Prawdopodobieństwo klasyczne kartkówka LiczBit

28.5 Prawdopodobieństwo klasyczne

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (4 pkt)

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) $A$ – suma liczb wyrzuconych oczek jest równa $7$, b) $B$ – iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest liczbą podzielną przez $4$, c) $C$ – w drugim rzucie wypadła większa liczba oczek niż w pierwszym rzucie, d) $D$ – co najmniej raz wypadła nieparzysta liczba oczek.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (4 pkt)

Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema czworościennymi symetrycznymi kostkami z liczbami 1, 2, 3, 4 na poszczególnych ściankach. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) $A$ — suma otrzymanych liczb jest liczbą parzystą, b) $B$ — iloczyn otrzymanych liczb jest większy od 10, c) $C$ — wartość bezwzględna różnicy otrzymanych liczb jest równa 2, d) $D$ — co najmniej na jednej z kostek wypadła liczba 3.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (4 pkt)

Ze zbioru 52 kart losujemy jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) $A$ – wylosowana karta jest królem w czarnym kolorze lub kartą w kolorze pik, b) $B$ – wylosowana karta jest asem lub treflem, c) $C$ – wylosowana karta jest starsza od dziewiątki i nie jest kierem, d) $D$ – wylosowana karta jest w czerwonym kolorze i nie jest asem ani królem.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych $\Omega$ to zbiór 52 kart. Moc tego zbioru wynosi $|\Omega| = 52$ a) Zdarzenie $A$: wylosowana karta jest królem w czarnym kolorze lub kartą w kolorze pik. Niech $A_1$ oznacza zdarzenie, że wylosowano króla w czarnym kolorze. Są dwa takie króle (król pik i król trefl), więc $|A_1| = 2$. Niech $A_2$ oznacza zdarzenie, że wylosowano kartę w kolorze pik. Jest 13 takich kart, więc $|A_2| = 13$. Zdarzenie $A_1 \cap A_2$ polega na wylosowaniu króla pik. Jest jedna taka karta, więc $|A_1 \cap A_2| = 1$. Liczba kart sprzyjających zdarzeniu $A$ wynosi: $|A| = |A_1| + |A_2| - |A_1 \cap A_2| = 2 + 13 - 1 = 14$. Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ wynosi:\[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{14}{52} = \frac{7}{26}\]b) Zdarzenie $B$: wylosowana karta jest asem lub treflem. Niech $B_1$ oznacza zdarzenie, że wylosowano asa. Są 4 asy w talii, więc $|B_1| = 4$. Niech $B_2$ oznacza zdarzenie, że wylosowano trefla. Jest 13 trefli, więc $|B_2| = 13$. Zdarzenie $B_1 \cap B_2$ polega na wylosowaniu asa trefl. Jest jedna taka karta, więc $|B_1 \cap B_2| = 1$. Liczba kart sprzyjających zdarzeniu $B$ wynosi: $|B| = |B_1| + |B_2| - |B_1 \cap B_2| = 4 + 13 - 1 = 16$. Prawdopodobieństwo zdarzenia $B$ wynosi:\[P(B) = \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}\]c) Zdarzenie $C$: wylosowana karta jest starsza od dziewiątki i nie jest kierem. Karty starsze od dziewiątki to 10, walet, dama, król, as. Jest 5 takich rang. Są 3 kolory, które nie są kierami (karo, trefl, pik). W każdym z tych kolorów jest 5 kart starszych od dziewiątki. Zatem $|C| = 3 \cdot 5 = 15$. Prawdopodobieństwo zdarzenia $C$ wynosi:\[P(C) = \frac{|C|}{|\Omega|} = \frac{15}{52}\]d) Zdarzenie $D$: wylosowana karta jest w czerwonym kolorze i nie jest asem ani królem. W talii jest 26 kart w czerwonym kolorze (kiery i kara). Wśród czerwonych kart są 2 asy (as kier i as karo) oraz 2 króle (król kier i król karo), łącznie 4 karty. Liczba czerwonych kart, które nie są ani asem, ani królem, wynosi $26 - 4 = 22$. Zatem $|D| = 22$. Prawdopodobieństwo zdarzenia $D$ wynosi:\[P(D) = \frac{|D|}{|\Omega|} = \frac{22}{52} = \frac{11}{26}\]

Zadanie 4 (4 pkt)

Ze zbioru wszystkich liczb dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) $A$ — wylosowana liczba jest podzielna przez $13$, b) $B$ — wylosowana liczba jest nie większa niż $52$ i nie mniejsza niż $41$, c) $C$ — wylosowana liczba jest podzielna przez $4$ i nie jest podzielna przez $6$, d) $D$ — wylosowana liczba jest całkowitą wielokrotnością liczby $7$ lub liczby $9$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zbiór wszystkich liczb dwucyfrowych to liczby od $10$ do $99$. Liczba wszystkich możliwych wyników losowania wynosi:\[|\Omega| = 99 - 10 + 1 = 90\]a) Zdarzenie $A$: wylosowana liczba jest podzielna przez $13$. Liczby dwucyfrowe podzielne przez $13$ to: $13, 26, 39, 52, 65, 78, 91$. Liczba zdarzeń sprzyjających $A$ wynosi:\[|A| = 7\]Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ wynosi:\[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{7}{90}\]b) Zdarzenie $B$: wylosowana liczba jest nie większa niż $52$ i nie mniejsza niż $41$. Oznacza to, że wylosowana liczba $x$ spełnia warunek $41 \le x \le 52$. Liczby dwucyfrowe spełniające ten warunek to: $41, 42, \dots, 52$. Liczba zdarzeń sprzyjających $B$ wynosi:\[|B| = 52 - 41 + 1 = 12\]Prawdopodobieństwo zdarzenia $B$ wynosi:\[P(B) = \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}\]c) Zdarzenie $C$: wylosowana liczba jest podzielna przez $4$ i nie jest podzielna przez $6$. Niech $C_4$ będzie zbiorem liczb dwucyfrowych podzielnych przez $4$. Liczby podzielne przez $4$ to: $12, 16, \dots, 96$. Liczba elementów zbioru $C_4$:\[|C_4| = \frac{96-12}{4} + 1 = \frac{84}{4} + 1 = 21 + 1 = 22\]Niech $C_6$ będzie zbiorem liczb dwucyfrowych podzielnych przez $6$. Liczby podzielne przez $6$ to: $12, 18, \dots, 96$. Liczba elementów zbioru $C_6$:\[|C_6| = \frac{96-12}{6} + 1 = \frac{84}{6} + 1 = 14 + 1 = 15\]Liczby podzielne przez $4$ i przez $6$ są podzielne przez najmniejszą wspólną wielokrotność liczb $4$ i $6$, czyli przez $\text{NWW}(4, 6) = 12$. Niech $C_{12}$ będzie zbiorem liczb dwucyfrowych podzielnych przez $12$. Liczby podzielne przez $12$ to: $12, 24, \dots, 96$. Liczba elementów zbioru $C_{12}$:\[|C_{12}| = \frac{96-12}{12} + 1 = \frac{84}{12} + 1 = 7 + 1 = 8\]Liczba zdarzeń sprzyjających $C$ to liczba elementów zbioru $C_4$ pomniejszona o liczbę elementów zbioru $C_{12}$ (ponieważ te są podzielne przez $6$).\[|C| = |C_4| - |C_{12}| = 22 - 8 = 14\]Prawdopodobieństwo zdarzenia $C$ wynosi:\[P(C) = \frac{|C|}{|\Omega|} = \frac{14}{90} = \frac{7}{45}\]d) Zdarzenie $D$: wylosowana liczba jest całkowitą wielokrotnością liczby $7$ lub liczby $9$. Niech $D_7$ będzie zbiorem liczb dwucyfrowych podzielnych przez $7$. Liczby podzielne przez $7$ to: $14, 21, \dots, 98$. Liczba elementów zbioru $D_7$:\[|D_7| = \frac{98-14}{7} + 1 = \frac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\]Niech $D_9$ będzie zbiorem liczb dwucyfrowych podzielnych przez $9$. Liczby podzielne przez $9$ to: $18, 27, \dots, 99$. Liczba elementów zbioru $D_9$:\[|D_9| = \frac{99-18}{9} + 1 = \frac{81}{9} + 1 = 9 + 1 = 10\]Liczby podzielne przez $7$ i przez $9$ są podzielne przez najmniejszą wspólną wielokrotność liczb $7$ i $9$, czyli przez $\text{NWW}(7, 9) = 63$. Niech $D_{63}$ będzie zbiorem liczb dwucyfrowych podzielnych przez $63$. Liczby podzielne przez $63$ to: $63$. Liczba elementów zbioru $D_{63}$:\[|D_{63}| = 1\]Liczba zdarzeń sprzyjających $D$ wynosi:\[|D| = |D_7| + |D_9| - |D_{63}| = 13 + 10 - 1 = 22\]Prawdopodobieństwo zdarzenia $D$ wynosi:\[P(D) = \frac{|D|}{|\Omega|} = \frac{22}{90} = \frac{11}{45}\]

Zadanie 5 (2 pkt)

Ze zbioru liczb $\{11, 12, ..., 305\}$ losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) $A$ - wylosowana liczba w wyniku dzielenia przez $5$ daje resztę $2$, b) $B$ - wylosowana liczba w wyniku dzielenia przez $6$ daje resztę $3$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Grupa B

Zadanie 1 (4 pkt)

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) $A$ – suma liczb wyrzuconych oczek jest równa $6$, b) $B$ – iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest kwadratem liczby całkowitej, c) $C$ – w obu rzutach wypadła ta sama liczba oczek, d) $D$ – w obu rzutach wypadła liczba oczek większa od $2$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (4 pkt)

Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema trójściennymi symetrycznymi kostkami z liczbami 1, 2, 3 na poszczególnych ściankach. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) $A$ — iloczyn otrzymanych liczb jest liczbą nieparzystą, b) $B$ — suma otrzymanych liczb jest nie mniejsza niż 4, c) $C$ — liczba na pierwszej kostce jest większa od liczby na drugiej kostce, d) $D$ — suma kwadratów otrzymanych liczb jest mniejsza od 10.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (4 pkt)

Ze zbioru 52 kart losujemy jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) $A$ – wylosowana karta jest waletem lub kartą w kolorze czerwonym, b) $B$ – wylosowana karta jest figurą (walet, dama, król) lub pikiem, c) $C$ – wylosowana karta jest numeryczna (od 2 do 10) i nie jest karo, d) $D$ – wylosowana karta jest czarna i jest wyższa od ósemki.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (4 pkt)

Ze zbioru wszystkich liczb dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) $A$ — wylosowana liczba jest podzielna przez $15$, b) $B$ — wylosowana liczba jest nie większa niż $80$ i nie mniejsza niż $65$, c) $C$ — wylosowana liczba jest podzielna przez $3$ i nie jest podzielna przez $4$, d) $D$ — wylosowana liczba jest całkowitą wielokrotnością liczby $4$ lub liczby $10$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (2 pkt)

Ze zbioru liczb $\{23, 24, ..., 422\}$ losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) $A$ - wylosowana liczba w wyniku dzielenia przez $7$ daje resztę $3$, b) $B$ - wylosowana liczba w wyniku dzielenia przez $5$ daje resztę $1$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi