Podobieństwo figur w przestrzeni kartkówka LiczBit

30.5 Podobieństwo figur w przestrzeni

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

W pracowni stolarskiej wykonano dwa drewniane klocki w kształcie sześcianów. Objętość drugiego sześcianu wynosi $512\text{ cm}^3$, z kolei suma pól wszystkich ścian pierwszego sześcianu jest równa $54\text{ cm}^2$. Ustal skalę podobieństwa pierwszego sześcianu do drugiego.

Wskazówki:

Wszystkie sześciany są figurami podobnymi. Skala podobieństwa $k$ pierwszej bryły do drugiej to stosunek długości ich odpowiadających sobie krawędzi: $k = \dfrac{a_1}{a_2}$.
Sześcian posiada $6$ przystających kwadratowych ścian o boku $a$, zatem jego pole powierzchni całkowitej to $P_c = 6a^2$, a objętość wynosi $V = a^3$.
Czego kategorycznie nie wolno robić: Nigdy nie dziel bezpośrednio wartości pola powierzchni przez objętość (np. $54 : 512$). Pole wyrażone jest w $\text{cm}^2$, a objętość w $\text{cm}^3$ – taki iloraz miałby jednostkę $\frac{1}{\text{cm}}$ i nie ma sensu geometrycznego, podczas gdy skala podobieństwa $k$ jest wielkością bezwymiarową, określającą stosunek wymiarów liniowych.
Uwaga na kolejność: Zwróć uwagę na kierunek porównania w treści pytania. Szukamy skali pierwszego sześcianu do drugiego ($k = \dfrac{a_1}{a_2}$), a nie drugiego do pierwszego ($\dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{8}{3}$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza geometryczna sześcianów wyjściowych:
Niech $a_1$ oznacza długość krawędzi pierwszego sześcianu, a $a_2$ długość krawędzi drugiego sześcianu. Dysponujemy polem powierzchni całkowitej pierwszej bryły oraz objętością drugiej bryły.
Wyznaczenie długości krawędzi obu sześcianów:
Dla pierwszego sześcianu, znając pole powierzchni całkowitej $P_{c1} = 54\text{ cm}^2$: $$P_{c1} = 6a_1^2$$ $$\begin{aligned} 6a_1^2 &= 54 \\[8pt] a_1^2 &= \dfrac{54}{6} \\[8pt] a_1^2 &= 9 \\[8pt] a_1 &= \sqrt{9} = 3\text{ cm} \end{aligned}$$ Dla drugiego sześcianu, znając jego objętość $V_2 = 512\text{ cm}^3$: $$V_2 = a_2^3$$ $$\begin{aligned} a_2^3 &= 512 \\[8pt] a_2 &= \sqrt[3]{512} = 8\text{ cm} \end{aligned}$$
Sposób I – Wyznaczenie skali podobieństwa jako stosunku krawędzi brył:
Skala podobieństwa $k$ pierwszego sześcianu do drugiego sześcianu jest równa stosunkowi długości ich odpowiednich krawędzi: $$k = \dfrac{a_1}{a_2}$$ Podstawiamy wyznaczone wartości $a_1 = 3\text{ cm}$ oraz $a_2 = 8\text{ cm}$: $$k = \dfrac{3}{8} = 0{,}375$$
Sposób II – Wykorzystanie własności objętości brył podobnych:
Dla pierwszego sześcianu o wyznaczonej krawędzi $a_1 = 3\text{ cm}$ obliczamy jego objętość $V_1$: $$V_1 = a_1^3 = 3^3 = 27\text{ cm}^3$$ Wiadomo, że stosunek objętości dwóch brył podobnych jest równy sześcianowi skali podobieństwa ($k^3$): $$\dfrac{V_1}{V_2} = k^3$$ $$\begin{aligned} k^3 &= \dfrac{27}{512} \\[8pt] k &= \sqrt[3]{\dfrac{27}{512}} \\[8pt] k &= \dfrac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{512}} = \dfrac{3}{8} = 0{,}375 \end{aligned}$$
Rysunek wynikowy i graficzne podsumowanie relacji brył:
Zestawienie wyliczonych wymiarów obu sześcianów wraz ze zdefiniowaną relacją podobieństwa.

Odpowiedź:
Skala podobieństwa pierwszego sześcianu do drugiego sześcianu wynosi $\dfrac{3}{8}$ (lub $0{,}375$).

Zadanie 2

Szklana statuetka w formie ostrosłupa została przecięta na dwa elementy płaszczyzną poprowadzoną równolegle do podstawy. Cięcie to przechodzi dokładnie przez połowę wysokości całej bryły. Ustal:

a) stosunek pola powierzchni powstałego przekroju do pola podstawy statuetki,

b) stosunek objętości odciętego mniejszego ostrosłupa do objętości powstałego ostrosłupa ściętego.

Wskazówki:

Płaszczyzna równoległa do podstawy ostrosłupa odcina od niego mniejszy ostrosłup, który jest bryłą geometrycznie podobną do całego ostrosłupa wyjściowego.
Skala podobieństwa brył $k$ to stosunek dowolnych odpowiadających sobie odcinków liniowych, w szczególności wysokości obu ostrosłupów: $k = \dfrac{h_1}{H}$.
Uwaga na typowy błąd w podpunkcie a): Uczniowie często przyjmują, że skoro wysokość odciętego ostrosłupa jest $2$ razy mniejsza, to pole przekroju jest również $2$ razy mniejsze od pola podstawy. To błąd: stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa ($k^2$), a nie samej skali liniowej.
Uwaga na typowy błąd w podpunkcie b): Częstym błędem jest podanie wyniku $1 : 8$. Wartość $\frac{1}{8}$ ($k^3 = \frac{1}{8}$) określa stosunek objętości małego ostrosłupa do objętości całego ostrosłupa. Polecenie wymaga natomiast porównania objętości dwóch powstałych brył (górnej do dolnej). Dolna bryła stanowi dopełnienie: $V_2 = V - \frac{1}{8}V = \frac{7}{8}V$, stąd ich wzajemny stosunek to $1 : 7$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i ustalenie skali podobieństwa brył:
Płaszczyzna równoległa do podstawy ostrosłupa o wysokości $H$ przechodzi przez środek tej wysokości, czyli odcina górny ostrosłup o wysokości: $$h_1 = \dfrac{1}{2}H$$

Odcięty ostrosłup jest bryłą podobną do wyjściowego ostrosłupa. Skala podobieństwa $k$ (jako stosunek odpowiednich wymiarów liniowych) wynosi: $$k = \dfrac{h_1}{H} = \dfrac{\frac{1}{2}H}{H} = \dfrac{1}{2}$$
a) Wyznaczenie stosunku pola przekroju do pola podstawy:
Przekrój ostrosłupa płaszczyzną równoległą do podstawy jest wielokątem podobnym do wielokąta podstawy w tej samej skali $k = \dfrac{1}{2}$.
Zgodnie z podstawowym twierdzeniem stereometrii, stosunek pól dwóch figur płaskich podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa: $$\dfrac{P_{\text{przekroju}}}{P_{\text{podstawy}}} = k^2$$ Podstawiamy wartość skali $k = \dfrac{1}{2}$: $$\begin{aligned} \dfrac{P_{\text{przekroju}}}{P_{\text{podstawy}}} &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \\[8pt] &= \dfrac{1}{4} \end{aligned}$$ Pole przekroju stanowi zatem $\dfrac{1}{4}$ pola podstawy (stosunek ten wynosi $1 : 4$).
b) Wyznaczenie stosunku objętości obu otrzymanych brył:
Stosunek objętości brył podobnych jest równy trzeciej potędze (sześcianowi) skali ich podobieństwa. Objętość odciętego górnego ostrosłupa $V_1$ w relacji do objętości całego ostrosłupa $V$ wynosi: $$\begin{aligned} \dfrac{V_1}{V} &= k^3 \\[8pt] &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 \\[8pt] &= \dfrac{1}{8} \end{aligned}$$ Objętość odciętego ostrosłupa stanowi więc $\dfrac{1}{8}$ objętości całej początkowej bryły: $$V_1 = \dfrac{1}{8}V$$ Druga powstała bryła to ostrosłup ścięty (dolna część). Jej objętość $V_2$ otrzymujemy, odejmując objętość odciętego wierzchołka od objętości całego ostrosłupa: $$\begin{aligned} V_2 &= V - V_1 \\[8pt] &= V - \dfrac{1}{8}V \\[8pt] &= \dfrac{7}{8}V \end{aligned}$$

Obliczamy stosunek objętości odciętego ostrosłupa do objętości powstałego ostrosłupa ściętego: $$\begin{aligned} \dfrac{V_1}{V_2} &= \dfrac{\frac{1}{8}V}{\frac{7}{8}V} \\[8pt] &= \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{8}{7} \\[8pt] &= \dfrac{1}{7} \end{aligned}$$ Stosunek objętości obu brył wynosi zatem $1 : 7$ (bądź $7 : 1$, gdybyśmy rozpatrywali stosunek bryły dolnej do górnej).

Odpowiedź:
a) $\dfrac{1}{4}$ (czyli $1 : 4$)

b) $\dfrac{1}{7}$ (czyli $1 : 7$)

Zadanie 3

Model dekoracyjnej bryły w kształcie ostrosłupa charakteryzuje się polem podstawy równym $960\text{ cm}^2$ oraz wysokością mierzącą $36\text{ cm}$. Ostrosłup ten rozcięto płaszczyzną równoległą do podstawy, uzyskując przekrój o polu powierzchni $60\text{ cm}^2$.
a) W jakiej odległości od podstawy bryły poprowadzono tę płaszczyznę przekroju?
b) Wyznacz objętość mniejszego ostrosłupa odciętego przez tę płaszczyznę.

Wskazówki:

Płaszczyzna równoległa do podstawy ostrosłupa odcina od niego bryłę podobną – mniejszy ostrosłup, którego podstawa pokrywa się z otrzymanym przekrojem.
Stosunek pól powierzchni figur podobnych (przekroju do podstawy) jest równy kwadratowi skali podobieństwa: $\dfrac{P_{pr}}{P_p} = k^2$.
Wszystkie odcinki liniowe odciętego ostrosłupa (w tym jego wysokość $h_o$) są pomniejszone w skali $k$, czyli $h_o = k \cdot H$.
Uwaga na typowy błąd: Powszechnym błędem jest przyrównanie stosunku wysokości bezpośrednio do stosunku pól, czyli zapisanie $\frac{h_o}{H} = \frac{P_{pr}}{P_p}$. Jest to kategorycznie niedozwolone, ponieważ pole powierzchni jest wielkością dwuwymiarową ($\text{cm}^2$), a wysokość jednowymiarową ($\text{cm}$). Stosunek pól wynosi $k^2$, zatem skalę podobieństwa $k$ musimy wyznaczyć przez spierwiastkowanie ilorazu pól. Ponadto należy uważać na treść pytania w podpunkcie a): szukana odległość przekroju od podstawy to $d = H - h_o$, a nie sama wysokość odciętego ostrosłupa $h_o$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza geometrii przekroju:
Rozważmy ostrosłup o wysokości $H = 36\text{ cm}$ i polu podstawy $P_p = 960\text{ cm}^2$. Płaszczyzna równoległa do podstawy dzieli wysokość całego ostrosłupa na dwa odcinki: wysokość odciętego małego ostrosłupa $h_o$ (mierzona od wierzchołka bryły do przekroju) oraz odległość płaszczyzny przekroju od podstawy $d$ (mierzona od przekroju do podstawy). Zależność między nimi wynosi: $$H = h_o + d \implies d = H - h_o$$
a) Wyznaczamy skalę podobieństwa oraz odległość płaszczyzny przekroju od podstawy:
Ostrosłup odcięty jest bryłą podobną do ostrosłupa wyjściowego w pewnej skali $k > 0$. Stosunek pól odpowiadających sobie figur płaskich (podstaw obu ostrosłupów) jest równy kwadratowi skali podobieństwa: $$\begin{aligned} k^2 &= \dfrac{P_{pr}}{P_p} \\[8pt] k^2 &= \dfrac{60}{960} \\[8pt] k^2 &= \dfrac{1}{16} \end{aligned}$$ Wyznaczamy skalę liniową $k$: $$k = \sqrt{\dfrac{1}{16}} = \dfrac{1}{4}$$ Wysokość odciętego ostrosłupa $h_o$ stanowi więc $\dfrac{1}{4}$ wysokości całej bryły $H$: $$\begin{aligned} h_o &= k \cdot H \\[8pt] &= \dfrac{1}{4} \cdot 36 \\[8pt] &= 9\text{ cm} \end{aligned}$$ Obliczamy odległość płaszczyzny przekroju od płaszczyzny podstawy: $$\begin{aligned} d &= H - h_o \\[8pt] &= 36 - 9 \\[8pt] &= 27\text{ cm} \end{aligned}$$
b) Obliczamy objętość odciętego ostrosłupa:
Zadanie to możemy rozwiązać dwoma równorzędnymi sposobami.

Sposób I – Bezpośrednie zastosowanie wzoru na objętość ostrosłupa:
Znając pole podstawy odciętej bryły ($P_{pr} = 60\text{ cm}^2$) oraz jej wysokość ($h_o = 9\text{ cm}$), korzystamy z klasycznego wzoru na objętość ostrosłupa: $$\begin{aligned} V_o &= \dfrac{1}{3} \cdot P_{pr} \cdot h_o \\[8pt] &= \dfrac{1}{3} \cdot 60 \cdot 9 \\[8pt] &= 20 \cdot 9 \\[8pt] &= 180\text{ cm}^3 \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie stosunku objętości brył podobnych ($k^3$):
Stosunek objętości brył podobnych jest równy sześcianowi skali podobieństwa ($k^3$). Wyznaczamy najpierw objętość wyjściowego (całego) ostrosłupa $V$: $$\begin{aligned} V &= \dfrac{1}{3} \cdot P_p \cdot H \\[8pt] &= \dfrac{1}{3} \cdot 960 \cdot 36 \\[8pt] &= 960 \cdot 12 \\[8pt] &= 11520\text{ cm}^3 \end{aligned}$$ Następnie obliczamy objętość odciętego ostrosłupa ze skali podobieństwa: $$\begin{aligned} V_o &= k^3 \cdot V \\[8pt] &= \left(\dfrac{1}{4}\right)^3 \cdot 11520 \\[8pt] &= \dfrac{1}{64} \cdot 11520 \\[8pt] &= 180\text{ cm}^3 \end{aligned}$$ Oba sposoby prowadzą do identycznego rezultatu.

Odpowiedź:
a) $27\text{ cm}$

b) $180\text{ cm}^3$

Zadanie 4

W pracowni modelarskiej zaprojektowano element w kształcie stożka. Zaplanowano przecięcie bryły płaszczyzną równoległą do jej podstawy w taki sposób, aby otrzymany kołowy przekrój miał pole powierzchni o $64\%$ mniejsze od pola podstawy całego stożka. Wyznacz stosunek, w jakim powstały przekrój dzieli objętość tej bryły.

Wskazówki:

Przekrój płaszczyzną równoległą do podstawy odcina od bryły mniejszy stożek, który jest bryłą geometrycznie podobną do stożka wyjściowego. Stosunek pól powierzchni figur podobnych wynosi $k^2$, natomiast stosunek ich objętości wynosi $k^3$, gdzie $k$ to liniowa skala podobieństwa.
Czego kategorycznie nie wolno robić (Błąd 1): Nigdy nie przyjmuj, że stosunek objętości brył jest równy stosunkowi pól ich podstaw! Założenie, że odcięty stożek stanowi $36\%$ objętości całego stożka, jest kardynalnym błędem. Pole rośnie w drugiej potędze wymiaru liniowego ($k^2$), a objętość w trzeciej potędze ($k^3$). Należy najpierw wyznaczyć skalę liniową $k = \sqrt{\dfrac{P_{przekr}}{P_p}}$, a dopiero potem podnieść ją do potęgi trzeciej.
Czego kategorycznie nie wolno robić (Błąd 2): Pytanie dotyczy tego, w jakim stosunku przekrój dzieli objętość bryły. Oznacza to porównanie objętości części górnej (odciętego małego stożka $V_1$) do części dolnej (stożka ściętego $V_2 = V - V_1$), a nie części do całości ($V_1 : V$). Podanie stosunku $\dfrac{V_1}{V}$ zamiast $\dfrac{V_1}{V_2}$ jest częstym błędem nieuwagi.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza własności podobieństwa brył:
Niech $P_p$ oznacza pole koła podstawy stożka, a $P_{przekr}$ pole kołowego przekroju. Przekrój płaszczyzną równoległą do podstawy dzieli wyjściowy stożek o objętości $V$ na dwie części: mały stożek przy wierzchołku o objętości $V_1$ oraz stożek ścięty przy podstawie o objętości $V_2$, przy czym zachodzi relacja $V = V_1 + V_2$.
Wyznaczenie skali podobieństwa brył $k$:
Z treści zadania wynika, że pole przekroju jest o $64\%$ mniejsze od pola podstawy: $$\begin{aligned} P_{przekr} &= P_p - 0{,}64 P_p \\[8pt] &= 0{,}36 P_p \end{aligned}$$ Ponieważ przekrój jest figurą podobną do podstawy, stosunek ich pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa $k$ odciętego małego stożka do stożka wyjściowego: $$\begin{aligned} k^2 &= \dfrac{P_{przekr}}{P_p} \\[8pt] &= \dfrac{0{,}36 P_p}{P_p} = 0{,}36 = \dfrac{36}{100} = \dfrac{9}{25} \end{aligned}$$ Skala podobieństwa jako wielkość geometryczna musi być dodatnia ($k > 0$), zatem pierwiastkujemy obie strony: $$k = \sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$$
Wyznaczenie objętości obu części stożka i ich stosunku:
Stosunek objętości brył podobnych jest równy sześcianowi skali podobieństwa. Obliczamy stosunek objętości odciętego stożka $V_1$ do objętości całego stożka $V$: $$\begin{aligned} \dfrac{V_1}{V} &= k^3 \\[8pt] &= \left(\dfrac{3}{5}\right)^3 = \dfrac{27}{125} \end{aligned}$$ Oznacza to, że mały stożek stanowi: $$V_1 = \dfrac{27}{125} V$$ Objętość dolnej części bryły (stożka ściętego) $V_2$ stanowi dopełnienie do całości: $$\begin{aligned} V_2 &= V - V_1 \\[8pt] &= V - \dfrac{27}{125} V \\[8pt] &= \dfrac{98}{125} V \end{aligned}$$ Wyznaczamy stosunek, w jakim płaszczyzna dzieli objętość bryły, dzieląc $V_1$ przez $V_2$: $$\begin{aligned} \dfrac{V_1}{V_2} &= \dfrac{\dfrac{27}{125} V}{\dfrac{98}{125} V} \\[8pt] &= \dfrac{27}{98} \end{aligned}$$
Rysunek wynikowy i interpretacja podziału bryły:
Otrzymany wynik oznacza, że gdy podzielimy całą bryłę na $125$ równych jednostek objętościowych, to górny stożek zajmie $27$ takich jednostek, natomiast dolny stożek ścięty zajmie pozostałe $98$ jednostek.

Odpowiedź:
Przekrój dzieli objętość stożka w stosunku $27 : 98$ (stosunek odciętego stożka do powstałego stożka ściętego) lub odwrotnie $98 : 27$.

Zadanie 5

W zakładzie obróbki skrawaniem z metalowego odlewu w kształcie stożka wytoczono detal złożony z walca oraz małego stożka, którego podstawa pokrywa się z górną podstawą walca. Kąty rozwarcia małego stożka oraz wyjściowego odlewu są jednakowe, a całkowita wysokość gotowego detalu jest równa wysokości początkowego stożka (zobacz rysunek). Promień podstawy wytoczonego walca stanowi $\dfrac{3}{4}$ promienia podstawy początkowego stożka. Oblicz, jaką część objętości wyjściowego odlewu stanowią wióry metalowe powstałe podczas toczenia.

Wskazówki:

Rozważ przekrój osiowy całego układu. Zauważ, że mały stożek i wyjściowy stożek mają wspólny wierzchołek, taką samą oś symetrii oraz identyczny kąt rozwarcia, co oznacza, że są to bryły podobne w skali $k = \dfrac{r}{R} = \dfrac{3}{4}$.
Stosunek objętości brył podobnych jest równy sześcianowi skali podobieństwa: $\dfrac{V_m}{V_0} = k^3$.
Wysokość walca $h_w$ to różnica między całkowitą wysokością $H$ a wysokością małego stożka $h_m$, czyli $h_w = H - h_m$.
Uwaga na typowe błędy dydaktyczne:
- Kategorycznie nie wolno przyjmować, że wysokość walca jest równa wysokości małego stożka ($h_w = h_m = \dfrac{1}{2}H$). Wysokość małego stożka wynika wprost z warunku podobieństwa i kąta rozwarcia – zmiana jego wysokości przy ustalonym promieniu zmieniłaby kąt rozwarcia, co byłoby sprzeczne z treścią zadania.
- Nie wolno stosować skali podobieństwa do obliczania objętości walca. Walec nie jest bryłą podobną do stożka; jego objętość należy wyznaczyć bezpośrednio ze wzoru $V_w = \pi r^2 h_w$.
- Niedozwolone jest odejmowanie samych promieni $\left(\dfrac{R - r}{R}\right)$ jako miary ubytku objętości, ponieważ objętość zależy trójwymiarowo od iloczynu pola podstawy i wysokości.

Rozwiązanie krok po kroku:

Analiza przekroju osiowego i sporządzenie rysunku pomocniczego:
Przekrój osiowy początkowego stożka tworzy trójkąt równoramienny $ABC$ o podstawie $|AB| = 2R$ i wysokości $|CS_0| = H$. Wewnątrz tego trójkąta znajduje się przekrój wytoczonego detalu: prostokąt o podstawie $2r$ i wysokości $h_w$ (przekrój walca) oraz trójkąt równoramienny o podstawie $2r$ i wysokości $h_m$ (przekrój małego stożka).
Z treści zadania wynika, że promień podstawy walca wynosi: $$r = \dfrac{3}{4}R$$ Ponieważ kąt rozwarcia przy wierzchołku $C$ jest wspólny dla małego stożka i stożka wyjściowego, trójkąt przekroju małego stożka jest podobny do trójkąta przekroju całego stożka na mocy cechy kąt-kąt-kąt.
Wyznaczenie wysokości małego stożka $h_m$ oraz wysokości walca $h_w$:
Z podobieństwa odpowiednich trójkątów prostokątnych w przekroju osiowym wynika proporcja: $$\begin{aligned} \dfrac{h_m}{r} &= \dfrac{H}{R} \\[8pt] h_m &= \dfrac{r}{R} \cdot H \end{aligned}$$ Podstawiając zależność $r = \dfrac{3}{4}R$, otrzymujemy: $$h_m = \dfrac{3}{4}H$$ Ponieważ całkowita wysokość wykonanego detalu jest równa wysokości wyjściowego stożka $H$, wysokość części cylindrycznej (walca) wynosi: $$\begin{aligned} h_w &= H - h_m \\[8pt] &= H - \dfrac{3}{4}H \\[8pt] &= \dfrac{1}{4}H \end{aligned}$$
Sposób I – Zastosowanie skali podobieństwa brył i porównanie udziałów objętości:
Objętość początkowego stożka oznaczamy przez $V_0$.
Mały stożek jest bryłą podobną do stożka wyjściowego w skali podobieństwa $k = \dfrac{r}{R} = \dfrac{3}{4}$. Stosunek ich objętości jest równy sześcianowi skali podobieństwa: $$\begin{aligned} \dfrac{V_m}{V_0} &= k^3 \\[8pt] &= \left(\dfrac{3}{4}\right)^3 \\[8pt] &= \dfrac{27}{64} \end{aligned}$$ Stąd objętość małego stożka stanowi: $$V_m = \dfrac{27}{64}V_0$$ Objętość walca $V_w = \pi r^2 h_w$ porównujemy z objętością wyjściowego stożka $V_0 = \dfrac{1}{3}\pi R^2 H$: $$\begin{aligned} \dfrac{V_w}{V_0} &= \dfrac{\pi r^2 h_w}{\dfrac{1}{3}\pi R^2 H} \\[8pt] &= 3 \cdot \left(\dfrac{r}{R}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{h_w}{H}\right) \\[8pt] &= 3 \cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 \cdot \dfrac{1}{4} \\[8pt] &= 3 \cdot \dfrac{9}{16} \cdot \dfrac{1}{4} \\[8pt] &= \dfrac{27}{64} \end{aligned}$$ Zatem objętość walca wynosi: $$V_w = \dfrac{27}{64}V_0$$ Łączna objętość wytoczonego detalu $V_b$ jest sumą objętości walca i małego stożka: $$\begin{aligned} V_b &= V_m + V_w \\[8pt] &= \dfrac{27}{64}V_0 + \dfrac{27}{64}V_0 \\[8pt] &= \dfrac{54}{64}V_0 = \dfrac{27}{32}V_0 \end{aligned}$$ Objętość wiórów metalowych $V_{odp}$ stanowi resztę materiału: $$\begin{aligned} V_{odp} &= V_0 - V_b \\[8pt] &= V_0 - \dfrac{27}{32}V_0 \\[8pt] &= \dfrac{5}{32}V_0 \end{aligned}$$
Sposób II – Bezpośrednie obliczenia algebraiczne z uzmiennieniem przez $R$ oraz $H$:
Wprowadzamy standardowe wzory stereometryczne:
Objętość początkowego stożka: $$V_0 = \dfrac{1}{3}\pi R^2 H$$ Objętość małego stożka po podstawieniu $r = \dfrac{3}{4}R$ oraz $h_m = \dfrac{3}{4}H$: $$\begin{aligned} V_m &= \dfrac{1}{3}\pi r^2 h_m \\[8pt] &= \dfrac{1}{3}\pi \left(\dfrac{3}{4}R\right)^2 \left(\dfrac{3}{4}H\right) \\[8pt] &= \dfrac{1}{3}\pi \cdot \dfrac{9}{16}R^2 \cdot \dfrac{3}{4}H \\[8pt] &= \dfrac{9}{64}\pi R^2 H \end{aligned}$$ Objętość walca po podstawieniu $r = \dfrac{3}{4}R$ oraz $h_w = \dfrac{1}{4}H$: $$\begin{aligned} V_w &= \pi r^2 h_w \\[8pt] &= \pi \left(\dfrac{3}{4}R\right)^2 \left(\dfrac{1}{4}H\right) \\[8pt] &= \pi \cdot \dfrac{9}{16}R^2 \cdot \dfrac{1}{4}H \\[8pt] &= \dfrac{9}{64}\pi R^2 H \end{aligned}$$ Całkowita objętość gotowego detalu: $$V_b = V_m + V_w = \dfrac{9}{64}\pi R^2 H + \dfrac{9}{64}\pi R^2 H = \dfrac{18}{64}\pi R^2 H = \dfrac{9}{32}\pi R^2 H$$ Sprowadzamy $V_0$ i $V_b$ do wspólnego mianownika $96$: $$\begin{aligned} V_0 &= \dfrac{32}{96}\pi R^2 H \\[8pt] V_b &= \dfrac{27}{96}\pi R^2 H \end{aligned}$$ Objętość powstałych wiórów wynosi: $$V_{odp} = V_0 - V_b = \dfrac{32}{96}\pi R^2 H - \dfrac{27}{96}\pi R^2 H = \dfrac{5}{96}\pi R^2 H$$ Dzielimy objętość wiórów przez objętość początkową stożka: $$\dfrac{V_{odp}}{V_0} = \dfrac{\dfrac{5}{96}\pi R^2 H}{\dfrac{1}{3}\pi R^2 H} = \dfrac{5}{96} \cdot \dfrac{3}{1} = \dfrac{5}{32}$$

Odpowiedź:
Wióry metalowe stanowią $\dfrac{5}{32}$ objętości początkowego odlewu.

Grupa B

Zadanie 1

Dwa szklane pojemniki na biżuterię mają kształt sześcianów. Całkowite pole powierzchni pierwszego pojemnika wynosi $96\text{ cm}^2$, a pojemność (objętość) drugiego pojemnika jest równa $125\text{ cm}^3$. Wyznacz skalę podobieństwa pierwszego pojemnika do drugiego.

Zadanie 2

Drewniany model pawilonu wystawowego w kształcie ostrosłupa rozcięto na dwa segmenty płaszczyzną równoległą do jego podstawy. Płaszczyzna tego cięcia dzieli wysokość bryły w stosunku $1 : 2$, licząc od wierzchołka ku podstawie. Oblicz:

a) stosunek pola powierzchni otrzymanego przekroju do pola podstawy makiety,

b) stosunek objętości mniejszej odciętej bryły do objętości pozostałego ostrosłupa ściętego.

Zadanie 3

Płaskorzeźbiony odlew w formie ostrosłupa ma podstawę o polu powierzchni wynoszącym $1000\text{ cm}^2$ oraz wysokość równą $45\text{ cm}$. Bryłę przecięto płaszczyzną równoległą do jej podstawy w taki sposób, że pole otrzymanego przekroju jest równe $40\text{ cm}^2$.
a) Ustal odległość, w jakiej od płaszczyzny podstawy znajduje się płaszczyzna wykonanego przekroju.
b) Oblicz objętość ostrosłupa odciętego przez tę płaszczyznę.

Zadanie 4

W pracowni szklarskiej odlano dekoracyjny przycisk do papieru w kształcie pełnego stożka. Poprowadzono przez bryłę płaszczyznę cięcia równoległą do jej podstawy, uzyskując kołowy przekrój o polu powierzchni o $75\%$ mniejszym od pola podstawy tego stożka. W jakim stosunku wykonane cięcie podzieliło objętość całego stożka?

Zadanie 5

W pracowni rzeźbiarskiej z gipsowej bryły o kształcie stożka wycięto ozdobną kolumnę zwieńczoną szpicem. Otrzymana rzeźba składa się z walca oraz ustawionego na nim małego stożka o identycznym promieniu podstawy. Kąt rozwarcia małego stożka jest taki sam jak kąt rozwarcia początkowej bryły, a całkowita wysokość wykonanej rzeźby odpowiada wysokości wyjściowego stożka (zobacz rysunek). Stosunek promienia podstawy początkowego stożka do promienia podstawy walca wynosi $5 : 3$. Ustal, jaką część objętości wyjściowej bryły gipsowej stanowi gips odcięty podczas pracy rzeźbiarza.

30.5 Podobieństwo figur w przestrzeni

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋