Mediana z próby i moda z próby. Skala centylowa kartkówka LiczBit

27.2 Mediana z próby i moda z próby. Skala centylowa

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Dla każdego z przedstawionych poniżej zestawów danych statystycznych wyznacz dominantę (modę) oraz oblicz medianę:

a) $1, 1, 1, 1, 3, 6, 6, 6, 7, 8$

b) $2, 3, 5, 5, 5, 6, 9, 9, 9$

c) $4, 2, 4, 6, 2, 3, 4, 4, 6, 6, 5, 3, 2, 4, 3$

d) $1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7$

Wskazówki:

Dominanta (moda, $D$): to wartość, która w danym zbiorze pojawia się najczęściej (o największej liczebności). Jeśli dwie lub więcej wartości występują z tą samą, najwyższą częstością, zestaw ma więcej niż jedną dominantę. Jeżeli każda wartość występuje tyle samo razy, uznajemy, że dominanta nie istnieje.
Mediana ($Me$): to wartość środkowa w uporządkowanym niemalejąco ciągu liczb:
- dla nieparzystej liczby elementów $n$ medianą jest wyraz stojący dokładnie w środku: $x_{\frac{n+1}{2}}$,
- dla parzystej liczby elementów $n$ medianą jest średnia arytmetyczna dwóch wyrazów środkowych: $\dfrac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}}{2}$.
Gdy dane nie są posortowane, pierwszym i bezwzględnym krokiem musi być ułożenie liczb w porządku niemalejącym.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Zestaw danych: $1, 1, 1, 1, 3, 6, 6, 6, 7, 8$:
Ciąg jest już uporządkowany niemalejąco i liczy $n = 10$ liczb (liczba parzysta).

Zliczamy krotności poszczególnych liczb: $$\begin{aligned} 1 &\longrightarrow 4\text{ razy} \\[8pt] 3 &\longrightarrow 1\text{ raz} \\[8pt] 6 &\longrightarrow 3\text{ razy} \\[8pt] 7 &\longrightarrow 1\text{ raz} \\[8pt] 8 &\longrightarrow 1\text{ raz} \end{aligned}$$ Najczęściej występuje liczba $1$ (aż $4$ razy), zatem dominanta wynosi: $$D = 1$$ Ponieważ liczba danych $n = 10$ jest parzysta, mediana jest średnią arytmetyczną piątego i szóstego elementu: $$\begin{aligned} x_5 &= 3 \\[8pt] x_6 &= 6 \\[8pt] Me &= \dfrac{x_5 + x_6}{2} = \dfrac{3 + 6}{2} = \dfrac{9}{2} = 4{,}5 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Zestaw danych: $2, 3, 5, 5, 5, 6, 9, 9, 9$:
Ciąg jest uporządkowany niemalejąco i zawiera $n = 9$ liczb (liczba nieparzysta).

Określamy częstości występowania wartości: $$\begin{aligned} 2 &\longrightarrow 1\text{ raz} \\[8pt] 3 &\longrightarrow 1\text{ raz} \\[8pt] 5 &\longrightarrow 3\text{ razy} \\[8pt] 6 &\longrightarrow 1\text{ raz} \\[8pt] 9 &\longrightarrow 3\text{ razy} \end{aligned}$$ Dwie liczby — $5$ oraz $9$ — pojawiają się z maksymalną i jednocześnie jednakową krotnością ($3$ razy). Oznacza to, że zestaw posiada dwie dominanty (jest bimodalny): $$D_1 = 5, \quad D_2 = 9$$ Dla $n = 9$ mediana to wartość elementu środkowego o numerze $\dfrac{9 + 1}{2} = 5$: $$Me = x_5 = 5$$
Podpunkt c) Zestaw danych: $4, 2, 4, 6, 2, 3, 4, 4, 6, 6, 5, 3, 2, 4, 3$:
Zestaw nie jest uporządkowany i składa się z $n = 15$ elementów. Porządkujemy wszystkie liczby w kolejności niemalejącej: $$2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6$$ Zliczamy wystąpienia każdej liczby: $$\begin{aligned} 2 &\longrightarrow 3\text{ razy} \\[8pt] 3 &\longrightarrow 3\text{ razy} \\[8pt] 4 &\longrightarrow 5\text{ razy} \\[8pt] 5 &\longrightarrow 1\text{ raz} \\[8pt] 6 &\longrightarrow 3\text{ razy} \end{aligned}$$ Największą liczebność ma liczba $4$ (występuje $5$ razy), co daje dominantę: $$D = 4$$ Liczba elementów $n = 15$ jest nieparzysta, więc mediana to środkowy element o numerze $\dfrac{15 + 1}{2} = 8$: $$Me = x_8 = 4$$
Podpunkt d) Zestaw danych: $1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7$:
Zestaw liczy $n = 12$ elementów. Porządkujemy dane niemalejąco: $$1, 1, 1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 7$$ Zliczamy częstości: $$\begin{aligned} 1 &\longrightarrow 3\text{ razy} \\[8pt] 3 &\longrightarrow 3\text{ razy} \\[8pt] 5 &\longrightarrow 3\text{ razy} \\[8pt] 7 &\longrightarrow 3\text{ razy} \end{aligned}$$ Każda z wartości występuje dokładnie tyle samo razy (po $3$ razy). W takiej sytuacji żadna wartość nie wyróżnia się większą częstością, co oznacza brak dominanty.

Dla parzystej liczby danych $n = 12$ medianą jest średnia arytmetyczna wyrazu szóstego ($x_6$) i siódmego ($x_7$): $$\begin{aligned} x_6 &= 3 \\[8pt] x_7 &= 5 \\[8pt] Me &= \dfrac{x_6 + x_7}{2} = \dfrac{3 + 5}{2} = \dfrac{8}{2} = 4 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) dominanta: $1$, mediana: $4{,}5$

b) dominanta: $5$ oraz $9$ (rozkład bimodalny), mediana: $5$

c) dominanta: $4$, mediana: $4$

d) brak dominanty, mediana: $4$

Zadanie 2

Dla każdego z przedstawionych poniżej zestawów danych statystycznych wyznacz wartość dominanty (mody) oraz mediany:

a) zestawienie obserwacji w postaci tabeli liczebności:

Wartość cechy	4	15	7	10
Liczebność	8	3	5	4

b) rozkład cechy ujęty w tabeli częstości względnych:

Wartość cechy	1	3	6	8	10
Częstość względna	$\dfrac{1}{8}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{5}{24}$	$\dfrac{3}{8}$	$\dfrac{1}{8}$

Wskazówki:

Dominanta (moda) to wartość cechy, która pojawia się w próbie najczęściej – odpowiada jej największa liczebność bezwzględna lub najwyższa częstość względna.
Przed wyznaczeniem mediany bezwzględnie uporządkuj badane wartości rosnąco (od najmniejszej do największej).
Dla parzystej liczby obserwacji $n$ mediana jest średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów: na pozycji $\dfrac{n}{2}$ oraz $\dfrac{n}{2} + 1$.
W tabeli częstości względnych sprowadź wszystkie ułamki do wspólnego mianownika, a następnie zsumuj je narastająco (tworząc częstości skumulowane), aby odnaleźć próg $50\%$ rozkładu.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie mody oraz mediany na podstawie tabeli liczebności:
W pierwszym kroku porządkujemy wartości cechy rosnąco wraz z przypisanymi im liczebnościami: $$\begin{aligned} \text{wartość } 4 &\longrightarrow 8\text{ razy} \\[8pt] \text{wartość } 7 &\longrightarrow 5\text{ razy} \\[8pt] \text{wartość } 10 &\longrightarrow 4\text{ razy} \\[8pt] \text{wartość } 15 &\longrightarrow 3\text{ razy} \end{aligned}$$ Wyznaczenie mody (dominanty):
Największa liczebność w tabeli wynosi $8$ i odpowiada wartości $4$. Zatem: $$M_o = 4$$ Wyznaczenie mediany:
Obliczamy łączną liczbę elementów próby $n$: $$n = 8 + 5 + 4 + 3 = 20$$ Liczba obserwacji jest parzysta ($n = 20$), więc mediana jest średnią arytmetyczną wyrazu dziesiątego ($x_{10}$) i jedenastego ($x_{11}$): $$M_e = \dfrac{x_{10} + x_{11}}{2}$$ Określamy pozycje poszczególnych liczb w uporządkowanym ciągu: - pozycje od $1$ do $8$ zajmuje liczba $4$,
- pozycje od $9$ do $13$ zajmuje liczba $7$.

Zarówno dziesiąty, jak i jedenasty wyraz ciągu są równe $7$ ($x_{10} = 7$, $x_{11} = 7$). Obliczamy medianę: $$M_e = \dfrac{7 + 7}{2} = 7$$
Podpunkt b) Wyznaczenie mody oraz mediany z tabeli częstości względnych:
Wartości cechy w tabeli są już uporządkowane rosnąco ($1, 3, 6, 8, 10$). Sprowadzamy wszystkie ułamki częstości względnych do wspólnego mianownika równego $24$: $$\begin{aligned} \text{dla wartości } 1\colon &\quad \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{24} \\[8pt] \text{dla wartości } 3\colon &\quad \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{24} \\[8pt] \text{dla wartości } 6\colon &\quad \dfrac{5}{24} \\[8pt] \text{dla wartości } 8\colon &\quad \dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{24} \\[8pt] \text{dla wartości } 10\colon &\quad \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{24} \end{aligned}$$ Wyznaczenie mody (dominanty):
Najwyższą częstość względną ma wartość $8$, dla której udział wynosi $\dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8}$. Stąd: $$M_o = 8$$ Wyznaczenie mediany:
Wyznaczamy częstości skumulowane, sumując kolejne udziały: $$\begin{aligned} \text{do wartości } 1\colon &\quad \dfrac{3}{24} \\[8pt] \text{do wartości } 3\colon &\quad \dfrac{3}{24} + \dfrac{4}{24} = \dfrac{7}{24} \\[8pt] \text{do wartości } 6\colon &\quad \dfrac{7}{24} + \dfrac{5}{24} = \dfrac{12}{24} = \dfrac{1}{2} = 50\% \\[8pt] \text{do wartości } 8\colon &\quad \dfrac{12}{24} + \dfrac{9}{24} = \dfrac{21}{24} \\[8pt] \text{do wartości } 10\colon &\quad \dfrac{21}{24} + \dfrac{3}{24} = \dfrac{24}{24} = 1 \end{aligned}$$ Częstość skumulowana osiąga dokładnie połowę próby ($\dfrac{1}{2}$) na wartości $6$ (reprezentuje ona dwunastą jednostkę z dwudziestu czterech), natomiast kolejną trzynastą jednostkę reprezentuje już wartość $8$. Mediana jest średnią arytmetyczną tych dwóch wartości granicznych: $$M_e = \dfrac{6 + 8}{2} = \dfrac{14}{2} = 7$$

Odpowiedź:
a) Moda: $4$, Mediana: $7$

b) Moda: $8$, Mediana: $7$

Zadanie 3

Dla każdego z poniższych zbiorów danych statystycznych wyznacz dominantę (modę) oraz medianę. Dane zaprezentowano w postaci:

a) diagramu kolumnowego pionowego

b) diagramu słupkowego poziomego

c) diagramu kołowego procentowego

d) diagramu częstości względnych

Wskazówki:

Dominanta (moda, $D$): to wartość cechy, która występuje w danej próbie najczęściej (posiada największą liczebność, najwyższy procentowy udział lub największą częstość względną). Jeżeli dwie różne wartości osiągają jednakową, maksymalną liczebność, zestaw danych jest bimodalny i posiada dwie dominanty.
Mediana ($Me$): to wartość środkowa w uporządkowanym niemalejąco ciągu danych. Jeżeli liczba danych $N$ jest nieparzysta, mediana to wyraz o numerze $\frac{N+1}{2}$. Gdy $N$ jest parzysta, mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów: o numerze $\frac{N}{2}$ oraz $\frac{N}{2} + 1$.
W przypadku diagramów procentowych i częstości względnych mediana odpowiada wartości cechy, przy której skumulowany udział danych osiąga lub przekracza $50\%$ (czyli częstość względną równą $0{,}5$). Jeżeli dokładnie $50\%$ próby przypada na granicę między dwiema różnymi wartościami cechy, mediana jest ich średnią arytmetyczną.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Analiza danych z diagramu kolumnowego pionowego:
Odczytujemy z diagramu wartości cechy oraz odpowiadające im liczebności: $$\begin{aligned} \text{wartość } 3 &\longrightarrow \text{liczebność } 4 \\[8pt] \text{wartość } 5 &\longrightarrow \text{liczebność } 6 \\[8pt] \text{wartość } 8 &\longrightarrow \text{liczebność } 6 \\[8pt] \text{wartość } 12 &\longrightarrow \text{liczebność } 4 \end{aligned}$$ Łączna liczba danych wynosi: $$N = 4 + 6 + 6 + 4 = 20$$ Wyznaczenie dominanty (mody):
Największa liczebność w zestawie wynosi $6$. Osiągają ją dwie wartości cechy: $5$ oraz $8$. Mamy zatem do czynienia z rozkładem bimodalnym: $$D_1 = 5 \quad \text{oraz} \quad D_2 = 8$$ Wyznaczenie mediany:
Liczba elementów $N = 20$ jest parzysta, zatem mediana to średnia arytmetyczna wyrazu dziesiątego ($x_{10}$) oraz jedenastego ($x_{11}$) w ciągu uporządkowanym: $$Me = \dfrac{x_{10} + x_{11}}{2}$$ Ustalmy pozycje poszczególnych wartości: $$\begin{aligned} \text{wyrazy od } 1 \text{ do } 4 &: \quad 3 \\[8pt] \text{wyrazy od } 5 \text{ do } 10 &: \quad 5 \implies x_{10} = 5 \\[8pt] \text{wyrazy od } 11 \text{ do } 16 &: \quad 8 \implies x_{11} = 8 \end{aligned}$$ Obliczamy wartość mediany: $$Me = \dfrac{5 + 8}{2} = 6{,}5$$
Podpunkt b) Analiza danych z diagramu słupkowego poziomego:
Z osi pionowej odczytujemy wartości cechy, a z długości słupków na osi poziomej ich liczebności: $$\begin{aligned} \text{wartość } 3 &\longrightarrow \text{liczebność } 5 \\[8pt] \text{wartość } 6 &\longrightarrow \text{liczebność } 12 \\[8pt] \text{wartość } 9 &\longrightarrow \text{liczebność } 4 \end{aligned}$$ Całkowita liczebność próby: $$N = 5 + 12 + 4 = 21$$ Wyznaczenie dominanty (mody):
Słupek o największej długości odpowiada liczebności równej $12$, która przypada dla wartości $6$. Zatem: $$D = 6$$ Wyznaczenie mediany:
Liczba danych $N = 21$ jest liczbą nieparzystą. Mediana to dokładnie środkowy element o numerze: $$k = \dfrac{N + 1}{2} = \dfrac{21 + 1}{2} = 11$$ Sprawdzamy, w którym przedziale leży jedenasty wyraz: $$\begin{aligned} \text{wyrazy od } 1 \text{ do } 5 &: \quad 3 \\[8pt] \text{wyrazy od } 6 \text{ do } 17 &: \quad 6 \implies x_{11} = 6 \end{aligned}$$ Zatem mediana wynosi: $$Me = 6$$
Podpunkt c) Analiza danych z diagramu kołowego procentowego:
Odczytujemy udziały procentowe przypisane poszczególnym wartościom cechy: $$\begin{aligned} \text{wartość } 2 &\longrightarrow 15\% \\[8pt] \text{wartość } 4 &\longrightarrow 35\% \\[8pt] \text{wartość } 6 &\longrightarrow 25\% \\[8pt] \text{wartość } 8 &\longrightarrow 25\% \end{aligned}$$ Suma wszystkich udziałów wynosi oczywiście $15\% + 35\% + 25\% + 25\% = 100\%$.

Wyznaczenie dominanty (mody):
Największy wycinek koła (największy udział procentowy równy $35\%$) odpowiada wartości $4$. Stąd: $$D = 4$$ Wyznaczenie mediany:
Porządkujemy dane rosnąco i analizujemy procenty skumulowane: $$\begin{aligned} \text{dla wartości } 2 &: \quad 15\% \\[8pt] \text{dla wartości } 2 \text{ oraz } 4 &: \quad 15\% + 35\% = 50\% \end{aligned}$$ Zauważmy, że dokładnie pierwsze $50\%$ próby stanowią wartości mniejsze bądź równe $4$, natomiast drugie $50\%$ próby stanowią wartości równe $6$ oraz $8$. Mediana wypada dokładnie na granicy dzielącej próbę na dwie równe połowy, czyli pomiędzy wartościami $4$ oraz $6$: $$Me = \dfrac{4 + 6}{2} = 5$$
Podpunkt d) Analiza danych z diagramu częstości względnych:
Odczytujemy częstości względne poszczególnych wartości: $$\begin{aligned} \text{wartość } 1 &\longrightarrow \omega_1 = 0{,}15 \\[8pt] \text{wartość } 2 &\longrightarrow \omega_2 = 0{,}45 \\[8pt] \text{wartość } 3 &\longrightarrow \omega_3 = 0{,}30 \\[8pt] \text{wartość } 4 &\longrightarrow \omega_4 = 0{,}10 \end{aligned}$$ Suma częstości względnych wynosi: $0{,}15 + 0{,}45 + 0{,}30 + 0{,}10 = 1{,}00$.

Wyznaczenie dominanty (mody):
Najwyższy słupek reprezentuje częstość względną równą $0{,}45$, która odpowiada wartości $2$. Otrzymujemy: $$D = 2$$ Wyznaczenie mediany:
Wyznaczamy częstości skumulowane: $$\begin{aligned} \text{do wartości } 1 &: \quad 0{,}15 \\[8pt] \text{do wartości } 2 &: \quad 0{,}15 + 0{,}45 = 0{,}60 \end{aligned}$$ Próg $0{,}50$ (czyli $50\%$ obserwacji) zostaje osiągnięty i przekroczony przy wartości $2$. Wobec tego medianą jest: $$Me = 2$$

Odpowiedź:
a) Dominanta (moda): $D_1 = 5$ oraz $D_2 = 8$; mediana: $Me = 6{,}5$

b) Dominanta (moda): $D = 6$; mediana: $Me = 6$

c) Dominanta (moda): $D = 4$; mediana: $Me = 5$

d) Dominanta (moda): $D = 2$; mediana: $Me = 2$

Zadanie 4

W grupie 40 słuchaczy kursu językowego przeprowadzono test sprawdzający znajomość słownictwa branżowego. Uzyskane oceny (w skali szkolnej 1–5, gdzie oceny od 2 wzwyż uznaje się za pozytywne) oraz liczbę osób, które je otrzymały, zestawiono w poniższej tabeli:

Ocena	1	2	3	4	5
Liczebność	4	6	16	10	4

a) Wyznacz modę oraz medianę uzyskanych ocen.

b) Oblicz średnią ocen ze sprawdzianu.

c) Jaki procent słuchaczy uzyskał ocenę pozytywną?

d) Sporządź diagram kołowy procentowy otrzymanych ocen.

Wskazówki:

Moda to po prostu ocena, która pojawia się najczęściej (otrzymało ją najwięcej osób).
Mediana to wynik stojący dokładnie na samym środku, gdybyśmy ustawili wszystkie 40 ocen po kolei od najgorszej do najlepszej. Ponieważ 40 to liczba parzysta, bierzemy dwie środkowe oceny (20. i 21.) i liczymy z nich zwykłą średnią.
Średnią liczymy łopatologicznie: mnożymy każdą ocenę przez to, ile osób ją zdobyło, dodajemy wszystkie te wyniki do siebie i dzielimy przez 40.
Oceny pozytywne to oceny 2, 3, 4 i 5. Najszybciej policzysz ich liczbę, odejmując od 40 uczniów te 4 osoby, które dostały jedynkę. Następnie dzielisz ten wynik przez 40 i mnożysz przez $100\%$.
Całe koło ma $360^\circ$. Aby narysować diagram kołowy, wyliczamy, jaki procent całej grupy stanowi każda ocena, a następnie bierzemy ten procent z $360^\circ$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) – Wyznaczamy modę i medianę ocen:

• Moda (najczęstszy wynik):
Patrzymy w tabeli, która ocena zebrała najwięcej osób. Ocenę 3 otrzymało aż 16 słuchaczy – to najwyższa liczba ze wszystkich. Zatem: $$\text{Moda} = 3$$ • Mediana (wartość środkowa):
Wyobraź sobie, że ustawiamy w jednym szeregu wszystkie 40 ocen, od najmniejszej do największej:
- miejsca od 1 do 4: same jedynki ($4$ osoby)
- miejsca od 5 do 10: same dwójki ($6$ osób, razem już $10$ osób)
- miejsca od 11 do 26: same trójki ($16$ osób, razem już $26$ osób)
- miejsca od 27 do 36: same czwórki ($10$ osób, razem już $36$ osób)
- miejsca od 37 do 40: same piątki ($4$ osoby, łącznie $40$ osób)
Ponieważ mamy 40 ocen (liczbę parzystą), dokładnie w środku leżą dwie oceny: na pozycji 20. oraz 21.
Z powyższego zestawienia widać, że na obu tych miejscach stoi ocena 3 (ponieważ od miejsca 11 do 26 stoją wyłącznie trójki).
Liczymy średnią z tych dwóch miejsc: $$\text{Mediana} = \dfrac{3 + 3}{2} = 3$$
Podpunkt b) – Obliczamy średnią ocen:
Mnożymy każdą ocenę przez liczbę osób, które ją otrzymały, dodajemy wszystko i dzielimy przez łączną liczbę 40 słuchaczy: $$\text{średnia} = \dfrac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 16 + 4 \cdot 10 + 5 \cdot 4}{40}$$ $$= \dfrac{4 + 12 + 48 + 40 + 20}{40} = \dfrac{124}{40} = 3{,}1$$ Średnia ocen ze sprawdzianu wynosi $3{,}1$.
Podpunkt c) – Obliczamy odsetek ocen pozytywnych:
Oceny pozytywne to oceny 2, 3, 4 oraz 5 (wszystkie oprócz oceny niedostatecznej 1).
Liczbę osób z oceną pozytywną możemy obliczyć na dwa proste sposoby: $$40 - 4 = 36\text{ osób} \quad (\text{lub po prostu } 6 + 16 + 10 + 4 = 36)$$ Teraz sprawdzamy, jaki procent całej 40-osobowej grupy stanowią te 36 osoby: $$\dfrac{36}{40} \cdot 100\% = \dfrac{9}{10} \cdot 100\% = 90\%$$ Ocenę pozytywną uzyskało dokładnie $90\%$ słuchaczy.
Podpunkt d) – Rysujemy procentowy diagram kołowy:
Całe koło to $100\%$ i zarazem $360^\circ$. Obliczamy dla każdej oceny jej udział procentowy oraz kąt wycinka na wykresie:
- Ocena 1: $\dfrac{4}{40} \cdot 100\% = 10\% \implies 10\% \text{ z } 360^\circ = 0{,}10 \cdot 360^\circ = 36^\circ$
- Ocena 2: $\dfrac{6}{40} \cdot 100\% = 15\% \implies 15\% \text{ z } 360^\circ = 0{,}15 \cdot 360^\circ = 54^\circ$
- Ocena 3: $\dfrac{16}{40} \cdot 100\% = 40\% \implies 40\% \text{ z } 360^\circ = 0{,}40 \cdot 360^\circ = 144^\circ$
- Ocena 4: $\dfrac{10}{40} \cdot 100\% = 25\% \implies 25\% \text{ z } 360^\circ = 0{,}25 \cdot 360^\circ = 90^\circ$
- Ocena 5: $\dfrac{4}{40} \cdot 100\% = 10\% \implies 10\% \text{ z } 360^\circ = 0{,}10 \cdot 360^\circ = 36^\circ$
Dla pewności sprawdzamy sumę kątów: $$36^\circ + 54^\circ + 144^\circ + 90^\circ + 36^\circ = 360^\circ$$ Na podstawie tych kątów powstał poniższy diagram kołowy:

Odpowiedź:
a) Moda: $3$, Mediana: $3$

b) Średnia ocen: $3{,}1$

c) Ocenę pozytywną uzyskało $90\%$ słuchaczy.

d) Rozkład procentowy: ocena 1 – $10\%$, ocena 2 – $15\%$, ocena 3 – $40\%$, ocena 4 – $25\%$, ocena 5 – $10\%$.

Zadanie 5

Dany jest zestaw dziesięciu liczb rzeczywistych, wśród których jedna została oznaczona symbolem $m$: $$14, \quad 5, \quad 22, \quad 3, \quad 12, \quad 30, \quad 6, \quad 3, \quad 17, \quad m$$ Wiadomo, że mediana tego zestawu wynosi $10$. Wyznacz wartość liczby $m$, a następnie oblicz średnią arytmetyczną wszystkich liczb z tego zestawu.

Wskazówki:

Mediana zestawu o parzystej liczbie elementów ($n = 10$) to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów (piątego i szóstego) po uprzednim uporządkowaniu liczb niemalejąco.
Uporządkuj dziewięć znanych liczb i zbadaj położenie niewiadomej $m$ w uporządkowanym ciągu, aby wyznaczyć jej wartość z warunku na medianę.
Po wyznaczeniu $m$ oblicz sumę wszystkich dziesięciu liczb i podziel ją przez $10$, aby uzyskać średnią arytmetyczną.

Rozwiązanie krok po kroku:

Uporządkowanie znanych danych i analiza definicji mediany:
Wypisujemy dziewięć znanych liczb w kolejności niemalejącej: $$3, \quad 3, \quad 5, \quad 6, \quad 12, \quad 14, \quad 17, \quad 22, \quad 30$$ Cały zestaw liczy $n = 10$ elementów. Dla parzystej liczby danych mediana $M$ jest średnią arytmetyczną wyrazu piątego $x_{(5)}$ i szóstego $x_{(6)}$: $$M = \dfrac{x_{(5)} + x_{(6)}}{2} = 10$$
Wyznaczenie wartości niewiadomej $m$:
Przeanalizujmy możliwe położenie liczby $m$ względem uporządkowanych wartości:
- Gdyby $m \le 6$, to piątą liczbą w zestawie byłaby $6$, a szóstą $12$, co dałoby medianę $\dfrac{6 + 12}{2} = 9 \ne 10$.
- Gdyby $m \ge 12$, to piątą liczbą byłaby $12$, a szóstą $14$, co dałoby medianę $\dfrac{12 + 14}{2} = 13 \ne 10$.
Wynika stąd, że liczba $m$ musi leżeć pomiędzy $6$ a $12$ (czyli $6 \le m \le 12$). Wówczas piątą liczbą w uporządkowanym ciągu jest $m$, a szóstą liczba $12$: $$\begin{aligned} \dfrac{m + 12}{2} &= 10 \\[8pt] m + 12 &= 20 \\[8pt] m &= 8 \end{aligned}$$ Wartość $m = 8$ spełnia warunek $6 \le 8 \le 12$. Pełny uporządkowany zestaw liczb to: $$3, \quad 3, \quad 5, \quad 6, \quad 8, \quad 12, \quad 14, \quad 17, \quad 22, \quad 30$$
Obliczenie średniej arytmetycznej zestawu liczb:
Mając kompletny zestaw dziesięciu danych, obliczamy ich sumę $S$: $$\begin{aligned} S &= 3 + 3 + 5 + 6 + 8 + 12 + 14 + 17 + 22 + 30 \\[8pt] &= 120 \end{aligned}$$ Obliczamy średnią arytmetyczną $\bar{x}$: $$\bar{x} = \dfrac{S}{n} = \dfrac{120}{10} = 12$$

Odpowiedź:
$m = 8$, średnia arytmetyczna: $12$

Grupa B

Zadanie 1

Wskaż wartość najczęstszą (dominantę) oraz oblicz medianę dla każdego z poniższych zbiorów danych liczbowych:

a) $3, 3, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 8, 9$

b) $1, 4, 6, 6, 6, 7, 9, 9, 9$

c) $5, 2, 5, 7, 2, 4, 5, 5, 7, 7, 6, 4, 2, 5, 4$

d) $2, 4, 6, 8, 2, 4, 6, 8, 2, 4, 6, 8$

Zadanie 2

Ustal wartość dominanty (mody) oraz medianę dla obu poniższych zestawów danych statystycznych:

a) wyniki zebrane w tabeli liczebności:

Wartość cechy	2	14	6	9
Liczebność	6	2	5	3

b) udziały w próbie podane w tabeli częstości względnych:

Wartość cechy	3	5	8	10	12
Częstość względna	$\dfrac{1}{10}$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{3}{20}$	$\dfrac{7}{20}$	$\dfrac{3}{20}$

Zadanie 3

Wyznacz modę (dominantę) oraz wartość mediany dla każdej ze zmiennych statystycznych zilustrowanych poniższymi wykresami:

a) diagramem kolumnowym pionowym

b) diagramem słupkowym poziomym

c) diagramem kołowym procentowym

d) diagramem częstości względnych

Zadanie 4

W centrum szkoleniowym 50 kandydatów podeszło do egzaminu teoretycznego na uprawnienia zawodowe. Oceny przyznawano w stopniach od 1 do 5 (gdzie ocena 1 jest oceną niedostateczną, a oceny od 2 do 5 oznaczają pomyślne zaliczenie z wynikiem pozytywnym). Liczbę uzyskanych stopni zestawiono w tabeli:

Ocena	1	2	3	4	5
Liczebność	2	8	20	14	6

a) Ustal modę oraz medianę otrzymanych ocen.

b) Oblicz średnią arytmetyczną ocen uzyskanych ze sprawdzianu.

c) Jaki odsetek zdających zaliczył egzamin z oceną pozytywną?

d) Przedstaw procentowy podział ocen w postaci diagramu kołowego.

Zadanie 5

W próbie złożonej z dziesięciu liczb, w tym jednej oznaczonej symbolem $c$: $$21, \quad 7, \quad 31, \quad 2, \quad 12, \quad 28, \quad 10, \quad 5, \quad 18, \quad c$$ mediana jest równa $14$. Wyznacz wartość liczby $c$, a następnie oblicz średnią arytmetyczną wszystkich liczb z tego zestawu.

Wartość cechy	1	3	6	8	10
Częstość względna	\(\dfrac{1}{8}\)	\(\dfrac{1}{6}\)	\(\dfrac{5}{24}\)	\(\dfrac{3}{8}\)	\(\dfrac{1}{8}\)

Wartość cechy	3	5	8	10	12
Częstość względna	\(\dfrac{1}{10}\)	\(\dfrac{1}{4}\)	\(\dfrac{3}{20}\)	\(\dfrac{7}{20}\)	\(\dfrac{3}{20}\)

27.2 Mediana z próby i moda z próby. Skala centylowa

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋