Oznaczmy długość krawędzi podstawy jako $a$, długość krawędzi bocznej jako $b$, a wysokość ostrosłupa jako $H$. Mamy dane: $a = 6$ cm oraz $b = 5$ cm. a) Aby obliczyć wysokość ostrosłupa $H$, korzystamy z trójkąta prostokątnego, którego bokami są: wysokość $H$, połowa przekątnej podstawy ($d_p/2$) oraz krawędź boczna $b$. Przekątna kwadratu o boku $a$ wynosi $d_p = a\sqrt{2}$.\[d_p = 6\sqrt{2} \ \text{cm}\]Połowa przekątnej podstawy to:\[\frac{1}{2}d_p = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \ \text{cm}\]Z twierdzenia Pitagorasa:\[H^2 + (\frac{1}{2}d_p)^2 = b^2\]\[H^2 + (3\sqrt{2})^2 = 5^2\]\[H^2 + 18 = 25\]\[H^2 = 7\]\[H = \sqrt{7} \ \text{cm}\]b) Aby obliczyć wysokość ściany bocznej ($h_s$), korzystamy z trójkąta prostokątnego, którego bokami są: wysokość ściany bocznej $h_s$, połowa krawędzi podstawy ($a/2$) oraz krawędź boczna $b$. Połowa krawędzi podstawy to:\[\frac{1}{2}a = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 \ \text{cm}\]Z twierdzenia Pitagorasa:\[h_s^2 + (\frac{1}{2}a)^2 = b^2\]\[h_s^2 + 3^2 = 5^2\]\[h_s^2 + 9 = 25\]\[h_s^2 = 16\]\[h_s = 4 \ \text{cm}\]c) Odległość spodka wysokości ostrosłupa od krawędzi bocznej ($d$) to wysokość w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $H=\sqrt{7}$ i $\frac{1}{2}d_p=3\sqrt{2}$, poprowadzona na przeciwprostokątną $b=5$. Pole tego trójkąta ($P_t$) można obliczyć na dwa sposoby:\[P_t = \frac{1}{2} \cdot H \cdot \frac{1}{2}d_p = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{7} \cdot 3\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{14}}{2}\]\[P_t = \frac{1}{2} \cdot b \cdot d = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot d\]Porównując oba wzory na pole, otrzymujemy:\[\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot d = \frac{3\sqrt{14}}{2}\]\[5d = 3\sqrt{14}\]\[d = \frac{3\sqrt{14}}{5} \ \text{cm}\]