Równania logarytmiczne kartkówka LiczBit

26.4 Równania logarytmiczne

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste spełniające poniższe równania logarytmiczne, pamiętając o uprzednim ustaleniu dziedziny każdego z nich:

a) $\log_3 (x - 2) = 4$

b) $\log_{\frac{1}{5}} (3x + 10) = -2$

c) $\log_{\sqrt{2}} (9 - x) = 6$

Wskazówki:

Liczba logarytmowana w równaniu postaci $\log_a (f(x)) = b$ musi być ściśle dodatnia, czyli $f(x) > 0$. Rozwiązanie tej nierówności wyznacza dziedzinę równania $D$.
Wykorzystaj fundamentalną definicję logarytmu: $\log_a c = b \iff a^b = c$ dla $a > 0$ oraz $a \neq 1$.
Po wyznaczeniu wartości niewiadomej $x$ zawsze sprawdź, czy otrzymana liczba należy do ustalonej dziedziny $D$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $\log_3 (x - 2) = 4$:
Ustalamy dziedzinę równania, pamiętając, że wyrażenie logarytmowane musi przyjmować wartości ściśle dodatnie: $$\begin{aligned} x - 2 &> 0 \\[8pt] x &> 2 \end{aligned}$$ Zatem dziedziną jest przedział $D = (2, +\infty)$.

Stosujemy definicję logarytmu, przekształcając równanie na postać potęgową: $$\begin{aligned} x - 2 &= 3^4 \\[8pt] x - 2 &= 81 \\[8pt] x &= 81 + 2 \\[8pt] x &= 83 \end{aligned}$$ Otrzymana liczba spełnia warunek dziedziny ($83 \in D$), a więc stanowi poprawne rozwiązanie.
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $\log_{\frac{1}{5}} (3x + 10) = -2$:
Wyznaczamy dziedzinę z warunku dodatniości argumentu logarytmu: $$\begin{aligned} 3x + 10 &> 0 \\[8pt] 3x &> -10 \\[8pt] x &> -\dfrac{10}{3} \end{aligned}$$ Dziedzina wynosi zatem $D = \left(-\dfrac{10}{3}, +\infty\right)$.

Korzystamy z definicji logarytmu, podnosząc podstawę do potęgi równej prawej stronie równania: $$\begin{aligned} 3x + 10 &= \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} \\[8pt] 3x + 10 &= 5^2 \\[8pt] 3x + 10 &= 25 \\[8pt] 3x &= 25 - 10 \\[8pt] 3x &= 15 \\[8pt] x &= 5 \end{aligned}$$ Wartość $x = 5$ należy do wyznaczonej dziedziny, ponieważ $5 > -\dfrac{10}{3}$ ($5 \in D$), stanowi zatem szukane rozwiązanie równania.
Podpunkt c) Rozwiązujemy równanie $\log_{\sqrt{2}} (9 - x) = 6$:
Określamy dziedzinę równania: $$\begin{aligned} 9 - x &> 0 \\[8pt] -x &> -9 \\[8pt] x &< 9 \end{aligned}$$ Stąd dziedzina to przedział $D = (-\infty, 9)$.

Przekształcamy równanie na postać potęgową w oparciu o definicję logarytmu: $$\begin{aligned} 9 - x &= (\sqrt{2})^6 \\[8pt] 9 - x &= \left(2^{\frac{1}{2}}\right)^6 \\[8pt] 9 - x &= 2^3 \\[8pt] 9 - x &= 8 \\[8pt] -x &= 8 - 9 \\[8pt] -x &= -1 \\[8pt] x &= 1 \end{aligned}$$ Liczba $x = 1$ leży w dziedzinie ($1 < 9$), co oznacza, że jest prawidłowym rozwiązaniem.

Odpowiedź:
a) $D = (2, +\infty)$, $x = 83$

b) $D = \left(-\dfrac{10}{3}, +\infty\right)$, $x = 5$

c) $D = (-\infty, 9)$, $x = 1$

Zadanie 2

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste spełniające poniższe równania. Pamiętaj o uprzednim wyznaczeniu dziedziny dla każdego z przypadków:

a) $\log_3 \dfrac{1}{x} = 2$

b) $\log_{\frac{1}{2}} \dfrac{4}{3 - x} = -3$

c) $\log_{64} \dfrac{2}{x + 5} = \dfrac{1}{3}$

Wskazówki:

Liczba logarytmowana musi być zawsze ściśle dodatnia, a mianownik ułamka różny od zera.
Skorzystaj z podstawowej definicji logarytmu: równość $\log_a b = c$ oznacza, że $a^c = b$.
Po wyliczeniu niewiadomej bezwzględnie sprawdź, czy otrzymana wartość należy do wcześniej wyznaczonej dziedziny.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $\log_3 \dfrac{1}{x} = 2$:
W pierwszym kroku ustalamy dziedzinę równania. Wyrażenie logarytmowane musi być dodatnie: $$\dfrac{1}{x} > 0 \iff x > 0$$ Zatem dziedziną jest przedział $D = (0, +\infty)$.

Przechodzimy do rozwiązania równania, korzystając bezpośrednio z definicji logarytmu: $$\begin{aligned} \dfrac{1}{x} &= 3^2 \\[8pt] \dfrac{1}{x} &= 9 \\[8pt] x &= \dfrac{1}{9} \end{aligned}$$ Sprawdzamy warunek dziedziny: $\dfrac{1}{9} > 0$, więc liczba $\dfrac{1}{9}$ należy do dziedziny.
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $\log_{\frac{1}{2}} \dfrac{4}{3 - x} = -3$:
Wyznaczamy dziedzinę równania. Liczba logarytmowana musi być dodatnia: $$\dfrac{4}{3 - x} > 0$$ Ponieważ licznik jest dodatni ($4 > 0$), cały ułamek jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy mianownik jest dodatni: $$\begin{aligned} 3 - x &> 0 \\[8pt] x &< 3 \end{aligned}$$ Zatem dziedziną jest przedział $D = (-\infty, 3)$.

Stosujemy definicję logarytmu, podnosząc podstawę do potęgi równej prawej stronie: $$\begin{aligned} \dfrac{4}{3 - x} &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3} \\[8pt] \dfrac{4}{3 - x} &= 2^3 \\[8pt] \dfrac{4}{3 - x} &= 8 \end{aligned}$$ Mnożymy obie strony równania przez mianownik $(3 - x)$: $$\begin{aligned} 4 &= 8(3 - x) \\[8pt] 4 &= 24 - 8x \\[8pt] 8x &= 20 \\[8pt] x &= \dfrac{20}{8} = \dfrac{5}{2} \end{aligned}$$ Weryfikujemy przynależność do dziedziny: $\dfrac{5}{2} = 2{,}5 < 3$, zatem rozwiązanie jest poprawne.
Podpunkt c) Rozwiązujemy równanie $\log_{64} \dfrac{2}{x + 5} = \dfrac{1}{3}$:
Określamy dziedzinę równania na podstawie warunku dodatniości liczby pod znakiem logarytmu: $$\dfrac{2}{x + 5} > 0 \iff x + 5 > 0 \iff x > -5$$ Stąd dziedzina to przedział $D = (-5, +\infty)$.

Przekształcamy równanie z wykorzystaniem definicji logarytmu: $$\begin{aligned} \dfrac{2}{x + 5} &= 64^{\frac{1}{3}} \\[8pt] \dfrac{2}{x + 5} &= \sqrt[3]{64} \\[8pt] \dfrac{2}{x + 5} &= 4 \end{aligned}$$ Mnożymy obustronnie przez wyrażenie $(x + 5)$: $$\begin{aligned} 2 &= 4(x + 5) \\[8pt] 2 &= 4x + 20 \\[8pt] 4x &= 2 - 20 \\[8pt] 4x &= -18 \\[8pt] x &= -\dfrac{18}{4} = -\dfrac{9}{2} \end{aligned}$$ Sprawdzamy warunek dziedziny: $-\dfrac{9}{2} = -4{,}5 > -5$, więc otrzymana wartość spełnia założenia.

Odpowiedź:
a) $x = \dfrac{1}{9}$

b) $x = \dfrac{5}{2}$

c) $x = -\dfrac{9}{2}$

Zadanie 3

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste spełniające podane równanie, pamiętając o uprzednim wyznaczeniu jego dziedziny:

a) $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 3x + 4) = -2$

b) $\log_2(x^2 - 9) = 4$

Wskazówki:

Logarytm $\log_a b$ jest określony tylko wtedy, gdy podstawa $a > 0$ oraz $a \ne 1$, a liczba logarytmowana $b > 0$. W obu podpunktach podstawy są stałymi liczbami spełniającymi warunki definicji, dlatego dziedzina wynika wyłącznie z warunku dodatniości wyrażenia wewnątrz nawiasu.
Skorzystaj z definicji logarytmu: równość $\log_a b = c$ jest równoważna zależności $b = a^c$.
Pamiętaj o potędze o wykładniku ujemnym: $\left(\frac{1}{a}\right)^{-n} = a^n$.
Po wyznaczeniu rozwiązań równania kwadratowego bezwzględnie sprawdź, czy należą one do wyznaczonej na początku dziedziny.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie dziedziny i rozwiązanie równania $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 3x + 4) = -2$:
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Wyrażenie logarytmowane musi przyjmować wartości dodatnie: $$x^2 - 3x + 4 > 0$$ Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego po lewej stronie: $$\begin{aligned} \Delta &= (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 \\[8pt] &= 9 - 16 = -7 \end{aligned}$$ Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni ($a = 1 > 0$) oraz $\Delta < 0$, parabola leży w całości powyżej osi liczb rzeczywistych. Nierówność jest spełniona dla każdego $x \in \mathbb{R}$, zatem dziedziną równania jest zbiór: $$D = \mathbb{R}$$ Przechodzimy do rozwiązania równania na mocy definicji logarytmu: $$\begin{aligned} x^2 - 3x + 4 &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} \\[8pt] x^2 - 3x + 4 &= 2^2 \\[8pt] x^2 - 3x + 4 &= 4 \end{aligned}$$ Odejmujemy $4$ od obu stron równania: $$\begin{aligned} x^2 - 3x &= 0 \\[8pt] x(x - 3) &= 0 \end{aligned}$$ Iloczyn jest równy zeru, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zeru: $$x = 0 \quad \text{lub} \quad x = 3$$ Obie liczby należą do wyznaczonej dziedziny $D = \mathbb{R}$, stanowią zatem rozwiązania równania.
Podpunkt b) Wyznaczenie dziedziny i rozwiązanie równania $\log_2(x^2 - 9) = 4$:
Określamy dziedzinę równania – liczba logarytmowana musi być większa od zera: $$x^2 - 9 > 0$$ Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $$(x - 3)(x + 3) > 0$$ Miejscami zerowymi są liczby $x = -3$ oraz $x = 3$. Ramiona paraboli są skierowane w górę, stąd rozwiązaniem nierówności jest suma przedziałów: $$D = (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$$ Stosujemy definicję logarytmu do wyjściowego równania: $$\begin{aligned} x^2 - 9 &= 2^4 \\[8pt] x^2 - 9 &= 16 \\[8pt] x^2 &= 25 \end{aligned}$$ Rozwiązaniami równania kwadratowego są dwie liczby przeciwne: $$x = 5 \quad \text{lub} \quad x = -5$$ Sprawdzamy, czy wyznaczone pierwiastki należą do dziedziny $D$: $$\begin{aligned} 5 &\in (3, \infty) \subset D \\[8pt] -5 &\in (-\infty, -3) \subset D \end{aligned}$$ Obie liczby spełniają warunek dziedziny, zatem zbiorem rozwiązań jest $x \in \{-5, 5\}$.

Odpowiedź:
a) $x \in \{0, 3\}$

b) $x \in \{-5, 5\}$

Zadanie 4

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste $x$ spełniające podane równania logarytmiczne:

a) $\log_x 64 = 3$

b) $\log_x 49 = 2$

c) $\log_{3x} 9 = -2$

Wskazówki:

Każde równanie logarytmiczne rozpocznij od wyznaczenia dziedziny: podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią i różną od $1$.
Zastosuj definicję logarytmu: dla $a > 0$, $a \ne 1$ oraz $b > 0$ równość $\log_a b = c$ jest równoważna relacji $a^c = b$.
W podpunkcie c) pamiętaj o własności potęgi o wykładniku ujemnym: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.
Na końcu zawsze skonfrontuj otrzymane rozwiązania z wyznaczoną dziedziną.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $\log_x 64 = 3$:
Zaczynamy od określenia dziedziny równania. Podstawa logarytmu musi być dodatnia oraz różna od jedności: $$x > 0 \quad \text{i} \quad x \ne 1 \implies x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$$ Stosujemy definicję logarytmu: $$x^3 = 64$$ Szukamy liczby rzeczywistej, której sześcian jest równy $64$: $$\begin{aligned} x &= \sqrt[3]{64} \\[8pt] x &= 4 \end{aligned}$$ Sprawdzamy zgodność z dziedziną: liczba $4$ spełnia warunek $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $\log_x 49 = 2$:
Wyznaczamy dziedzinę równania na podstawie założeń dotyczących podstawy logarytmu: $$x > 0 \quad \text{i} \quad x \ne 1 \implies x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$$ Przekształcamy równanie zgodnie z definicją logarytmu: $$x^2 = 49$$ Rozwiązujemy równanie kwadratowe: $$x = 7 \quad \text{lub} \quad x = -7$$ Liczba $-7$ nie należy do dziedziny, ponieważ podstawa logarytmu nie może być ujemna. Wartość $7$ spełnia wszystkie założenia ($7 > 0$ oraz $7 \ne 1$). Zatem jedynym poprawnym rozwiązaniem jest $x = 7$.
Podpunkt c) Rozwiązujemy równanie $\log_{3x} 9 = -2$:
Podstawa logarytmu wynosi $3x$, co narzuca następujące warunki dziedziny: $$\begin{cases} 3x > 0 \\[8pt] 3x \ne 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 0 \\[8pt] x \ne \dfrac{1}{3} \end{cases} \implies x \in \left(0, \dfrac{1}{3}\right) \cup \left(\dfrac{1}{3}, +\infty\right)$$ Korzystamy z definicji logarytmu: $$(3x)^{-2} = 9$$ Zamieniamy ujemny wykładnik potęgi na odwrotność: $$\dfrac{1}{(3x)^2} = 9$$ Podnosimy mianownik do kwadratu: $$\dfrac{1}{9x^2} = 9$$ Mnożymy obustronnie przez $x^2$, a następnie dzielimy przez $9$: $$\begin{aligned} 9x^2 \cdot 9 &= 1 \\[8pt] 81x^2 &= 1 \\[8pt] x^2 &= \dfrac{1}{81} \end{aligned}$$ Pierwiastkujemy obie strony: $$x = \dfrac{1}{9} \quad \text{lub} \quad x = -\dfrac{1}{9}$$ Wartość ujemna $x = -\dfrac{1}{9}$ odpada ze względu na założenie $x > 0$. Rozwiązanie $x = \dfrac{1}{9}$ jest dodatnie oraz różne od $\dfrac{1}{3}$, co oznacza, że należy do dziedziny.

Odpowiedź:
a) $x = 4$

b) $x = 7$

c) $x = \dfrac{1}{9}$

Zadanie 5

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste spełniające poniższe równanie. Rozwiązanie poprzedź wyznaczeniem dziedziny:

a) $\log_{3x - 2} 49 = 2$

b) $\log_{5 - x} 16 = 4$

c) $\log_{4x + 1} 64 = 3$

Wskazówki:

Z definicji logarytmu $\log_a b = c \iff a^c = b$.
Podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią różną od jeden, czyli $a > 0$ oraz $a \ne 1$.
Rozwiązanie każdego podpunktu rozpoczynamy od wyznaczenia dziedziny równania ($D$), a po wyznaczeniu wartości niewiadomej weryfikujemy, czy należy ona do ustalonej dziedziny.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $\log_{3x - 2} 49 = 2$:
W podstawie logarytmu znajduje się wyrażenie $3x - 2$. Zapisujemy warunki określające dziedzinę równania: $$\begin{cases} 3x - 2 > 0 \\ 3x - 2 \ne 1 \end{cases}$$ Rozwiązujemy układ nierówności: $$\begin{aligned} 3x &> 2 \implies x > \dfrac{2}{3} \\[8pt] 3x &\ne 3 \implies x \ne 1 \end{aligned}$$ Dziedzina równania to: $$D = \left(\dfrac{2}{3}, 1\right) \cup (1, \infty)$$ Stosujemy definicję logarytmu: $$(3x - 2)^2 = 49$$ Ponieważ podstawa logarytmu musi być dodatnia ($3x - 2 > 0$), bierzemy pod uwagę wyłącznie pierwiastek dodatni: $$\begin{aligned} 3x - 2 &= \sqrt{49} \\[8pt] 3x - 2 &= 7 \\[8pt] 3x &= 9 \\[8pt] x &= 3 \end{aligned}$$ Sprawdzamy przynależność do dziedziny: liczba $3 \in D$, zatem stanowi poprawne rozwiązanie.
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $\log_{5 - x} 16 = 4$:
Wyznaczamy dziedzinę równania, nakładając warunki na podstawę logarytmu: $$\begin{cases} 5 - x > 0 \\ 5 - x \ne 1 \end{cases}$$ Przekształcamy obie relacje: $$\begin{aligned} -x &> -5 \implies x < 5 \\[8pt] -x &\ne -4 \implies x \ne 4 \end{aligned}$$ Dziedziną równania jest zbiór: $$D = (-\infty, 4) \cup (4, 5)$$ Przekształcamy równanie z definicji logarytmu: $$(5 - x)^4 = 16$$ Zauważamy, że $16 = 2^4$. Ponieważ podstawa logarytmu jest z założenia liczbą dodatnią ($5 - x > 0$): $$\begin{aligned} 5 - x &= 2 \\[8pt] -x &= 2 - 5 \\[8pt] -x &= -3 \\[8pt] x &= 3 \end{aligned}$$ Weryfikujemy warunek dziedziny: $3 < 4$, więc $3 \in D$. Rozwiązaniem jest $x = 3$.
Podpunkt c) Rozwiązujemy równanie $\log_{4x + 1} 64 = 3$:
Ustalamy dziedzinę równania dla podstawy równej $4x + 1$: $$\begin{cases} 4x + 1 > 0 \\ 4x + 1 \ne 1 \end{cases}$$ Wyznaczamy przedziały dla zmiennej $x$: $$\begin{aligned} 4x &> -1 \implies x > -\dfrac{1}{4} \\[8pt] 4x &\ne 0 \implies x \ne 0 \end{aligned}$$ Stąd dziedzina to: $$D = \left(-\dfrac{1}{4}, 0\right) \cup (0, \infty)$$ Zgodnie z definicją logarytmu podnosimy podstawę do potęgi trzeciej: $$(4x + 1)^3 = 64$$ Ponieważ $64 = 4^3$, a funkcja potęgowa o wykładniku nieparzystym jest ściśle monotoniczna: $$\begin{aligned} 4x + 1 &= 4 \\[8pt] 4x &= 3 \\[8pt] x &= \dfrac{3}{4} \end{aligned}$$ Weryfikujemy przynależność wyniku do dziedziny: liczba $\dfrac{3}{4} > 0$, a zatem $\dfrac{3}{4} \in D$.

Odpowiedź:
a) $D = \left(\dfrac{2}{3}, 1\right) \cup (1, \infty)$, $x = 3$

b) $D = (-\infty, 4) \cup (4, 5)$, $x = 3$

c) $D = \left(-\dfrac{1}{4}, 0\right) \cup (0, \infty)$, $x = \dfrac{3}{4}$

Grupa B

Zadanie 1

Dla każdego z poniższych równań logarytmicznych określ zbiór dopuszczalnych wartości zmiennej $x$, a następnie znajdź jego rozwiązanie:

a) $\log_2 (x - 5) = 4$

b) $\log_{\frac{1}{3}} (2x + 11) = -2$

c) $\log_{\sqrt{3}} (13 - x) = 4$

Zadanie 2

Znajdź zbiór rozwiązań każdego z podanych równań logarytmicznych, uwzględniając odpowiednie założenia dotyczące dziedziny:

a) $\log_5 \dfrac{1}{x} = 2$

b) $\log_{\frac{1}{4}} \dfrac{2}{5 - x} = -2$

c) $\log_{27} \dfrac{9}{x + 2} = \dfrac{2}{3}$

Zadanie 3

Określ dziedzinę, a następnie znajdź wszystkie rozwiązania rzeczywiste równania:

a) $\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 4x + 6) = -1$

b) $\log_2(x^2 - 4) = 5$

Zadanie 4

Znajdź wartości niewiadomej $x$, które są rozwiązaniami następujących równań:

a) $\log_x 125 = 3$

b) $\log_x 64 = 2$

c) $\log_{2x} 36 = -2$

Zadanie 5

Rozwiąż podane równania z niewiadomą w podstawie logarytmu. Pamiętaj o uprzednim ustaleniu dziedziny każdego z nich:

a) $\log_{2x - 5} 36 = 2$

b) $\log_{4 - x} 625 = 4$

c) $\log_{3x + 2} 125 = 3$

26.4 Równania logarytmiczne

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋