26.5 Nierówności logarytmiczne
Kartkówka
Grupa A
Zadanie 1
Wyznacz zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających każdą z poniższych nierówności logarytmicznych, pamiętając o wcześniejszym określeniu odpowiedniej dziedziny:
a) \(\log_{\frac{2}{5}} (x - 3) < \log_{\frac{2}{5}} (9 - x)\)
b) \(\log_3 |x - 2| \leqslant \log_3 5\)
c) \(\log_{\frac{2}{3}} \left|\dfrac{1}{2} - 2x\right| < -1\)
d) \(\log_{\sqrt{3}} (2x + 1) \leqslant 4\)
a) \(\log_{\frac{2}{5}} (x - 3) < \log_{\frac{2}{5}} (9 - x)\)
b) \(\log_3 |x - 2| \leqslant \log_3 5\)
c) \(\log_{\frac{2}{3}} \left|\dfrac{1}{2} - 2x\right| < -1\)
d) \(\log_{\sqrt{3}} (2x + 1) \leqslant 4\)
a) \(x \in (6, 9)\)
b) \(x \in \langle -3, 2) \cup (2, 7\rangle\)
c) \(x \in \left(-\infty, -\dfrac{1}{2}\right) \cup (1, +\infty)\)
d) \(x \in \left(-\dfrac{1}{2}, 4\right\rangle\)
b) \(x \in \langle -3, 2) \cup (2, 7\rangle\)
c) \(x \in \left(-\infty, -\dfrac{1}{2}\right) \cup (1, +\infty)\)
d) \(x \in \left(-\dfrac{1}{2}, 4\right\rangle\)
Wskazówki:
- Liczba logarytmowana musi być zawsze dodatnia. Gdy pod logarytmem występuje wartość bezwzględna \(|w(x)|\), warunek sprowadza się do wykluczenia miejsc zerowych: \(w(x) \neq 0\).
- Zwróć szczególną uwagę na podstawę logarytmu \(a\): jeśli \(a > 1\), funkcja logarytmiczna jest rosnąca (zachowujemy zwrot nierówności), a jeśli \(0 < a < 1\), jest malejąca (zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny).
- Liczbę po prawej stronie nierówności można zapisać w postaci logarytmu o tej samej podstawie, korzystając z tożsamości \(b = \log_a (a^b)\).
- Ostatecznym rozwiązaniem nierówności jest zawsze iloczyn (część wspólna) zbioru rozwiązań nierówności oraz wyznaczonej dziedziny.
Rozwiązanie krok po kroku:
-
Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność \(\log_{\frac{2}{5}} (x - 3) < \log_{\frac{2}{5}} (9 - x)\):
W pierwszym kroku określamy dziedzinę nierówności, wymagając dodatniości obu liczb logarytmowanych: $$\begin{aligned} x - 3 &> 0 \implies x > 3 \\[8pt] 9 - x &> 0 \implies x < 9 \end{aligned}$$ Częścią wspólną tych warunków jest przedział: $$D = (3, 9)$$ Ponieważ podstawa logarytmu \(a = \dfrac{2}{5}\) spełnia warunek \(0 < a < 1\), funkcja logarytmiczna jest ściśle malejąca. Opuszczając logarytmy, zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny: $$\begin{aligned} x - 3 &> 9 - x \\[8pt] x + x &> 9 + 3 \\[8pt] 2x &> 12 \\[8pt] x &> 6 \end{aligned}$$ Wyznaczamy część wspólną otrzymanego zbioru \(x \in (6, +\infty)\) z dziedziną \(D = (3, 9)\): $$x \in (6, 9)$$ -
Podpunkt b) Rozwiązujemy nierówność \(\log_3 |x - 2| \leqslant \log_3 5\):
Wyznaczamy dziedzinę z warunku dodatniości liczby logarytmowanej. Ponieważ wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna, wystarczy wykluczyć sytuację, w której wynosi zero: $$\begin{aligned} |x - 2| &> 0 \\[8pt] x - 2 &\neq 0 \\[8pt] x &\neq 2 \end{aligned}$$ Zatem dziedziną jest zbiór: $$D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$$ Podstawa logarytmu \(a = 3\) jest większa od \(1\), więc funkcja logarytmiczna jest rosnąca. Zachowujemy zwrot nierówności: $$|x - 2| \leqslant 5$$ Rozpisujemy nierówność z wartością bezwzględną: $$\begin{aligned} -5 &\leqslant x - 2 \leqslant 5 \\[8pt] -5 + 2 &\leqslant x \leqslant 5 + 2 \\[8pt] -3 &\leqslant x \leqslant 7 \end{aligned}$$ Uwzględniając dziedzinę \(x \neq 2\), otrzymujemy ostateczny przedział: $$x \in \langle -3, 2) \cup (2, 7\rangle$$ -
Podpunkt c) Rozwiązujemy nierówność \(\log_{\frac{2}{3}} \left|\dfrac{1}{2} - 2x\right| < -1\):
Określamy dziedzinę nierówności: $$\begin{aligned} \left|\dfrac{1}{2} - 2x\right| &> 0 \\[8pt] \dfrac{1}{2} - 2x &\neq 0 \\[8pt] 2x &\neq \dfrac{1}{2} \\[8pt] x &\neq \dfrac{1}{4} \end{aligned}$$ Dziedzina to \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{1}{4}\right\}\).
Przekształcamy prawą stronę nierówności do postaci logarytmu o podstawie \(\dfrac{2}{3}\): $$-1 = \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \log_{\frac{2}{3}} \frac{3}{2}$$ Równanie przyjmuje postać: $$\log_{\frac{2}{3}} \left|\dfrac{1}{2} - 2x\right| < \log_{\frac{2}{3}} \frac{3}{2}$$ Ponieważ podstawa \(a = \dfrac{2}{3} \in (0, 1)\), funkcja jest malejąca — zmieniamy zwrot nierówności: $$\left|\dfrac{1}{2} - 2x\right| > \dfrac{3}{2}$$ Rozbijamy nierówność na dwa przypadki: $$\begin{aligned} \dfrac{1}{2} - 2x &> \dfrac{3}{2} \quad &\text{lub}& \quad \dfrac{1}{2} - 2x < -\dfrac{3}{2} \\[8pt] -2x &> \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} \quad &\text{lub}& \quad -2x < -\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} \\[8pt] -2x &> 1 \quad &\text{lub}& \quad -2x < -2 \\[8pt] x &< -\dfrac{1}{2} \quad &\text{lub}& \quad x > 1 \end{aligned}$$ Wykluczona wartość \(x = \dfrac{1}{4}\) nie należy do sumy przedziałów \(\left(-\infty, -\dfrac{1}{2}\right) \cup (1, +\infty)\), więc rozwiązaniem jest: $$x \in \left(-\infty, -\dfrac{1}{2}\right) \cup (1, +\infty)$$ -
Podpunkt d) Rozwiązujemy nierówność \(\log_{\sqrt{3}} (2x + 1) \leqslant 4\):
Ustalamy dziedzinę z warunku dodatniości argumentu logarytmu: $$\begin{aligned} 2x + 1 &> 0 \\[8pt] 2x &> -1 \\[8pt] x &> -\dfrac{1}{2} \end{aligned}$$ Dziedziną jest zbiór \(D = \left(-\dfrac{1}{2}, +\infty\right)\).
Zapisujemy prawą stronę w postaci logarytmu o podstawie \(\sqrt{3}\): $$4 = \log_{\sqrt{3}} \left((\sqrt{3})^4\right) = \log_{\sqrt{3}} 9$$ Otrzymujemy nierówność: $$\log_{\sqrt{3}} (2x + 1) \leqslant \log_{\sqrt{3}} 9$$ Podstawa \(a = \sqrt{3} \approx 1{,}73 > 1\), zatem funkcja jest rosnąca i zachowujemy zwrot nierówności: $$\begin{aligned} 2x + 1 &\leqslant 9 \\[8pt] 2x &\leqslant 8 \\[8pt] x &\leqslant 4 \end{aligned}$$ Wyznaczamy część wspólną z dziedziną \(D = \left(-\dfrac{1}{2}, +\infty\right)\): $$x \in \left(-\dfrac{1}{2}, 4\right\rangle$$
Odpowiedź:
a) \(x \in (6, 9)\)
b) \(x \in \langle -3, 2) \cup (2, 7\rangle\)
c) \(x \in \left(-\infty, -\dfrac{1}{2}\right) \cup (1, +\infty)\)
d) \(x \in \left(-\dfrac{1}{2}, 4\right\rangle\)
a) \(x \in (6, 9)\)
b) \(x \in \langle -3, 2) \cup (2, 7\rangle\)
c) \(x \in \left(-\infty, -\dfrac{1}{2}\right) \cup (1, +\infty)\)
d) \(x \in \left(-\dfrac{1}{2}, 4\right\rangle\)
Zadanie 2
Wyznacz zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających poniższe nierówności logarytmiczne. Pamiętaj o uprzednim wyznaczeniu dziedziny w każdym przypadku:
a) \(\log_{\frac{1}{3}} x^2 > \log_{\frac{1}{3}} (6 - x)\)
b) \(\log_3 (x^2 - 2x) - 1 \ge \log_3 8\)
c) \(\log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 4x + 4) \ge 0\)
d) \(\log_{\sqrt{10}} (x - 1) + \log_{\sqrt{10}} (x - 4) < 2\)
a) \(\log_{\frac{1}{3}} x^2 > \log_{\frac{1}{3}} (6 - x)\)
b) \(\log_3 (x^2 - 2x) - 1 \ge \log_3 8\)
c) \(\log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 4x + 4) \ge 0\)
d) \(\log_{\sqrt{10}} (x - 1) + \log_{\sqrt{10}} (x - 4) < 2\)
a) \(x \in (-3, 0) \cup (0, 2)\)
b) \(x \in (-\infty, -4] \cup [6, +\infty)\)
c) \(x \in [1, 2) \cup (2, 3]\)
d) \(x \in (4, 6)\)
b) \(x \in (-\infty, -4] \cup [6, +\infty)\)
c) \(x \in [1, 2) \cup (2, 3]\)
d) \(x \in (4, 6)\)
Wskazówki:
- Liczba logarytmowana musi być zawsze ściśle dodatnia – od tego warunku zawsze rozpoczynamy rozwiązywanie nierówności.
- Gdy podstawa logarytmu należy do przedziału \((0, 1)\), funkcja logarytmiczna jest malejąca i przy opuszczaniu logarytmów zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny.
- Gdy podstawa logarytmu jest większa od \(1\), funkcja logarytmiczna jest rosnąca i zachowujemy początkowy zwrot nierówności.
- Ostatecznym rozwiązaniem nierówności jest zawsze część wspólna zbioru rozwiązań nierówności algebraicznej oraz wyznaczonej wcześniej dziedziny.
Rozwiązanie krok po kroku:
-
Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność \(\log_{\frac{1}{3}} x^2 > \log_{\frac{1}{3}} (6 - x)\):
W pierwszym kroku określamy dziedzinę nierówności. Obie liczby pod znakiem logarytmu muszą być dodatnie: $$\begin{aligned} x^2 &> 0 \iff x \ne 0 \\[8pt] 6 - x &> 0 \iff x < 6 \end{aligned}$$ Część wspólna obu warunków daje dziedzinę: $$D = (-\infty, 0) \cup (0, 6)$$ Podstawa logarytmu wynosi \(a = \dfrac{1}{3}\). Ponieważ \(0 < \dfrac{1}{3} < 1\), funkcja logarytmiczna jest malejąca, dlatego opuszczając logarytmy, zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny: $$\begin{aligned} x^2 &< 6 - x \\[8pt] x^2 + x - 6 &< 0 \end{aligned}$$ Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego: $$\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25, \quad \sqrt{\Delta} = 5$$ $$x_1 = \dfrac{-1 - 5}{2} = -3, \quad x_2 = \dfrac{-1 + 5}{2} = 2$$ Ramiona paraboli są skierowane ku górze, zatem wartości ujemne funkcja przyjmuje w przedziale: $$x \in (-3, 2)$$ Wyznaczamy część wspólną z dziedziną \(D\): $$x \in (-3, 2) \cap \big((-\infty, 0) \cup (0, 6)\big) = (-3, 0) \cup (0, 2)$$ -
Podpunkt b) Rozwiązujemy nierówność \(\log_3 (x^2 - 2x) - 1 \ge \log_3 8\):
Wyznaczamy dziedzinę nierówności z warunku dodatniości wyrażenia logarytmowanego: $$x^2 - 2x > 0 \iff x(x - 2) > 0$$ Miejscami zerowymi są \(x = 0\) oraz \(x = 2\). Z wykresu paraboli o ramionach w górę odczytujemy: $$D = (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$$ Przekształcamy nierówność, przenosząc stałą na prawą stronę i zamieniając ją na logarytm: $$\begin{aligned} \log_3 (x^2 - 2x) &\ge \log_3 8 + 1 \\[8pt] \log_3 (x^2 - 2x) &\ge \log_3 8 + \log_3 3 \\[8pt] \log_3 (x^2 - 2x) &\ge \log_3 (8 \cdot 3) \\[8pt] \log_3 (x^2 - 2x) &\ge \log_3 24 \end{aligned}$$ Podstawa logarytmu \(a = 3 > 1\), więc funkcja jest rosnąca. Zachowujemy zwrot nierówności: $$\begin{aligned} x^2 - 2x &\ge 24 \\[8pt] x^2 - 2x - 24 &\ge 0 \end{aligned}$$ Obliczamy pierwiastki trójmianu: $$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100, \quad \sqrt{\Delta} = 10$$ $$x_1 = \dfrac{2 - 10}{2} = -4, \quad x_2 = \dfrac{2 + 10}{2} = 6$$ Rozwiązaniem nierówności kwadratowej jest suma przedziałów: $$x \in (-\infty, -4] \cup [6, +\infty)$$ Konfrontujemy wynik z dziedziną \(D = (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)\). Ponieważ \((-\infty, -4] \subset (-\infty, 0)\) oraz \([6, +\infty) \subset (2, +\infty)\), ostatecznym zbiorem rozwiązań jest: $$x \in (-\infty, -4] \cup [6, +\infty)$$ -
Podpunkt c) Rozwiązujemy nierówność \(\log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 4x + 4) \ge 0\):
Zwijamy trójmian pod logarytmem ze wzoru skróconego mnożenia: $$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$$ Określamy dziedzinę – kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc musi być różny od zera: $$(x - 2)^2 > 0 \iff x - 2 \ne 0 \iff x \ne 2$$ Stąd dziedzina to \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\} = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)\).
Zapisujemy prawą stronę w postaci logarytmu o podstawie \(\dfrac{1}{2}\): $$\log_{\frac{1}{2}} (x - 2)^2 \ge \log_{\frac{1}{2}} 1$$ Podstawa \(a = \dfrac{1}{2} \in (0, 1)\), zatem funkcja jest malejąca i odwracamy zwrot nierówności: $$\begin{aligned} (x - 2)^2 &\le 1 \\[8pt] |x - 2| &\le 1 \\[8pt] -1 \le x - 2 &\le 1 \\[8pt] 1 \le x &\le 3 \end{aligned}$$ Zatem \(x \in [1, 3]\). Uwzględniając warunek dziedziny (\(x \ne 2\)), otrzymujemy: $$x \in [1, 2) \cup (2, 3]$$ -
Podpunkt d) Rozwiązujemy nierówność \(\log_{\sqrt{10}} (x - 1) + \log_{\sqrt{10}} (x - 4) < 2\):
Ustalamy dziedzinę z warunku dodatniości obu wyrażeń logarytmowanych: $$\begin{aligned} x - 1 &> 0 \iff x > 1 \\[8pt] x - 4 &> 0 \iff x > 4 \end{aligned}$$ Częścią wspólną jest przedział: $$D = (4, +\infty)$$ Stosujemy wzór na sumę logarytmów o jednakowych podstawach po lewej stronie oraz zamieniamy liczbę \(2\) na logarytm: $$\begin{aligned} \log_{\sqrt{10}} \big((x - 1)(x - 4)\big) &< 2 \\[8pt] \log_{\sqrt{10}} (x^2 - 5x + 4) &< \log_{\sqrt{10}} \left((\sqrt{10})^2\right) \\[8pt] \log_{\sqrt{10}} (x^2 - 5x + 4) &< \log_{\sqrt{10}} 10 \end{aligned}$$ Ponieważ podstawa \(a = \sqrt{10} \approx 3{,}16 > 1\), funkcja jest rosnąca i opuszczamy logarytmy bez zmiany zwrotu nierówności: $$\begin{aligned} x^2 - 5x + 4 &< 10 \\[8pt] x^2 - 5x - 6 &< 0 \end{aligned}$$ Rozkładamy trójmian na czynniki: $$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49, \quad \sqrt{\Delta} = 7$$ $$x_1 = \dfrac{5 - 7}{2} = -1, \quad x_2 = \dfrac{5 + 7}{2} = 6$$ $$(x + 1)(x - 6) < 0 \iff x \in (-1, 6)$$ Wyznaczamy część wspólną z dziedziną \(D = (4, +\infty)\): $$x \in (-1, 6) \cap (4, +\infty) = (4, 6)$$
Odpowiedź:
a) \(x \in (-3, 0) \cup (0, 2)\)
b) \(x \in (-\infty, -4] \cup [6, +\infty)\)
c) \(x \in [1, 2) \cup (2, 3]\)
d) \(x \in (4, 6)\)
a) \(x \in (-3, 0) \cup (0, 2)\)
b) \(x \in (-\infty, -4] \cup [6, +\infty)\)
c) \(x \in [1, 2) \cup (2, 3]\)
d) \(x \in (4, 6)\)
Zadanie 3
Wyznacz zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających poniższą nierówność, pamiętając o uprzednim ustaleniu dziedziny:
a) \(\log_{\frac{1}{3}} x - \log_{\frac{1}{3}} (4 - x) > -1\)
b) \(\log_2 \dfrac{x + 5}{4 - x} \ge 1\)
a) \(\log_{\frac{1}{3}} x - \log_{\frac{1}{3}} (4 - x) > -1\)
b) \(\log_2 \dfrac{x + 5}{4 - x} \ge 1\)
a) \(x \in (0, 3)\)
b) \(x \in [1, 4)\)
b) \(x \in [1, 4)\)
Wskazówki:
- Każde wyrażenie stojące pod znakiem logarytmu musi być bezwzględnie ściśle dodatnie (\(b > 0\)), a mianowniki ułamków nie mogą być równe zeru. Wyznacz część wspólną tych warunków jako dziedzinę \(D\).
- Zwróć szczególną uwagę na podstawę logarytmu: gdy podstawa należy do przedziału \((0, 1)\), funkcja logarytmiczna jest ściśle malejąca i przy opuszczaniu logarytmów należy zmienić zwrot nierówności na przeciwny. Gdy podstawa jest większa od \(1\), funkcja jest ściśle rosnąca i zachowujemy zwrot nierówności.
- Nierówności wymierne rozwiązuj poprzez przeniesienie wszystkich wyrazów na jedną stronę, sprowadzenie do wspólnego mianownika oraz zamianę ilorazu na iloczyn. Na koniec wyznacz część wspólną otrzymanego zbioru z dziedziną.
Rozwiązanie krok po kroku:
-
Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność \(\log_{\frac{1}{3}} x - \log_{\frac{1}{3}} (4 - x) > -1\):
W pierwszym kroku wyznaczamy dziedzinę równania. Liczby logarytmowane muszą być dodatnie: $$\begin{aligned} x &> 0 \\[8pt] 4 - x &> 0 \implies x < 4 \end{aligned}$$ Dziedziną nierówności jest przedział otwarty: $$D = (0, 4)$$
Sposób I – Wykorzystanie wzoru na sumę logarytmów po przeniesieniu wyrazu:
Przenosimy odjemnik na prawą stronę nierówności: $$\log_{\frac{1}{3}} x > \log_{\frac{1}{3}} (4 - x) - 1$$ Liczbę \(-1\) przedstawiamy jako logarytm o podstawie \(\frac{1}{3}\): $$-1 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1} = \log_{\frac{1}{3}} 3$$ Wstawiamy tę postać do prawej strony i stosujemy wzór na logarytm iloczynu: $$\begin{aligned} \log_{\frac{1}{3}} x &> \log_{\frac{1}{3}} (4 - x) + \log_{\frac{1}{3}} 3 \\[8pt] \log_{\frac{1}{3}} x &> \log_{\frac{1}{3}} [3(4 - x)] \\[8pt] \log_{\frac{1}{3}} x &> \log_{\frac{1}{3}} (12 - 3x) \end{aligned}$$ Ponieważ podstawa logarytmu \(a = \frac{1}{3} \in (0, 1)\), funkcja jest ściśle malejąca, więc zmieniamy zwrot nierówności przy opuszczaniu logarytmów: $$\begin{aligned} x &< 12 - 3x \\[8pt] 4x &< 12 \\[8pt] x &< 3 \end{aligned}$$ Wyznaczamy część wspólną z dziedziną \(D = (0, 4)\): $$\begin{aligned} x &\in (-\infty, 3) \cap (0, 4) \\[8pt] x &\in (0, 3) \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie wzoru na różnicę logarytmów:
Lewą stronę zapisujemy jako logarytm ilorazu: $$\log_{\frac{1}{3}} \left(\dfrac{x}{4 - x}\right) > -1$$ Zapisujemy prawą stronę jako \(\log_{\frac{1}{3}} 3\): $$\log_{\frac{1}{3}} \left(\dfrac{x}{4 - x}\right) > \log_{\frac{1}{3}} 3$$ Ponownie, z racji podstawy \(a = \frac{1}{3} \in (0, 1)\), zmieniamy zwrot nierówności: $$\dfrac{x}{4 - x} < 3$$ Przenosimy \(3\) na lewą stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika: $$\begin{aligned} \dfrac{x}{4 - x} - 3 &< 0 \\[8pt] \dfrac{x - 3(4 - x)}{4 - x} &< 0 \\[8pt] \dfrac{x - 12 + 3x}{4 - x} &< 0 \\[8pt] \dfrac{4x - 12}{4 - x} &< 0 \end{aligned}$$ Dla każdego \(x \in D = (0, 4)\) mianownik \(4 - x\) jest dodatni, zatem mnożąc obustronnie przez mianownik: $$\begin{aligned} 4x - 12 &< 0 \\[8pt] 4x &< 12 \\[8pt] x &< 3 \end{aligned}$$ Uwzględniając dziedzinę \(D = (0, 4)\), otrzymujemy \(x \in (0, 3)\). -
Podpunkt b) Rozwiązujemy nierówność \(\log_2 \dfrac{x + 5}{4 - x} \ge 1\):
Wyznaczamy dziedzinę nierówności – wyrażenie logarytmowane musi być dodatnie, a mianownik różny od zera: $$\dfrac{x + 5}{4 - x} > 0 \quad \text{oraz} \quad 4 - x \ne 0$$ Znak ilorazu dwóch wyrażeń jest tożsamy ze znakiem ich iloczynu: $$(x + 5)(4 - x) > 0$$ Miejscami zerowymi są \(x = -5\) oraz \(x = 4\). Współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(-1 < 0\), zatem ramiona paraboli są skierowane w dół: $$D = (-5, 4)$$ Przechodzimy do rozwiązania nierówności. Przedstawiamy liczbę \(1\) po prawej stronie jako logarytm o podstawie \(2\): $$1 = \log_2 2$$ Nierówność przyjmuje postać: $$\log_2 \dfrac{x + 5}{4 - x} \ge \log_2 2$$ Ponieważ podstawa logarytmu \(a = 2 > 1\), funkcja logarytmiczna jest ściśle rosnąca. Zachowujemy zwrot nierówności: $$\dfrac{x + 5}{4 - x} \ge 2$$ Przenosimy liczbę \(2\) na lewą stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika: $$\begin{aligned} \dfrac{x + 5}{4 - x} - 2 &\ge 0 \\[8pt] \dfrac{x + 5 - 2(4 - x)}{4 - x} &\ge 0 \\[8pt] \dfrac{x + 5 - 8 + 2x}{4 - x} &\ge 0 \\[8pt] \dfrac{3x - 3}{4 - x} &\ge 0 \end{aligned}$$ Zastępujemy iloraz iloczynem, pamiętając o warunku \(4 - x \ne 0\): $$\begin{aligned} 3(x - 1)(4 - x) &\ge 0 \quad \text{dla} \quad x \ne 4 \\[8pt] (x - 1)(4 - x) &\ge 0 \end{aligned}$$ Parabola o miejscach zerowych \(x = 1\) oraz \(x = 4\) ma ramiona skierowane w dół, więc wartości nieujemne przyjmuje w przedziale \([1, 4]\). Ze względu na warunek \(x \ne 4\) otrzymujemy: $$x \in [1, 4)$$ Sprawdzamy część wspólną z wyznaczoną dziedziną \(D = (-5, 4)\): $$\begin{aligned} x &\in [1, 4) \cap (-5, 4) \\[8pt] x &\in [1, 4) \end{aligned}$$ Ostatecznym zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział prawostronnie otwarty \([1, 4)\).
Odpowiedź:
a) \(x \in (0, 3)\)
b) \(x \in [1, 4)\)
a) \(x \in (0, 3)\)
b) \(x \in [1, 4)\)
Zadanie 4
Wyznacz zbiór wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) spełniających podane nierówności logarytmiczne:
a) \(\log_{\frac{1}{3}} x \cdot \left(\log_{\frac{1}{3}} x - 1\right) < 2\)
b) \(5\log_4 x - 2 > 2\log_4^2 x\)
a) \(\log_{\frac{1}{3}} x \cdot \left(\log_{\frac{1}{3}} x - 1\right) < 2\)
b) \(5\log_4 x - 2 > 2\log_4^2 x\)
a) \(x \in \left(\dfrac{1}{9}, 3\right)\)
b) \(x \in (2, 16)\)
b) \(x \in (2, 16)\)
Wskazówki:
- Przystępując do rozwiązywania nierówności logarytmicznej, w pierwszej kolejności ustal jej dziedzinę (liczba logarytmowana musi być ściśle dodatnia).
- Wprowadź zmienną pomocniczą \(t = \log_a x\), co pozwoli sprowadzić każde z wyrażeń do klasycznej nierówności kwadratowej zmiennej \(t\).
- Pamiętaj o monotoniczności funkcji logarytmicznej: gdy podstawa spełnia warunek \(a \in (0, 1)\), funkcja jest malejąca i przy opuszczaniu logarytmów zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny. Gdy podstawa spełnia warunek \(a > 1\), funkcja jest rosnąca i zwrot nierówności pozostaje bez zmian.
- Końcowy wynik zawsze skonfrontuj z wyznaczoną dziedziną.
Rozwiązanie krok po kroku:
-
Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność \(\log_{\frac{1}{3}} x \cdot \left(\log_{\frac{1}{3}} x - 1\right) < 2\):
Ustalamy dziedzinę nierówności – argument funkcji logarytmicznej musi być liczbą dodatnią: $$x > 0 \implies D = (0, +\infty)$$ Wprowadzamy zmienną pomocniczą: $$t = \log_{\frac{1}{3}} x$$ Podstawiamy \(t\) do nierówności: $$t(t - 1) < 2$$ Wymnażamy wyrażenie w nawiasie i przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: $$t^2 - t - 2 < 0$$ Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego: $$\begin{aligned} \Delta &= (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) \\[8pt] &= 1 + 8 = 9 \end{aligned}$$ $$\sqrt{\Delta} = 3$$ Wyznaczamy pierwiastki trójmianu: $$\begin{aligned} t_1 &= \dfrac{-(-1) - 3}{2 \cdot 1} = \dfrac{1 - 3}{2} = -1 \\[8pt] t_2 &= \dfrac{-(-1) + 3}{2 \cdot 1} = \dfrac{1 + 3}{2} = 2 \end{aligned}$$ Współczynnik przy \(t^2\) jest dodatni (\(a = 1 > 0\)), zatem ramiona paraboli są skierowane w górę. Wartości ujemne trójmian przyjmuje wewnątrz przedziału otwartego: $$-1 < t < 2$$ Wracamy do zmiennej \(x\): $$-1 < \log_{\frac{1}{3}} x < 2$$ Przedstawiamy liczby skrajne jako logarytmy o podstawie \(\dfrac{1}{3}\): $$\begin{aligned} -1 &= \log_{\frac{1}{3}} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1} = \log_{\frac{1}{3}} 3 \\[8pt] 2 &= \log_{\frac{1}{3}} \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \log_{\frac{1}{3}} \dfrac{1}{9} \end{aligned}$$ Otrzymujemy podwójną nierówność: $$\log_{\frac{1}{3}} \dfrac{1}{9} < \log_{\frac{1}{3}} x < \log_{\frac{1}{3}} 3$$ Podstawa logarytmu \(a = \dfrac{1}{3}\) należy do przedziału \((0, 1)\), więc funkcja \(f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x\) jest ściśle malejąca. Zmiana zwrotu nierówności przy opuszczaniu logarytmu daje: $$\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 < x < \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1} \iff \dfrac{1}{9} < x < 3$$ Część wspólna z dziedziną \(D = (0, +\infty)\): $$x \in \left(\dfrac{1}{9}, 3\right)$$ -
Podpunkt b) Rozwiązujemy nierówność \(5\log_4 x - 2 > 2\log_4^2 x\):
Ustalamy dziedzinę nierówności: $$x > 0 \implies D = (0, +\infty)$$ Wprowadzamy pomocniczą zmienną: $$t = \log_4 x$$ Zapisujemy nierówność w postaci algebraicznej: $$5t - 2 > 2t^2$$ Porządkujemy wyrazy, przenosząc je na prawą stronę: $$2t^2 - 5t + 2 < 0$$ Obliczamy wyróżnik trójmianu: $$\begin{aligned} \Delta &= (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 \\[8pt] &= 25 - 16 = 9 \end{aligned}$$ $$\sqrt{\Delta} = 3$$ Wyznaczamy miejsca zerowe: $$\begin{aligned} t_1 &= \dfrac{-(-5) - 3}{2 \cdot 2} = \dfrac{5 - 3}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \\[8pt] t_2 &= \dfrac{-(-5) + 3}{2 \cdot 2} = \dfrac{5 + 3}{4} = \dfrac{8}{4} = 2 \end{aligned}$$ Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni (\(a = 2 > 0\)), zatem ramiona paraboli biegną w górę. Nierówność ostra mniejszości wskazuje na przedział pomiędzy pierwiastkami: $$\dfrac{1}{2} < t < 2$$ Wracamy do zmiennej \(x\): $$\dfrac{1}{2} < \log_4 x < 2$$ Zapisujemy krańce w postaci logarytmów o podstawie \(4\): $$\begin{aligned} \dfrac{1}{2} &= \log_4 4^{\frac{1}{2}} = \log_4 \sqrt{4} = \log_4 2 \\[8pt] 2 &= \log_4 4^2 = \log_4 16 \end{aligned}$$ Otrzymujemy podwójną nierówność: $$\log_4 2 < \log_4 x < \log_4 16$$ Ponieważ podstawa logarytmu \(a = 4 > 1\), funkcja logarytmiczna jest ściśle rosnąca. Zachowujemy kierunek nierówności przy opuszczaniu logarytmów: $$2 < x < 16$$ Rozwiązanie zawiera się w dziedzinie \(D = (0, +\infty)\), co daje ostatecznie: $$x \in (2, 16)$$
Odpowiedź:
a) \(x \in \left(\dfrac{1}{9}, 3\right)\)
b) \(x \in (2, 16)\)
a) \(x \in \left(\dfrac{1}{9}, 3\right)\)
b) \(x \in (2, 16)\)
Zadanie 5
Wyznacz zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających poniższe nierówności logarytmiczne:
a) \(\log_2 x \cdot \log_{\frac{1}{7}} x < \log_{\frac{1}{7}} 16\)
b) \(\log_3 x \cdot \log_{\frac{2}{5}} x + \log_{\frac{2}{5}} \dfrac{1}{81} \ge 0\)
a) \(\log_2 x \cdot \log_{\frac{1}{7}} x < \log_{\frac{1}{7}} 16\)
b) \(\log_3 x \cdot \log_{\frac{2}{5}} x + \log_{\frac{2}{5}} \dfrac{1}{81} \ge 0\)
a) \(x \in \left(0, \dfrac{1}{4}\right) \cup (4, \infty)\)
b) \(x \in \left[\dfrac{1}{9}, 9\right]\)
b) \(x \in \left[\dfrac{1}{9}, 9\right]\)
Wskazówki:
- Wyznacz dziedzinę nierówności – liczba logarytmowana musi być ściśle dodatnia (\(x > 0\)).
- Zastosuj wzór na zmianę podstawy logarytmu: \(\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}\), aby sprowadzić wszystkie logarytmy do wspólnej podstawy.
- Zwróć szczególną uwagę na znak mianownika: jeśli \(\log_a b < 0\), to mnożenie obu stron nierówności przez tę wartość odwraca zwrot nierówności na przeciwny.
- Wprowadź zmienną pomocniczą \(t = \log_a x\) i rozwiąż elementarną nierówność kwadratową, a następnie powróć do zmiennej \(x\), pamiętając o monotoniczności funkcji logarytmicznej.
Rozwiązanie krok po kroku:
-
Podpunkt a) Określenie dziedziny i sprowadzenie logarytmów do podstawy \(2\):
Rozważamy nierówność: $$\log_2 x \cdot \log_{\frac{1}{7}} x < \log_{\frac{1}{7}} 16$$ Logarytm jest określony wyłącznie dla liczb dodatnich, zatem dziedziną nierówności jest: $$D = (0, \infty)$$ Zamieniamy podstawę logarytmów o podstawie \(\frac{1}{7}\) na podstawę \(2\): $$\log_{\frac{1}{7}} x = \dfrac{\log_2 x}{\log_2 \frac{1}{7}} = \dfrac{\log_2 x}{\log_2 (7^{-1})} = \dfrac{\log_2 x}{-\log_2 7}$$ $$\log_{\frac{1}{7}} 16 = \dfrac{\log_2 16}{\log_2 \frac{1}{7}} = \dfrac{4}{-\log_2 7}$$ -
Podpunkt a) Rozwiązanie nierówności ze zmienną pomocniczą \(t\):
Wstawiamy przekształcone wyrażenia do wyjściowej nierówności: $$\log_2 x \cdot \left(\dfrac{\log_2 x}{-\log_2 7}\right) < \dfrac{4}{-\log_2 7}$$ $$\dfrac{(\log_2 x)^2}{-\log_2 7} < \dfrac{4}{-\log_2 7}$$ Ponieważ \(7 > 1\), to \(\log_2 7 > 0\), skąd wynika, że mianownik \(-\log_2 7\) jest liczbą ujemną. Mnożąc obie strony przez liczbę ujemną \(-\log_2 7\), zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny: $$(\log_2 x)^2 > 4$$ Wprowadzamy zmienną pomocniczą \(t = \log_2 x\): $$\begin{aligned} t^2 &> 4 \\[8pt] t^2 - 4 &> 0 \\[8pt] (t - 2)(t + 2) &> 0 \end{aligned}$$ Miejscami zerowymi są liczby \(t = -2\) oraz \(t = 2\). Ponieważ współczynnik przy \(t^2\) jest dodatni, ramiona paraboli są skierowane w górę: $$t \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$$ -
Podpunkt a) Powrót do zmiennej \(x\) i uwzględnienie dziedziny:
Wracamy do podstawienia \(t = \log_2 x\), co daje alternatywę dwóch nierówności: $$\log_2 x < -2 \quad \text{lub} \quad \log_2 x > 2$$ Funkcja \(y = \log_2 x\) jest ściśle rosnąca (gdyż podstawa \(2 > 1\)): $$\begin{aligned} \log_2 x &< \log_2 (2^{-2}) \implies x < \dfrac{1}{4} \\[8pt] \log_2 x &> \log_2 (2^2) \implies x > 4 \end{aligned}$$ Uwzględniamy warunek dziedziny \(x > 0\): $$x \in \left(0, \dfrac{1}{4}\right) \cup (4, \infty)$$ -
Podpunkt b) Określenie dziedziny i zamiana podstawy na \(3\):
Rozważamy nierówność: $$\log_3 x \cdot \log_{\frac{2}{5}} x + \log_{\frac{2}{5}} \dfrac{1}{81} \ge 0$$ Wyznaczamy dziedzinę: $$D = (0, \infty)$$ Zamieniamy podstawę logarytmów na \(3\): $$\log_{\frac{2}{5}} x = \dfrac{\log_3 x}{\log_3 \frac{2}{5}}$$ $$\log_{\frac{2}{5}} \dfrac{1}{81} = \dfrac{\log_3 \left(3^{-4}\right)}{\log_3 \frac{2}{5}} = \dfrac{-4}{\log_3 \frac{2}{5}}$$ -
Podpunkt b) Rozwiązanie nierówności i wyznaczenie zbioru rozwiązań:
Podstawiamy otrzymane zależności do nierówności: $$\log_3 x \cdot \dfrac{\log_3 x}{\log_3 \frac{2}{5}} + \dfrac{-4}{\log_3 \frac{2}{5}} \ge 0$$ $$\dfrac{(\log_3 x)^2 - 4}{\log_3 \frac{2}{5}} \ge 0$$ Ponieważ podstawa logarytmu \(\frac{2}{5} \in (0, 1)\), to \(\log_3 \frac{2}{5} < 0\). Mnożymy obie strony nierówności przez ujemną liczbę \(\log_3 \frac{2}{5}\), zmieniając zwrot na przeciwny: $$(\log_3 x)^2 - 4 \le 0$$ Niech \(u = \log_3 x\). Otrzymujemy: $$\begin{aligned} u^2 - 4 &\le 0 \\[8pt] (u + 2)(u - 2) &\le 0 \\[8pt] u &\in [-2, 2] \end{aligned}$$ Wracamy do zmiennej \(x\): $$-2 \le \log_3 x \le 2$$ Ponieważ funkcja \(y = \log_3 x\) jest rosnąca (podstawa \(3 > 1\)): $$\begin{aligned} \log_3 (3^{-2}) &\le \log_3 x \le \log_3 (3^2) \\[8pt] 3^{-2} &\le x \le 3^2 \\[8pt] \dfrac{1}{9} &\le x \le 9 \end{aligned}$$ Wszystkie otrzymane liczby należą do dziedziny \(D = (0, \infty)\). Zbiorem rozwiązań jest przedział: $$x \in \left[\dfrac{1}{9}, 9\right]$$
Odpowiedź:
a) \(x \in \left(0, \dfrac{1}{4}\right) \cup (4, \infty)\)
b) \(x \in \left[\dfrac{1}{9}, 9\right]\)
a) \(x \in \left(0, \dfrac{1}{4}\right) \cup (4, \infty)\)
b) \(x \in \left[\dfrac{1}{9}, 9\right]\)
Grupa B
Zadanie 1
Określ dziedzinę, a następnie znajdź wszystkie rozwiązania należące do zbioru liczb rzeczywistych dla podanych nierówności logarytmicznych:
a) \(\log_{\frac{4}{7}} (x - 2) < \log_{\frac{4}{7}} (8 - x)\)
b) \(\log_2 |x - 3| \leqslant \log_2 5\)
c) \(\log_{\frac{2}{5}} \left|\dfrac{1}{2} - 2x\right| < -1\)
d) \(\log_{\sqrt{2}} (2x + 3) \leqslant 4\)
a) \(\log_{\frac{4}{7}} (x - 2) < \log_{\frac{4}{7}} (8 - x)\)
b) \(\log_2 |x - 3| \leqslant \log_2 5\)
c) \(\log_{\frac{2}{5}} \left|\dfrac{1}{2} - 2x\right| < -1\)
d) \(\log_{\sqrt{2}} (2x + 3) \leqslant 4\)
a) \(x \in (5, 8)\)
b) \(x \in \langle -2, 3) \cup (3, 8\rangle\)
c) \(x \in (-\infty, -1) \cup \left(\dfrac{3}{2}, +\infty\right)\)
d) \(x \in \left(-\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2}\right\rangle\)
b) \(x \in \langle -2, 3) \cup (3, 8\rangle\)
c) \(x \in (-\infty, -1) \cup \left(\dfrac{3}{2}, +\infty\right)\)
d) \(x \in \left(-\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2}\right\rangle\)
Zadanie 2
Wyznacz zbiór wszystkich rozwiązań poniższych nierówności logarytmicznych, pamiętając o wcześniejszym określeniu dziedziny:
a) \(\log_{\frac{1}{2}} x^2 > \log_{\frac{1}{2}} (12 - x)\)
b) \(\log_2 (x^2 + 3x) - 1 \ge \log_2 5\)
c) \(\log_{\frac{1}{4}} (x^2 + 6x + 9) \ge 0\)
d) \(\log_{\sqrt{15}} (x - 2) + \log_{\sqrt{15}} (x - 4) < 2\)
a) \(\log_{\frac{1}{2}} x^2 > \log_{\frac{1}{2}} (12 - x)\)
b) \(\log_2 (x^2 + 3x) - 1 \ge \log_2 5\)
c) \(\log_{\frac{1}{4}} (x^2 + 6x + 9) \ge 0\)
d) \(\log_{\sqrt{15}} (x - 2) + \log_{\sqrt{15}} (x - 4) < 2\)
a) \(x \in (-4, 0) \cup (0, 3)\)
b) \(x \in (-\infty, -5] \cup [2, +\infty)\)
c) \(x \in [-4, -3) \cup (-3, -2]\)
d) \(x \in (4, 7)\)
b) \(x \in (-\infty, -5] \cup [2, +\infty)\)
c) \(x \in [-4, -3) \cup (-3, -2]\)
d) \(x \in (4, 7)\)
Zadanie 3
Znajdź zbiór liczb rzeczywistych \(x\) będących rozwiązaniem nierówności:
a) \(\log_{\frac{1}{2}} x - \log_{\frac{1}{2}} (6 - x) > -1\)
b) \(\log_3 \dfrac{x + 5}{3 - x} \ge 1\)
a) \(\log_{\frac{1}{2}} x - \log_{\frac{1}{2}} (6 - x) > -1\)
b) \(\log_3 \dfrac{x + 5}{3 - x} \ge 1\)
a) \(x \in (0, 4)\)
b) \(x \in [1, 3)\)
b) \(x \in [1, 3)\)
Zadanie 4
Określ dziedzinę, a następnie znajdź wszystkie rozwiązania nierówności:
a) \(\log_{\frac{1}{2}} x \cdot \left(\log_{\frac{1}{2}} x + 1\right) < 6\)
b) \(4\log_8 x - 1 > 3\log_8^2 x\)
a) \(\log_{\frac{1}{2}} x \cdot \left(\log_{\frac{1}{2}} x + 1\right) < 6\)
b) \(4\log_8 x - 1 > 3\log_8^2 x\)
a) \(x \in \left(\dfrac{1}{4}, 8\right)\)
b) \(x \in (2, 8)\)
b) \(x \in (2, 8)\)
Zadanie 5
Ustal zbiór rozwiązań poniższych nierówności logarytmicznych w dziedzinie liczb rzeczywistych:
a) \(\log_5 x \cdot \log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}} 625\)
b) \(\log_2 x \cdot \log_{\frac{3}{4}} x + \log_{\frac{3}{4}} \dfrac{1}{2} \ge 0\)
a) \(\log_5 x \cdot \log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}} 625\)
b) \(\log_2 x \cdot \log_{\frac{3}{4}} x + \log_{\frac{3}{4}} \dfrac{1}{2} \ge 0\)
a) \(x \in \left(0, \dfrac{1}{25}\right) \cup (25, \infty)\)
b) \(x \in \left[\dfrac{1}{2}, 2\right]\)
b) \(x \in \left[\dfrac{1}{2}, 2\right]\)