Płaszczyzny i proste w przestrzeni. Równoległość prostych i płaszczyzn. Proste skośne kartkówka LiczBit

29.1 Płaszczyzny i proste w przestrzeni. Równoległość prostych i płaszczyzn. Proste skośne

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Dany jest sześcian $ABCDA_1B_1C_1D_1$, w którym wybrano dwie wzajemnie prostopadłe krawędzie: krawędź dolnej podstawy $k = AB$ oraz pionową krawędź boczną $m = AA_1$. Sporządź staranny szkic tej bryły i wskaż krawędź $l$ sześcianu spełniającą warunek prostopadłości $l \perp m$, która jednocześnie:
a) przecina się z krawędzią $k$,
b) jest równoległa do krawędzi $k$,
c) jest skośna względem krawędzi $k$.

Wskazówki:

Krawędź boczna $m = AA_1$ jest prostopadła do obu płaszczyzn podstaw: dolnej $(ABCD)$ i górnej $(A_1B_1C_1D_1)$. Oznacza to, że każda krawędź leżąca w podstawie dolnej lub górnej jest prostopadła do $m$.
Dwie proste w przestrzeni przecinają się, gdy leżą w jednej płaszczyźnie i mają dokładnie jeden punkt wspólny.
Dwie proste w przestrzeni są równoległe, gdy leżą w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych (lub się pokrywają).
Dwie proste w przestrzeni są skośne, gdy nie istnieje żadna płaszczyzna zawierająca obie te proste jednocześnie (nie przecinają się i nie są równoległe).

Rozwiązanie krok po kroku:

Szkic bryły i zaznaczenie wyjściowych krawędzi $k$ oraz $m$:
Rysujemy sześcian w rzucie ukośnym. Krawędź $k = AB$ leży w podstawie dolnej, a krawędź $m = AA_1$ jest pionową krawędzią boczną wychodzącą z wierzchołka $A$. Ponieważ każda ściana sześcianu jest kwadratem, kąt między krawędziami $AB$ i $AA_1$ wynosi $90^\circ$, co potwierdza, że $k \perp m$.
Podpunkt a) Wyznaczenie krawędzi $l$ prostopadłej do $m$ i przecinającej krawędź $k$:
Wszystkie krawędzie leżące w podstawie dolnej $(ABCD)$ są prostopadłe do krawędzi bocznej $m = AA_1$. Szukamy krawędzi różnej od $k$, która ma z $k = AB$ wspólny wierzchołek w tej podstawie. Do wierzchołka $B$ dochodzi krawędź $BC$, a do wierzchołka $A$ krawędź $AD$. Obie przecinają $AB$ i obie są prostopadłe do $AA_1$.
Wybieramy krawędź $l = BC$ (lub $AD$).
Podpunkt b) Wyznaczenie krawędzi $l$ prostopadłej do $m$ i równoległej do krawędzi $k$:
W sześcianie krawędziami równoległymi do krawędzi $k = AB$ są krawędzie przeciwległe w odpowiednich ścianach kwadratowych: $$CD \parallel AB, \quad A_1B_1 \parallel AB, \quad C_1D_1 \parallel AB$$ Krawędzie $CD$ leży w podstawie dolnej, a krawędzie $A_1B_1$ oraz $C_1D_1$ leżą w podstawie górnej. Zatem każda z nich jest prostopadła do pionowej krawędzi $m = AA_1$.
Wybieramy krawędź $l = A_1B_1$ (lub $CD$, $C_1D_1$).
Podpunkt c) Wyznaczenie krawędzi $l$ prostopadłej do $m$ i skośnej względem krawędzi $k$:
Szukamy krawędzi prostopadłej do $m = AA_1$, która nie leży w jednej płaszczyźnie z $k = AB$ (nie ma z nią punktów wspólnych ani nie jest do niej równoległa).
Krawędzie podstawy górnej $B_1C_1$ oraz $A_1D_1$ leżą w płaszczyźnie prostopadłej do $AA_1$, zatem: $$B_1C_1 \perp AA_1 \quad \text{oraz} \quad A_1D_1 \perp AA_1$$ Prosta zawierająca krawędź $B_1C_1$ przebija płaszczyznę przedniej ściany $(ABB_1A_1)$ w punkcie $B_1$, który nie leży na krawędzi $AB$. Krawędzie te nie przecinają się i nie są równoległe, więc są skośne.
Wybieramy krawędź $l = B_1C_1$ (lub $A_1D_1$).

Odpowiedź:
a) Krawędź $BC$ (lub $AD$)

b) Krawędź $A_1B_1$ (lub $CD$, $C_1D_1$)

c) Krawędź $B_1C_1$ (lub $A_1D_1$)

Zadanie 2

Rozpatrujemy trzy parami różne proste $a$, $b$ oraz $c$ w przestrzeni trójwymiarowej. Określ, w jakich relacjach wzajemnego położenia mogą pozostawać względem siebie proste $a$ i $c$, jeżeli wiadomo, że:

a) proste $a$ i $b$ są skośne, a prosta $c$ jest równoległa do prostej $b$ ($b \parallel c$),

b) żadna płaszczyzna nie zawiera jednocześnie wszystkich trzech prostych $a$, $b$ oraz $c$, przy czym prosta $b$ ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą $a$ oraz dokładnie jeden punkt wspólny z prostą $c$.

Wskazówki:

Przypomnij sobie możliwe relacje dwóch prostych w przestrzeni: mogą się pokrywać, być równoległe, przecinać się lub być skośne (nie leżeć w jednej płaszczyźnie).
Skorzystaj z własności przechodniości relacji równoległości: jeśli dwie proste są równoległe do tej samej prostej, to są wzajemnie równoległe.
Do weryfikacji dopuszczalnych układów wykorzystaj model sześcianu, dobierając odpowiednie krawędzie jako proste spełniające założenia.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Analiza wzajemnego położenia prostych $a$ i $c$ przy warunku $b \parallel c$ oraz skośności prostych $a$ i $b$:
Sprawdzamy, które relacje są wykluczone, a które możliwe:
• Czy proste $a$ i $c$ mogą być równoległe ($a \parallel c$) lub pokrywać się?
Gdyby zachodziło $a \parallel c$, to z przechodniości równoległości w przestrzeni ($a \parallel c$ oraz $c \parallel b$) wynikałoby, że $a \parallel b$. To stoi w sprzeczności z założeniem, że proste $a$ i $b$ są skośne (nie leżą w jednej płaszczyźnie, więc nie mogą być równoległe). Z tego samego powodu proste nie mogą się pokrywać.
• Czy proste $a$ i $c$ mogą się przecinać lub być skośne?
Oba te przypadki są w pełni realizowalne w przestrzeni trójwymiarowej. Ilustrujemy je na modelu sześcianu $ABCDA'B'C'D'$:

1. Proste przecinające się: Niech prosta $b$ zawiera krawędź $AB$, a prosta $c$ krawędź $CD$ ($b \parallel c$). Wybierzmy prostą $a$ zawierającą pionową krawędź boczną $CC'$. Wówczas prosta $a$ i prosta $b$ są skośne, natomiast prosta $a$ przecina prostą $c$ w wierzchołku $C$.
2. Proste skośne: Niech prosta $b$ zawiera krawędź $AB$, a prosta $c$ krawędź górnej podstawy $A'B'$ ($b \parallel c$). Wybierzmy prostą $a$ zawierającą krawędź boczną $CC'$. Wtedy prosta $a$ jest skośna względem $b$ oraz jest skośna względem $c$.
Podpunkt b) Analiza wzajemnego położenia prostych $a$ i $c$ w układzie niewspółpłaszczyznowym:
Niech punkt $P$ będzie jedynym punktem wspólnym prostych $a$ i $b$, a punkt $Q$ jedynym punktem wspólnym prostych $b$ i $c$. Rozważamy dwa rozłączne przypadki dotyczące punktów $P$ i $Q$:

• Przypadek 1: Punkty przecięcia pokrywają się ($P = Q$):
Wtedy punkt $P$ leży jednocześnie na prostej $a$ oraz na prostej $c$, więc proste te mają punkt wspólny. Ponieważ proste $a, b, c$ nie leżą w jednej płaszczyźnie, prosta $a$ jest różna od prostej $c$. Dwie różne proste mające jeden punkt wspólny są przecinające się.
Przykład: Trzy krawędzie sześcianu wychodzące z jednego wierzchołka $A$: krawędź $AB$ (prosta $a$), krawędź $AD$ (prosta $b$) oraz krawędź $AA'$ (prosta $c$). Proste $a$ i $c$ przecinają się w punkcie $A$.

• Przypadek 2: Punkty przecięcia są różne ($P \neq Q$):
Wykażemy, że proste $a$ i $c$ muszą być wtedy skośne:
Gdyby proste $a$ i $c$ leżały w jednej płaszczyźnie $\pi$ (były równoległe lub przecinały się), to punkty $P \in a$ oraz $Q \in c$ również należałyby do płaszczyzny $\pi$. Skoro $P \neq Q$, przez te dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta – jest to prosta $b$. W rezultacie cała prosta $b$ musiałaby leżeć w płaszczyźnie $\pi$, a to oznaczałoby, że wszystkie trzy proste $a, b, c$ leżą w jednej płaszczyźnie $\pi$. Jest to sprzeczne z treścią zadania. Zatem proste $a$ i $c$ nie mogą leżeć w jednej płaszczyźnie, czyli są skośne.
Przykład: W sześcianie niech prosta $b$ zawiera krawędź $AB$, prosta $a$ krawędź $AA'$ (przecina $b$ w $P = A$), a prosta $c$ krawędź $BC$ (przecina $b$ w $Q = B$). Proste $a$ i $c$ są skośne.

Odpowiedź:
a) Proste $a$ i $c$ mogą być przecinające się albo skośne.

b) Proste $a$ i $c$ mogą być przecinające się albo skośne.

Zadanie 3

Dwie przecinające się płaszczyzny oznaczono symbolami $\alpha$ oraz $\beta$, a ich wspólną krawędź prostą $k$. W płaszczyźnie $\alpha$ poprowadzono prostą $p$, która nie jest równoległa do krawędzi $k$. Na poniższych rysunkach przedstawiono dwa różne wzajemne układy tych płaszczyzn.

Wskaż punkt, w którym prosta $p$ przebija płaszczyznę $\beta$, i podaj geometryczne uzasadnienie w każdym przypadku.

Wskazówki:

Punkt przebicia płaszczyzny przez prostą to jedyny punkt wspólny tej prostej i danej płaszczyzny.
Skoro prosta leży w całości na jednej płaszczyźnie, każdy jej punkt również należy do tej płaszczyzny.
Punkty wspólne dwóch różnych przecinających się płaszczyzn tworzą wyłącznie ich krawędź przecięcia.
Dwie nierównoległe proste leżące na tej samej płaszczyźnie przecinają się w dokładnie jednym punkcie.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Uzasadnienie geometryczne położenia punktu przebicia:
Niech punkt $P$ oznacza szukany punkt przebicia płaszczyzny $\beta$ przez prostą $p$. Z definicji punktu przebicia wynika, że: $$P \in p \quad \text{oraz} \quad P \in \beta$$ Z treści zadania wiemy, że prosta $p$ w całości zawiera się w płaszczyźnie $\alpha$ ($p \subset \alpha$). Skoro punkt $P$ leży na prostej $p$, to musi również leżeć w płaszczyźnie $\alpha$: $$P \in \alpha$$ Punkt $P$ należy zatem jednocześnie do płaszczyzny $\alpha$ i płaszczyzny $\beta$: $$P \in (\alpha \cap \beta)$$ Jedynym zbiorem punktów wspólnych dwóch przecinających się płaszczyzn jest ich krawędź przecięcia, czyli prosta $k$ ($\alpha \cap \beta = k$). Wobec tego punkt $P$ musi leżeć na prostej $k$: $$P \in k$$ Jednocześnie wiemy, że $P \in p$, a obie proste $p$ i $k$ leżą na tej samej płaszczyźnie $\alpha$ i nie są do siebie równoległe ($p \not\parallel k$). Dwie nierównoległe proste współpłaszczyznowe przecinają się w dokładnie jednym punkcie. Punktem przebicia płaszczyzny $\beta$ przez prostą $p$ jest zatem punkt ich przecięcia: $$P = p \cap k$$
Konstrukcja punktu przecięcia i rysunek wynikowy dla podpunktu a):
Aby wyznaczyć punkt $P$ na rysunku, wystarczy przedłużyć w płaszczyźnie $\alpha$ prostą $p$ aż do przecięcia z krawędzią $k$.
Podpunkt b) Uzasadnienie geometryczne i konstrukcja punktu przebicia:
Rozumowanie w przypadku rzutni pionowej $\beta$ przecinającej rzutnię poziomą $\alpha$ jest w pełni analogiczne: $$\begin{aligned} Q &\in p \subset \alpha \implies Q \in \alpha \\ Q &\in \beta \implies Q \in (\alpha \cap \beta) = k \end{aligned}$$ Skoro punkt $Q$ należy jednocześnie do prostej $p$ oraz prostej $k$, a obie te proste leżą w płaszczyźnie poziomej $\alpha$ i nie są równoległe, szukanym punktem przebicia jest ich punkt przecięcia: $$Q = p \cap k$$ Na rysunku wyznaczamy go, przedłużając prostą $p$ w płaszczyźnie $\alpha$ aż do jej przecięcia z krawędzią $k$.

Odpowiedź:
a) Punktem przebicia płaszczyzny $\beta$ przez prostą $p$ jest punkt przecięcia prostej $p$ z krawędzią $k$ ($P = p \cap k$).

b) Punktem przebicia płaszczyzny $\beta$ przez prostą $p$ jest punkt przecięcia prostej $p$ z krawędzią $k$ ($Q = p \cap k$).

Zadanie 4

Punkty $S_1, S_2, S_3$ są odpowiednio środkami odcinków łączących wierzchołek $W$ z wierzchołkami $E, F$ oraz $G$ trójkąta równoramiennego $EFG$, w którym $|EF| = |FG|$. Punkt $W$ nie leży w płaszczyźnie tego trójkąta. Uzasadnij, że:
a) trójkąt $S_1S_2S_3$ jest równoramienny,
b) płaszczyzny $(S_1S_2S_3)$ oraz $(EFG)$ są wzajemnie równoległe.

Wskazówki:

Wykorzystaj twierdzenie o odcinku łączącym środki dwóch boków trójkąta: w dowolnym trójkącie odcinek łączący środki dwóch boków jest równoległy do trzeciego boku, a jego długość wynosi dokładnie połowę długości tego boku.
Skorzystaj z kryterium równoległości dwóch płaszczyzn: jeśli dwie przecinające się proste leżące w jednej płaszczyźnie są odpowiednio równoległe do dwóch prostych leżących w drugiej płaszczyźnie, to te dwie płaszczyzny są równoległe.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza struktury czworościanu:
Czwórka punktów $E, F, G, W$ nie leży w jednej płaszczyźnie, tworzą one zatem czworościan o podstawie $EFG$ i wierzchołku $W$. W podstawie mamy trójkąt o równych ramionach $|EF| = |FG|$. Na krawędziach bocznych $WE, WF, WG$ wyznaczono odpowiednio punkty $S_1, S_2, S_3$ dzielące te odcinki dokładnie na połowy:
Podpunkt a) Wykazanie, że trójkąt $S_1S_2S_3$ jest równoramienny:
Rozważamy dwie ściany boczne czworościanu będące trójkątami płaskimi:

1. W trójkącie $EFW$ punkt $S_1$ jest środkiem odcinka $EW$, a punkt $S_2$ jest środkiem odcinka $FW$. Zatem odcinek $S_1S_2$ łączy środki dwóch boków trójkąta $EFW$. Na mocy twierdzenia o odcinku łączącym środki boków trójkąta: $$|S_1S_2| = \dfrac{1}{2} |EF|$$ 2. W trójkącie $FGW$ punkt $S_2$ jest środkiem odcinka $FW$, a punkt $S_3$ jest środkiem odcinka $GW$. Odcinek $S_2S_3$ łączy środki dwóch boków trójkąta $FGW$. Na mocy tego samego twierdzenia: $$|S_2S_3| = \dfrac{1}{2} |FG|$$ Z warunków zadania wiemy, że ramiona trójkąta $EFG$ mają jednakową długość: $$|EF| = |FG|$$ Porównując długości wyznaczonych odcinków, otrzymujemy: $$\begin{aligned} |S_1S_2| &= \dfrac{1}{2} |EF| \\[8pt] &= \dfrac{1}{2} |FG| \\[8pt] &= |S_2S_3| \end{aligned}$$ Ponieważ $|S_1S_2| = |S_2S_3|$, trójkąt $S_1S_2S_3$ ma co najmniej dwa boki o równej długości, co kończy dowód podpunktu a.
Podpunkt b) Wykazanie, że płaszczyzny $(S_1S_2S_3)$ oraz $(EFG)$ są równoległe:
Powracamy do własności geometrycznych odcinków łączących środki boków w obu ścianach bocznych:

1. W trójkącie $EFW$ odcinek $S_1S_2$ łączy środki boków, skąd wynika relacja równoległości: $$S_1S_2 \parallel EF$$ 2. W trójkącie $FGW$ odcinek $S_2S_3$ łączy środki boków, skąd wynika: $$S_2S_3 \parallel FG$$ Zauważmy, że:
- Proste $S_1S_2$ oraz $S_2S_3$ leżą w płaszczyźnie $(S_1S_2S_3)$ i przecinają się w punkcie $S_2$.
- Proste $EF$ oraz $FG$ leżą w płaszczyźnie $(EFG)$ i przecinają się w punkcie $F$.
Jeżeli dwie przecinające się proste jednej płaszczyzny są odpowiednio równoległe do dwóch przecinających się prostych drugiej płaszczyzny, to płaszczyzny te są wzajemnie równoległe. Zatem: $$(S_1S_2S_3) \parallel (EFG)$$

Odpowiedź:
a) Przeprowadzono dowód – z twierdzenia o odcinku łączącym środki boków trójkąta otrzymano $|S_1S_2| = \dfrac{1}{2}|EF|$ oraz $|S_2S_3| = \dfrac{1}{2}|FG|$, co przy założeniu $|EF| = |FG|$ daje $|S_1S_2| = |S_2S_3|$, więc trójkąt $S_1S_2S_3$ jest równoramienny.

b) Przeprowadzono dowód – proste $S_1S_2$ i $S_2S_3$ przecinają się w punkcie $S_2$ i leżą w płaszczyźnie $(S_1S_2S_3)$, a ponadto są odpowiednio równoległe do przecinających się prostych $EF$ i $FG$ leżących w płaszczyźnie $(EFG)$, co dowodzi, że $(S_1S_2S_3) \parallel (EFG)$.

Grupa B

Zadanie 1

W modelu sześciennej ramy o wierzchołkach $KLMNK_1L_1M_1N_1$ wyznaczono dwie prostopadłe do siebie krawędzie: krawędź górnej podstawy $k = K_1L_1$ oraz lewą pionową krawędź boczną $m = K_1K$. Wykonaj pomocniczy rysunek bryły i znajdź krawędź $l$, która jest prostopadła do krawędzi $m$ ($l \perp m$), a ponadto:

a) ma punkt wspólny z krawędzią $k$ (przecina krawędź $k$),
b) leży równolegle do krawędzi $k$,
c) jest skośna w stosunku do krawędzi $k$.

Zadanie 2

W trójwymiarowej przestrzeni poprowadzono trzy niepokrywające się proste $p$, $s$ oraz $t$. Wyznacz wszystkie dopuszczalne relacje wzajemnego położenia prostych $p$ i $t$, jeżeli:

a) prosta $s$ jest równoległa do prostej $t$ ($s \parallel t$), natomiast prosta $p$ przecina prostą $s$,

b) układ prostych $p$, $s$ i $t$ nie jest układem płaskim (nie istnieje żadna płaszczyzna zawierająca jednocześnie wszystkie trzy proste), przy czym prosta $s$ posiada dokładnie po jednym punkcie wspólnym z każdą z prostych $p$ oraz $t$.

Zadanie 3

Dwie przecinające się płaszczyzny oznaczono symbolami $\pi_1$ oraz $\pi_2$, a prostą wyznaczającą ich wspólną krawędź oznaczono jako $m$. W płaszczyźnie $\pi_2$ wybrano prostą $s$, której kierunek nie jest równoległy do prostej $m$.

Wskaż i uzasadnij, w jakim punkcie prosta $s$ przebije płaszczyznę $\pi_1$ w każdym z poniższych przypadków:

Zadanie 4

Dany jest ostrosłup trójkątny o wierzchołku $D$, którego podstawa $ABC$ jest trójkątem spełniającym zależność $|AC| = |BC|$. Punkty $K, L, M$ wybrano tak, że dzielą one odpowiednio krawędzie boczne $AD, BD$ oraz $CD$ dokładnie na połowy. Uzasadnij, że:
a) trójkąt $KLM$ jest trójkątem równoramiennym,
b) płaszczyzna $(KLM)$ jest równoległa do płaszczyzny podstawy $(ABC)$.

29.1 Płaszczyzny i proste w przestrzeni. Równoległość prostych i płaszczyzn. Proste skośne

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋