nie posiada żadnych rozwiązań: $$x \in \emptyset$$
Podpunkt d) Rozwiązujemy równanie $(\sqrt{8})^{|5-x|} = 2^{|5-x|}$:
Zapisujemy liczbę $\sqrt{8}$ w postaci potęgi o podstawie $2$: $$\sqrt{8} = \sqrt{2^3} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$$ Podstawiamy do równania: $$\left(2^{\frac{3}{2}}\right)^{|5-x|} = 2^{|5-x|}$$ $$2^{\frac{3}{2}|5-x|} = 2^{|5-x|}$$ Przyrównujemy wykładniki: $$\dfrac{3}{2}|5-x| = |5-x|$$ Przenosimy wyrażenie z prawej strony na lewą: $$\begin{aligned} \dfrac{3}{2}|5-x| - |5-x| &= 0 \\[8pt] \dfrac{1}{2}|5-x| &= 0 \end{aligned}$$ Mnożymy obustronnie przez $2$: $$|5-x| = 0$$ Jedyną liczbą dającą moduł równy zero jest zero: $$\begin{aligned} 5 - x &= 0 \\[8pt] x &= 5 \end{aligned}$$ Jedynym rozwiązaniem równania jest liczba $x = 5$.
Podpunkt e) Rozwiązujemy równanie $9 \cdot 3^{|-x-2|} = 27^{|x+2|}$:
Zauważamy, że z własności wartości bezwzględnej mamy: $$|-x - 2| = |-(x + 2)| = |x + 2|$$ Przedstawiamy wszystkie potęgi przy podstawie $3$, wiedząc, że $9 = 3^2$ oraz $27 = 3^3$: $$3^2 \cdot 3^{|x+2|} = \left(3^3\right)^{|x+2|}$$ Mnożymy potęgi po lewej stronie (dodając wykładniki) i potęgujemy po prawej stronie: $$3^{2 + |x+2|} = 3^{3|x+2|}$$ Przyrównujemy wykładniki: $$2 + |x+2| = 3|x+2|$$ Odejmujemy $|x+2|$ od obu stron równania: $$\begin{aligned} 2 &= 2|x+2| \\[8pt] |x+2| &= 1 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy prostą alternatywę: $$\begin{aligned} x + 2 = 1 \quad &\text{lub} \quad x + 2 = -1 \\[8pt] x = -1 \quad &\text{lub} \quad x = -3 \end{aligned}$$ Rozwiązaniem są liczby $x \in \{-3, -1\}$.
Podpunkt f) Rozwiązujemy równanie $\dfrac{64}{4^{|x-1|}} = 2^{|1-x|}$:
Z własności modułu wynika, że $|1 - x| = |-(x - 1)| = |x - 1|$. Sprowadzamy wszystkie potęgi do wspólnej podstawy $2$, wiedząc, że $64 = 2^6$ oraz $4 = 2^2$: $$\dfrac{2^6}{\left(2^2\right)^{|x-1|}} = 2^{|x-1|}$$ $$\dfrac{2^6}{2^{2|x-1|}} = 2^{|x-1|}$$ Dzielimy potęgi o tej samej podstawie po lewej stronie, odejmując wykładnik mianownika: $$2^{6 - 2|x-1|} = 2^{|x-1|}$$ Przyrównujemy wykładniki: $$6 - 2|x-1| = |x-1|$$ Dodajemy $2|x-1|$ do obu stron: $$\begin{aligned} 6 &= 3|x-1| \\[8pt] |x-1| &= 2 \end{aligned}$$ Rozpatrujemy dwa przypadki: $$\begin{aligned} x - 1 = 2 \quad &\text{lub} \quad x - 1 = -2 \\[8pt] x = 3 \quad &\text{lub} \quad x = -1 \end{aligned}$$ Rozwiązaniem są liczby $x \in \{-1, 3\}$.

Odpowiedź:
a) $x = -1$ lub $x = 5$

b) $x = -15$ lub $x = 9$

c) Równanie sprzeczne: $x \in \emptyset$

d) $x = 5$

e) $x = -3$ lub $x = -1$

f) $x = -1$ lub $x = 3$

Zadanie 3

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste $x$ spełniające poniższe równania:

a) $2^{x^2} = 4^{x + 1,5}$

b) $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-x^2} = \left(3\dfrac{3}{8}\right)^3$

c) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{x^2 - 4x} = \left(1\dfrac{1}{3}\right)^{3x^2}$

Wskazówki:

Przed przystąpieniem do rozwiązywania równania wykładniczego doprowadź obie jego strony do potęg o tej samej podstawie.
Skorzystaj z reguł działań na potęgach: $(a^r)^s = a^{r \cdot s}$ oraz $a^{-r} = \left(\dfrac{1}{a}\right)^r$.
Gdy podstawy są identyczne i dodatnie (różne od $1$), z różnowartościowości funkcji wykładniczej wynika równość wykładników: $a^u = a^w \iff u = w$.
Powstałe równania kwadratowe rozwiąż za pomocą wyróżnika $\Delta$ lub wyłączając wspólny czynnik przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $2^{x^2} = 4^{x + 1,5}$:
Zapisujemy liczbę $4$ jako potęgę o podstawie $2$, czyli $4 = 2^2$, a następnie przekształcamy prawą stronę równania: $$ \begin{aligned} 4^{x + 1,5} &= (2^2)^{x + 1,5} \\[8pt] &= 2^{2 \cdot (x + 1,5)} \\[8pt] &= 2^{2x + 3} \end{aligned} $$ Wstawiamy otrzymane wyrażenie do równania wyjściowego: $$2^{x^2} = 2^{2x + 3}$$ Ponieważ podstawy potęg po obu stronach są identyczne ($a = 2$), możemy przyrównać ich wykładniki: $$x^2 = 2x + 3$$ Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę, uzyskując równanie kwadratowe w postaci ogólnej: $$x^2 - 2x - 3 = 0$$ Obliczamy wyróżnik $\Delta$ i wyznaczamy pierwiastki równania: $$ \begin{aligned} \Delta &= (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) \\[8pt] &= 4 + 12 = 16 \\[8pt] \sqrt{\Delta} &= \sqrt{16} = 4 \end{aligned} $$ Wyliczamy wartości zmiennej $x$: $$ \begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-(-2) - 4}{2 \cdot 1} = \dfrac{2 - 4}{2} = -1 \\[8pt] x_2 &= \dfrac{-(-2) + 4}{2 \cdot 1} = \dfrac{2 + 4}{2} = 3 \end{aligned} $$ Rozwiązaniami równania są liczby $x = -1$ oraz $x = 3$.
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-x^2} = \left(3\dfrac{3}{8}\right)^3$:
Przekształcamy liczbę mieszaną $3\dfrac{3}{8}$ na ułamek niewłaściwy: $$3\dfrac{3}{8} = \dfrac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \dfrac{27}{8}$$ Zauważamy, że licznik i mianownik to sześciany liczb naturalnych ($27 = 3^3$ oraz $8 = 2^3$): $$\dfrac{27}{8} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^3$$ Chcemy uzyskać podstawę $\dfrac{2}{3}$. Korzystamy z własności ujemnego wykładnika potęgi: $$\left(\dfrac{3}{2}\right)^3 = \left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1}\right)^3 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}$$ Przekształcamy całą prawą stronę równania: $$ \begin{aligned} \left(3\dfrac{3}{8}\right)^3 &= \left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}\right)^3 \\[8pt] &= \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3 \cdot 3} \\[8pt] &= \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-9} \end{aligned} $$ Zapisujemy równanie o jednakowych podstawach: $$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-x^2} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-9}$$ Przyrównujemy wykładniki obu stron: $$-x^2 = -9$$ Mnożymy obie strony przez $-1$: $$x^2 = 9$$ Pierwiastkujemy obustronnie: $$x = -3 \quad \text{lub} \quad x = 3$$ Rozwiązaniami równania są liczby $x = -3$ oraz $x = 3$.
Podpunkt c) Rozwiązujemy równanie $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{x^2 - 4x} = \left(1\dfrac{1}{3}\right)^{3x^2}$:
Przekształcamy liczbę mieszaną po prawej stronie równania na ułamek niewłaściwy: $$1\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \dfrac{4}{3}$$ Zapisujemy ułamek $\dfrac{4}{3}$ w postaci potęgi o podstawie $\dfrac{3}{4}$: $$\dfrac{4}{3} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{-1}$$ Upraszczamy prawą stronę wyjściowego równania: $$ \begin{aligned} \left(1\dfrac{1}{3}\right)^{3x^2} &= \left(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-1}\right)^{3x^2} \\[8pt] &= \left(\dfrac{3}{4}\right)^{-1 \cdot 3x^2} \\[8pt] &= \left(\dfrac{3}{4}\right)^{-3x^2} \end{aligned} $$ Otrzymujemy równanie o identycznych podstawach: $$\left(\dfrac{3}{4}\right)^{x^2 - 4x} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{-3x^2}$$ Przyrównujemy wykładniki potęg: $$x^2 - 4x = -3x^2$$ Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę równania: $$ \begin{aligned} x^2 + 3x^2 - 4x &= 0 \\[8pt] 4x^2 - 4x &= 0 \end{aligned} $$ Wyłączamy wspólny czynnik $4x$ przed nawias: $$4x(x - 1) = 0$$ Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem: $$ \begin{aligned} 4x = 0 \quad &\implies \quad x = 0 \\[8pt] x - 1 = 0 \quad &\implies \quad x = 1 \end{aligned} $$ Rozwiązaniami równania są liczby $x = 0$ oraz $x = 1$.

Odpowiedź:
a) $x = -1$ lub $x = 3$

b) $x = -3$ lub $x = 3$

c) $x = 0$ lub $x = 1$

Zadanie 4

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste $x$ spełniające poniższe równania:

a) $\dfrac{9^x}{3} = 9^{\frac{3}{x-1}}$

b) $3^{x^3 + 2x^2} = 81 \cdot 3^{2x}$

c) $\sqrt[3]{3^{x+1}} = 9^{\frac{(x-1)^2}{2x}}$

Wskazówki:

Wyznacz dziedzinę każdego równania, sprawdzając, czy mianowniki ułamków występujących w wykładnikach potęg są różne od zera.
Sprowadź obie strony równań do potęg o tej samej podstawie, stosując reguły działań na potęgach: $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ oraz $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
Wykorzystaj różnowartościowość funkcji wykładniczej $a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$ (dla $a > 0$ i $a \neq 1$), aby przyrównać wykładniki.
Rozwiąż powstałe równania algebraiczne (liniowe, kwadratowe lub wielomianowe przez grupowanie) i skonfrontuj otrzymane wyniki z dziedziną.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $\dfrac{9^x}{3} = 9^{\frac{3}{x-1}}$:
Zaczynamy od ustalenia dziedziny równania. Mianownik ułamka w wykładniku potęgi nie może być zerem: $$x - 1 \neq 0 \iff x \neq 1$$ Zatem dziedziną jest zbiór $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Sprowadzamy obie strony równania do potęgi o podstawie $3$. Przekształcamy lewą stronę, korzystając z faktu, że $9 = 3^2$: $$\dfrac{9^x}{3} = \dfrac{(3^2)^x}{3^1} = \dfrac{3^{2x}}{3^1} = 3^{2x - 1}$$ Przekształcamy prawą stronę: $$9^{\frac{3}{x-1}} = (3^2)^{\frac{3}{x-1}} = 3^{2 \cdot \frac{3}{x-1}} = 3^{\frac{6}{x-1}}$$ Równanie przyjmuje postać: $$3^{2x - 1} = 3^{\frac{6}{x-1}}$$ Na mocy różnowartościowości funkcji wykładniczej przyrównujemy wykładniki do siebie: $$2x - 1 = \dfrac{6}{x - 1}$$ Mnożymy obustronnie przez $(x - 1)$: $$\begin{aligned} (2x - 1)(x - 1) &= 6 \\[8pt] 2x^2 - 2x - x + 1 &= 6 \\[8pt] 2x^2 - 3x - 5 &= 0 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy równanie kwadratowe za pomocą wyróżnika: $$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$$ $$\sqrt{\Delta} = 7$$ Wyznaczamy miejsca zerowe: $$\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-(-3) - 7}{2 \cdot 2} = \dfrac{3 - 7}{4} = \dfrac{-4}{4} = -1 \\[8pt] x_2 &= \dfrac{-(-3) + 7}{2 \cdot 2} = \dfrac{3 + 7}{4} = \dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2} \end{aligned}$$ Obie liczby są różne od $1$, zatem oba rozwiązania należą do dziedziny.
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $3^{x^3 + 2x^2} = 81 \cdot 3^{2x}$:
Wykładniki potęg są wielomianami określonymi dla wszystkich liczb rzeczywistych, więc dziedziną jest zbiór $D = \mathbb{R}$.

Zapisujemy liczbę $81$ jako potęgę trójki: $81 = 3^4$. Przekształcamy prawą stronę równania, dodając wykładniki przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie: $$81 \cdot 3^{2x} = 3^4 \cdot 3^{2x} = 3^{2x + 4}$$ Otrzymujemy równanie o jednakowych podstawach: $$3^{x^3 + 2x^2} = 3^{2x + 4}$$ Dzięki różnowartościowości funkcji wykładniczej możemy porównać wykładniki: $$x^3 + 2x^2 = 2x + 4$$ Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i rozkładamy wielomian na czynniki metodą grupowania wyrazów: $$\begin{aligned} x^3 + 2x^2 - 2x - 4 &= 0 \\[8pt] x^2(x + 2) - 2(x + 2) &= 0 \\[8pt] (x^2 - 2)(x + 2) &= 0 \end{aligned}$$ Wyrażenie w pierwszym nawiasie rozkładamy ze wzoru na różnicę kwadratów: $$(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x + 2) = 0$$ Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem: $$\begin{aligned} x - \sqrt{2} = 0 &\implies x = \sqrt{2} \\[8pt] x + \sqrt{2} = 0 &\implies x = -\sqrt{2} \\[8pt] x + 2 = 0 &\implies x = -2 \end{aligned}$$ Wszystkie trzy wartości są liczbami rzeczywistymi, więc stanowią zbiór rozwiązań równania.
Podpunkt c) Rozwiązujemy równanie $\sqrt[3]{3^{x+1}} = 9^{\frac{(x-1)^2}{2x}}$:
Wykładnik po prawej stronie zawiera zmienną w mianowniku, dlatego wyznaczamy dziedzinę: $$2x \neq 0 \iff x \neq 0$$ Stąd dziedzina to $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

Sprowadzamy obie strony równania do potęg o podstawie $3$. Korzystamy z definicji potęgi o wykładniku wymiernym dla lewej strony: $$\sqrt[3]{3^{x+1}} = 3^{\frac{x+1}{3}}$$ Prawą stronę przekształcamy, zauważając, że $9 = 3^2$: $$9^{\frac{(x-1)^2}{2x}} = (3^2)^{\frac{(x-1)^2}{2x}} = 3^{2 \cdot \frac{(x-1)^2}{2x}} = 3^{\frac{(x-1)^2}{x}}$$ Równanie przyjmuje postać: $$3^{\frac{x+1}{3}} = 3^{\frac{(x-1)^2}{x}}$$ Porównujemy wykładniki potęg: $$\dfrac{x+1}{3} = \dfrac{(x-1)^2}{x}$$ Rozwijamy kwadrat różnicy w liczniku $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$ i mnożymy obie strony równania przez $3x$: $$\begin{aligned} x(x + 1) &= 3(x^2 - 2x + 1) \\[8pt] x^2 + x &= 3x^2 - 6x + 3 \\[8pt] 0 &= 2x^2 - 7x + 3 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy równanie kwadratowe: $$\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$$ $$\sqrt{\Delta} = 5$$ Wyznaczamy pierwiastki: $$\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-(-7) - 5}{2 \cdot 2} = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \\[8pt] x_2 &= \dfrac{-(-7) + 5}{2 \cdot 2} = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3 \end{aligned}$$ Obie liczby są różne od zera, więc należą do dziedziny równania.

Odpowiedź:
a) $x = -1$ lub $x = \dfrac{5}{2}$

b) $x \in \{-2, -\sqrt{2}, \sqrt{2}\}$

c) $x = \dfrac{1}{2}$ lub $x = 3$

Zadanie 5

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste $x$ spełniające podane równania wykładnicze:

a) $(\sqrt{27})^x \cdot 3^{2x - 7} = \left(\dfrac{1}{81}\right)^{x - 2}$

b) $(4\sqrt{2})^{2x} = 2^{x^2 + 6}$

c) $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2 - 2x} \cdot 27^x = \dfrac{3^{x-2}}{27}$

Wskazówki:

Sprowadź obie strony każdego równania do potęgi o tej samej podstawie, korzystając z podstawowych praw działań na potęgach: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ oraz $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.
Przedstaw pierwiastki w postaci potęg o wykładniku ułamkowym: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$.
Skorzystaj z własności różnowartościowości funkcji wykładniczej: jeżeli $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ (dla $a > 0$ i $a \neq 1$), to możemy przyrównać wykładniki: $f(x) = g(x)$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $(\sqrt{27})^x \cdot 3^{2x - 7} = \left(\dfrac{1}{81}\right)^{x - 2}$:
Wszystkie występujące liczby zapisujemy jako potęgi o podstawie $3$: $$\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = (3^3)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}} = 3^{1{,}5}$$ $$\dfrac{1}{81} = \dfrac{1}{3^4} = 3^{-4}$$ Przekształcamy lewą stronę równania, mnożąc potęgi o tej samej podstawie: $$\begin{aligned} L &= (3^{1{,}5})^x \cdot 3^{2x - 7} \\[8pt] &= 3^{1{,}5x} \cdot 3^{2x - 7} \\[8pt] &= 3^{1{,}5x + 2x - 7} \\[8pt] &= 3^{3{,}5x - 7} \end{aligned}$$ Przekształcamy prawą stronę równania: $$\begin{aligned} P &= (3^{-4})^{x - 2} \\[8pt] &= 3^{-4 \cdot (x - 2)} \\[8pt] &= 3^{-4x + 8} \end{aligned}$$ Otrzymujemy równanie o jednakowych podstawach: $$3^{3{,}5x - 7} = 3^{-4x + 8}$$ Dzięki różnowartościowości funkcji wykładniczej przyrównujemy wykładniki: $$\begin{aligned} 3{,}5x - 7 &= -4x + 8 \\[8pt] 3{,}5x + 4x &= 8 + 7 \\[8pt] 7{,}5x &= 15 \\[8pt] x &= \dfrac{15}{7{,}5} \\[8pt] x &= 2 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $(4\sqrt{2})^{2x} = 2^{x^2 + 6}$:
Podstawę lewej strony równania sprowadzamy do potęgi o podstawie $2$: $$4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{2 + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{2}} = 2^{2{,}5}$$ Wstawiamy otrzymaną postać do lewej strony równania: $$\begin{aligned} L &= (2^{2{,}5})^{2x} \\[8pt] &= 2^{2{,}5 \cdot 2x} \\[8pt] &= 2^{5x} \end{aligned}$$ Zapisujemy równość z prawą stroną: $$2^{5x} = 2^{x^2 + 6}$$ Przyrównujemy wykładniki obu potęg: $$5x = x^2 + 6$$ Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę, uzyskując równanie kwadratowe w postaci ogólnej: $$x^2 - 5x + 6 = 0$$ Wyznaczamy wyróżnik $\Delta$ oraz miejsca zerowe: $$\begin{aligned} \Delta &= (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 \\[8pt] &= 25 - 24 \\[8pt] &= 1 \end{aligned}$$ $$\sqrt{\Delta} = 1$$ Obliczamy pierwiastki równania: $$\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-(-5) - 1}{2 \cdot 1} = \dfrac{4}{2} = 2 \\[8pt] x_2 &= \dfrac{-(-5) + 1}{2 \cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3 \end{aligned}$$ Rozwiązaniem są liczby $x = 2$ oraz $x = 3$.
Podpunkt c) Rozwiązujemy równanie $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2 - 2x} \cdot 27^x = \dfrac{3^{x-2}}{27}$:
Zapisujemy wszystkie elementy za pomocą potęg liczby $3$: $$\dfrac{1}{3} = 3^{-1}, \quad 27 = 3^3$$ Upraszczamy lewą stronę równania: $$\begin{aligned} L &= (3^{-1})^{x^2 - 2x} \cdot (3^3)^x \\[8pt] &= 3^{-(x^2 - 2x)} \cdot 3^{3x} \\[8pt] &= 3^{-x^2 + 2x} \cdot 3^{3x} \\[8pt] &= 3^{-x^2 + 2x + 3x} \\[8pt] &= 3^{-x^2 + 5x} \end{aligned}$$ Upraszczamy prawą stronę równania, odejmując wykładniki przy dzieleniu potęg: $$\begin{aligned} P &= \dfrac{3^{x-2}}{3^3} \\[8pt] &= 3^{(x-2) - 3} \\[8pt] &= 3^{x - 5} \end{aligned}$$ Porównujemy obie strony: $$3^{-x^2 + 5x} = 3^{x - 5}$$ Przyrównujemy wykładniki: $$-x^2 + 5x = x - 5$$ Przenosimy wszystkie wyrażenia na prawą stronę: $$\begin{aligned} 0 &= x^2 - 5x + x - 5 \\[8pt] x^2 - 4x - 5 &= 0 \end{aligned}$$ Obliczamy wyróżnik $\Delta$: $$\begin{aligned} \Delta &= (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) \\[8pt] &= 16 + 20 \\[8pt] &= 36 \end{aligned}$$ $$\sqrt{\Delta} = 6$$ Wyznaczamy rozwiązania: $$\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-(-4) - 6}{2 \cdot 1} = \dfrac{4 - 6}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1 \\[8pt] x_2 &= \dfrac{-(-4) + 6}{2 \cdot 1} = \dfrac{4 + 6}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 \end{aligned}$$ Rozwiązaniami równania są liczby $x = -1$ oraz $x = 5$.

Odpowiedź:
a) $x = 2$

b) $x = 2$ lub $x = 3$

c) $x = -1$ lub $x = 5$

Grupa B

Zadanie 1

Ustal wszystkie wartości zmiennej rzeczywistej $x$, dla których prawdziwe są następujące równania:

a) $0,6^{x+3} = \left(1\dfrac{2}{3}\right)^{x-1}$

b) $\left(6\dfrac{1}{4}\right)^{x+1} = 0,4^{2x-6}$

c) $\left(1\dfrac{1}{4}\right)^{3x-5} - \left(\dfrac{4}{5}\right)^{x+1} = 0$

d) $0,5^{2x-7} = 8^{x-1}$

e) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2} - 8^{-x} = 0$

f) $5^{\frac{6}{x+1}} = 0,2^3$

Zadanie 2

Znajdź wszystkie wartości zmiennej rzeczywistej $x$, które spełniają podane równania wykładnicze:

a) $5^{|x-3|} = 125$

b) $(\sqrt[3]{3})^{|x+1|} = 9$

c) $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{|x-4|+3} = \left(6\dfrac{1}{4}\right)^2$

d) $(\sqrt{27})^{|4-x|} = 3^{|4-x|}$

e) $16 \cdot 2^{|-x-1|} = 8^{|x+1|}$

f) $\dfrac{64}{2^{|x-2|}} = 4^{|2-x|}$

Zadanie 3

Wyznacz zbiór wszystkich rozwiązań rzeczywistych dla każdego z podanych równań:

a) $2^{x^2} = 16^{x - 0,75}$

b) $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-x^2} = \left(2\dfrac{7}{9}\right)^2$

c) $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{x^2 - 3x} = \left(1\dfrac{2}{3}\right)^{2x^2}$

Zadanie 4

Znajdź zbiór rozwiązań każdego z poniższych równań wykładniczych w dziedzinie liczb rzeczywistych:

a) $\dfrac{4^x}{8} = 4^{\frac{5}{x-2}}$

b) $2^{x^3 + x^2} = 8 \cdot 2^{3x}$

c) $\sqrt[3]{2^{x-1}} = 4^{\frac{(x-1)^2}{2x}}$

Zadanie 5

Ustal zbiór wszystkich rozwiązań rzeczywistych dla podanych równań:

a) $(\sqrt{32})^x \cdot 2^{2x - 0{,}5} = \left(\dfrac{1}{16}\right)^{x - 2}$

b) $(27\sqrt{3})^{2x} = 3^{x^2 + 12}$

c) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2 - 2x} \cdot 8^x = \dfrac{2^{2x}}{16}$

25.4 Równania wykładnicze

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋