Logarytm - powtórzenie wiadomości kartkówka LiczBit

26.1 Logarytm – powtórzenie wiadomości

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Wyznacz dokładną wartość każdego z poniższych wyrażeń logarytmicznych:

a) $\log_{\sqrt[4]{2}} 8\sqrt{2}$

b) $\log_{0,5} 4\sqrt[3]{2}$

c) $\log_{\frac{1}{3}} 9\sqrt[4]{3}$

d) $\log_{\sqrt{5}} 25\sqrt[3]{5}$

e) $\log_{\frac{1}{2}} 32\sqrt[4]{2}$

f) $\log_{\frac{\sqrt[3]{2}}{2}} 32\sqrt[3]{2}$

g) $\log_2 \dfrac{8\sqrt[3]{2}}{\sqrt[6]{32}}$

h) $\log_{\sqrt[3]{2\sqrt{2}}} 4\sqrt[4]{8\sqrt{2}}$

Wskazówki:

Wykorzystaj prawa działań na potęgach: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ oraz $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Przedstaw podstawę logarytmu oraz liczbę logarytmowaną w postaci potęg o tej samej liczbie bazowej, a następnie wyznacz wartość logarytmu wprost z definicji: $\log_a b = c \iff a^c = b$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_{\sqrt[4]{2}} 8\sqrt{2}$:
Zapisujemy podstawę logarytmu jako potęgę liczby $2$: $$\sqrt[4]{2} = 2^{\frac{1}{4}}$$ Zapisujemy liczbę logarytmowaną w postaci potęgi o podstawie $2$: $$\begin{aligned} 8\sqrt{2} &= 2^3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \\[8pt] &= 2^{3 + \frac{1}{2}} \\[8pt] &= 2^{\frac{7}{2}} \end{aligned}$$ Niech $\log_{\sqrt[4]{2}} 8\sqrt{2} = c$. Z definicji logarytmu otrzymujemy równanie: $$\begin{aligned} \left(2^{\frac{1}{4}}\right)^c &= 2^{\frac{7}{2}} \\[8pt] 2^{\frac{1}{4}c} &= 2^{\frac{7}{2}} \\[8pt] \dfrac{1}{4}c &= \dfrac{7}{2} \\[8pt] c &= \dfrac{7}{2} \cdot 4 = 14 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_{0,5} 4\sqrt[3]{2}$:
Sprowadzamy ułamek dziesiętny w podstawie do potęgi dwójki: $$0,5 = \dfrac{1}{2} = 2^{-1}$$ Przekształcamy liczbę logarytmowaną: $$\begin{aligned} 4\sqrt[3]{2} &= 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \\[8pt] &= 2^{2 + \frac{1}{3}} \\[8pt] &= 2^{\frac{7}{3}} \end{aligned}$$ Układamy równanie z definicji logarytmu: $$\begin{aligned} (2^{-1})^c &= 2^{\frac{7}{3}} \\[8pt] 2^{-c} &= 2^{\frac{7}{3}} \\[8pt] -c &= \dfrac{7}{3} \\[8pt] c &= -\dfrac{7}{3} = -2\dfrac{1}{3} \end{aligned}$$
Podpunkt c) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_{\frac{1}{3}} 9\sqrt[4]{3}$:
Zapisujemy podstawę jako potęgę liczby $3$: $$\dfrac{1}{3} = 3^{-1}$$ Przedstawiamy liczbę logarytmowaną przy podstawie $3$: $$\begin{aligned} 9\sqrt[4]{3} &= 3^2 \cdot 3^{\frac{1}{4}} \\[8pt] &= 3^{2 + \frac{1}{4}} \\[8pt] &= 3^{\frac{9}{4}} \end{aligned}$$ Korzystamy z definicji logarytmu: $$\begin{aligned} (3^{-1})^c &= 3^{\frac{9}{4}} \\[8pt] 3^{-c} &= 3^{\frac{9}{4}} \\[8pt] -c &= \dfrac{9}{4} \\[8pt] c &= -\dfrac{9}{4} = -2\dfrac{1}{4} \end{aligned}$$
Podpunkt d) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_{\sqrt{5}} 25\sqrt[3]{5}$:
Zapisujemy podstawę logarytmu za pomocą potęgi o podstawie $5$: $$\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$$ Przekształcamy liczbę logarytmowaną: $$\begin{aligned} 25\sqrt[3]{5} &= 5^2 \cdot 5^{\frac{1}{3}} \\[8pt] &= 5^{2 + \frac{1}{3}} \\[8pt] &= 5^{\frac{7}{3}} \end{aligned}$$ Rozwiązujemy równanie wykładnicze: $$\begin{aligned} \left(5^{\frac{1}{2}}\right)^c &= 5^{\frac{7}{3}} \\[8pt] 5^{\frac{1}{2}c} &= 5^{\frac{7}{3}} \\[8pt] \dfrac{1}{2}c &= \dfrac{7}{3} \\[8pt] c &= \dfrac{7}{3} \cdot 2 = \dfrac{14}{3} = 4\dfrac{2}{3} \end{aligned}$$
Podpunkt e) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_{\frac{1}{2}} 32\sqrt[4]{2}$:
Zapisujemy podstawę jako: $$\dfrac{1}{2} = 2^{-1}$$ Przekształcamy liczbę pod znakiem logarytmu: $$\begin{aligned} 32\sqrt[4]{2} &= 2^5 \cdot 2^{\frac{1}{4}} \\[8pt] &= 2^{5 + \frac{1}{4}} \\[8pt] &= 2^{\frac{21}{4}} \end{aligned}$$ Wyznaczamy szukaną wartość z definicji: $$\begin{aligned} (2^{-1})^c &= 2^{\frac{21}{4}} \\[8pt] 2^{-c} &= 2^{\frac{21}{4}} \\[8pt] -c &= \dfrac{21}{4} \\[8pt] c &= -\dfrac{21}{4} = -5\dfrac{1}{4} \end{aligned}$$
Podpunkt f) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_{\frac{\sqrt[3]{2}}{2}} 32\sqrt[3]{2}$:
Przekształcamy ułamek znajdujący się w podstawie logarytmu: $$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt[3]{2}}{2} &= \dfrac{2^{\frac{1}{3}}}{2^1} \\[8pt] &= 2^{\frac{1}{3} - 1} \\[8pt] &= 2^{-\frac{2}{3}} \end{aligned}$$ Zapisujemy liczbę logarytmowaną w postaci potęgi dwójki: $$\begin{aligned} 32\sqrt[3]{2} &= 2^5 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \\[8pt] &= 2^{5 + \frac{1}{3}} \\[8pt] &= 2^{\frac{16}{3}} \end{aligned}$$ Rozwiązujemy równanie: $$\begin{aligned} \left(2^{-\frac{2}{3}}\right)^c &= 2^{\frac{16}{3}} \\[8pt] 2^{-\frac{2}{3}c} &= 2^{\frac{16}{3}} \\[8pt] -\dfrac{2}{3}c &= \dfrac{16}{3} \\[8pt] c &= \dfrac{16}{3} \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) = -8 \end{aligned}$$
Podpunkt g) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_2 \dfrac{8\sqrt[3]{2}}{\sqrt[6]{32}}$:
Przekształcamy licznik ułamka: $$\begin{aligned} 8\sqrt[3]{2} &= 2^3 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \\[8pt] &= 2^{3 + \frac{1}{3}} = 2^{\frac{10}{3}} \end{aligned}$$ Przekształcamy mianownik ułamka: $$\begin{aligned} \sqrt[6]{32} &= \sqrt[6]{2^5} \\[8pt] &= 2^{\frac{5}{6}} \end{aligned}$$ Dzielimy potęgi o tych samych podstawach (odejmując wykładniki): $$\begin{aligned} \dfrac{8\sqrt[3]{2}}{\sqrt[6]{32}} &= \dfrac{2^{\frac{10}{3}}}{2^{\frac{5}{6}}} \\[8pt] &= 2^{\frac{10}{3} - \frac{5}{6}} \\[8pt] &= 2^{\frac{20}{6} - \frac{5}{6}} \\[8pt] &= 2^{\frac{15}{6}} = 2^{\frac{5}{2}} \end{aligned}$$ Obliczamy logarytm o podstawie $2$: $$\log_2 \left(2^{\frac{5}{2}}\right) = \dfrac{5}{2} = 2\dfrac{1}{2} = 2,5$$
Podpunkt h) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_{\sqrt[3]{2\sqrt{2}}} 4\sqrt[4]{8\sqrt{2}}$:
Upraszczamy najpierw podstawę logarytmu, zaczynając od wnętrza pierwiastka: $$\begin{aligned} 2\sqrt{2} &= 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} \\[8pt] \sqrt[3]{2\sqrt{2}} &= \left(2^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} \\[8pt] &= 2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{2}} \end{aligned}$$ Upraszczamy wyrażenie w liczbie logarytmowanej: $$\begin{aligned} 8\sqrt{2} &= 2^3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{7}{2}} \\[8pt] \sqrt[4]{8\sqrt{2}} &= \left(2^{\frac{7}{2}}\right)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{7}{8}} \\[8pt] 4\sqrt[4]{8\sqrt{2}} &= 2^2 \cdot 2^{\frac{7}{8}} \\[8pt] &= 2^{2 + \frac{7}{8}} = 2^{\frac{23}{8}} \end{aligned}$$ Z definicji logarytmu otrzymujemy: $$\begin{aligned} \left(2^{\frac{1}{2}}\right)^c &= 2^{\frac{23}{8}} \\[8pt] 2^{\frac{1}{2}c} &= 2^{\frac{23}{8}} \\[8pt] \dfrac{1}{2}c &= \dfrac{23}{8} \\[8pt] c &= \dfrac{23}{8} \cdot 2 = \dfrac{23}{4} = 5\dfrac{3}{4} = 5,75 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $14$

b) $-\dfrac{7}{3} = -2\dfrac{1}{3}$

c) $-\dfrac{9}{4} = -2\dfrac{1}{4}$

d) $\dfrac{14}{3} = 4\dfrac{2}{3}$

e) $-\dfrac{21}{4} = -5\dfrac{1}{4}$

f) $-8$

g) $\dfrac{5}{2} = 2\dfrac{1}{2} = 2,5$

h) $\dfrac{23}{4} = 5\dfrac{3}{4} = 5,75$

Zadanie 2

Wyznacz wartości poniższych wyrażeń, stosując odpowiednie prawa działań na logarytmach:

a) $\log_3 162 - \log_3 2$

b) $\log_5 \dfrac{1}{15} + \log_5 \dfrac{3}{5}$

c) $2\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{5} + \log_{\frac{1}{3}} 5\dfrac{2}{5}$

d) $(\log_2 7 - \log_2 56)^2$

e) $\log_{\frac{3}{4}} 9 - 2\log_{\frac{3}{4}} 4$

f) $3\log_{\frac{1}{8}} 16 - 2\log_{\sqrt{2}} 8$

Wskazówki:

Wykorzystaj wzór na logarytm iloczynu: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$ oraz na logarytm ilorazu: $\log_a x - \log_a y = \log_a \dfrac{x}{y}$.
Współczynnik liczbowy stojący przed logarytmem wciągaj do wykładnika potęgi liczby logarytmowanej: $k \cdot \log_a x = \log_a (x^k)$.
Ułamki mieszane zamieniaj na ułamki niewłaściwe, a pierwiastki zapisuj w postaci potęg o wykładniku wymiernym ($\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$).
Pojedyncze logarytmy o ułamkowych lub pierwiastkowych podstawach obliczaj bezpośrednio z definicji logarytmu $\log_a b = c \iff a^c = b$, sprowadzając obie strony równania do wspólnej potęgi.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_3 162 - \log_3 2$:
Stosujemy wzór na różnicę logarytmów o jednakowych podstawach, zamieniając odejmowanie na logarytm ilorazu: $$\begin{aligned} \log_3 162 - \log_3 2 &= \log_3 \left(\dfrac{162}{2}\right) \\[8pt] &= \log_3 81 \\[8pt] &= 4 \end{aligned}$$ Wynik wynosi $4$, ponieważ $3^4 = 81$.
Podpunkt b) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_5 \dfrac{1}{15} + \log_5 \dfrac{3}{5}$:
Stosujemy wzór na sumę logarytmów o jednakowych podstawach, zamieniając dodawanie na logarytm iloczynu: $$\begin{aligned} \log_5 \dfrac{1}{15} + \log_5 \dfrac{3}{5} &= \log_5 \left(\dfrac{1}{15} \cdot \dfrac{3}{5}\right) \\[8pt] &= \log_5 \left(\dfrac{3}{75}\right) \\[8pt] &= \log_5 \left(\dfrac{1}{25}\right) \\[8pt] &= -2 \end{aligned}$$ Wynik wynosi $-2$, ponieważ $5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}$.
Podpunkt c) Obliczamy wartość wyrażenia $2\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{5} + \log_{\frac{1}{3}} 5\dfrac{2}{5}$:
Zamieniamy ułamek mieszany na ułamek niewłaściwy: $5\dfrac{2}{5} = \dfrac{27}{5}$. Następnie wprowadzamy współczynnik $2$ do wykładnika potęgi argumentu logarytmu, korzystając z faktu, że $(\sqrt{5})^2 = 5$: $$\begin{aligned} 2\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{5} + \log_{\frac{1}{3}} 5\dfrac{2}{5} &= \log_{\frac{1}{3}} \left(\sqrt{5}\right)^2 + \log_{\frac{1}{3}} \dfrac{27}{5} \\[8pt] &= \log_{\frac{1}{3}} 5 + \log_{\frac{1}{3}} \dfrac{27}{5} \\[8pt] &= \log_{\frac{1}{3}} \left(5 \cdot \dfrac{27}{5}\right) \\[8pt] &= \log_{\frac{1}{3}} 27 \\[8pt] &= -3 \end{aligned}$$ Wynik wynosi $-3$, ponieważ $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-3} = 3^3 = 27$.
Podpunkt d) Obliczamy wartość wyrażenia $(\log_2 7 - \log_2 56)^2$:
W pierwszej kolejności wykonujemy odejmowanie logarytmów wewnątrz nawiasu za pomocą wzoru na różnicę: $$\begin{aligned} \log_2 7 - \log_2 56 &= \log_2 \left(\dfrac{7}{56}\right) \\[8pt] &= \log_2 \left(\dfrac{1}{8}\right) \\[8pt] &= -3 \end{aligned}$$ Następnie podnosimy otrzymaną wartość do kwadratu: $$(-3)^2 = 9$$
Podpunkt e) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_{\frac{3}{4}} 9 - 2\log_{\frac{3}{4}} 4$:
Wciągamy czynnik $2$ przed drugim logarytmem jako potęgę liczby logarytmowanej ($4^2 = 16$), a następnie stosujemy wzór na różnicę logarytmów: $$\begin{aligned} \log_{\frac{3}{4}} 9 - 2\log_{\frac{3}{4}} 4 &= \log_{\frac{3}{4}} 9 - \log_{\frac{3}{4}} (4^2) \\[8pt] &= \log_{\frac{3}{4}} 9 - \log_{\frac{3}{4}} 16 \\[8pt] &= \log_{\frac{3}{4}} \left(\dfrac{9}{16}\right) \\[8pt] &= \log_{\frac{3}{4}} \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 \\[8pt] &= 2 \end{aligned}$$
Podpunkt f) Obliczamy wartość wyrażenia $3\log_{\frac{1}{8}} 16 - 2\log_{\sqrt{2}} 8$:
Wyznaczamy osobno wartości obu logarytmów z definicji, sprowadzając liczby do podstawy potęgi równej $2$:

Dla pierwszego logarytmu $\log_{\frac{1}{8}} 16$: $$\begin{aligned} \left(\dfrac{1}{8}\right)^x = 16 &\iff (2^{-3})^x = 2^4 \\[8pt] &\iff 2^{-3x} = 2^4 \\[8pt] &\iff -3x = 4 \iff x = -\dfrac{4}{3} \end{aligned}$$ Mnożymy przez stojący przed nim współczynnik: $$3 \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right) = -4$$ Dla drugiego logarytmu $\log_{\sqrt{2}} 8$: $$\begin{aligned} (\sqrt{2})^y = 8 &\iff (2^{\frac{1}{2}})^y = 2^3 \\[8pt] &\iff 2^{\frac{1}{2}y} = 2^3 \\[8pt] &\iff \dfrac{1}{2}y = 3 \iff y = 6 \end{aligned}$$ Mnożymy przez stojący przed nim współczynnik: $$2 \cdot 6 = 12$$ Odejmujemy otrzymane wartości: $$-4 - 12 = -16$$

Odpowiedź:
a) $4$

b) $-2$

c) $-3$

d) $9$

e) $2$

f) $-16$

Zadanie 3

a) Oblicz wartość wyrażenia $81^{\log_3 \sqrt{2} + 0{,}25}$.

b) Oblicz wartość wyrażenia $\left(\log_3 16 + \dfrac{1}{2\log_{16} 3}\right) \cdot \log_{64} 27$.

c) Rozwiąż równanie $\log_3 27^x - (2x - 2) \cdot \log_5 0{,}2 = \log_2 72 - 2\log_2 3$.

d) Wykaż, że liczba $\dfrac{1}{\log_3 12} + \dfrac{1}{\log_4 12}$ jest naturalna.

e) Wykaż, że liczba $\log_3 \log_3 \sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}} - \log_{\sqrt{3}} (9\sqrt{3})$ jest całkowita.

Wskazówki:

Skorzystaj z tożsamości potęgowych oraz podstawowej własności logarytmicznej: $a^{\log_a b} = b$.
Użyj wzoru na zamianę podstaw logarytmu w postaci $\dfrac{1}{\log_b a} = \log_a b$ oraz reguły $\log_{a^k} b^m = \dfrac{m}{k}\log_a b$.
Pamiętaj o działaniach na logarytmach o jednakowych podstawach: sumę logarytmów zamieniaj na logarytm iloczynu, a różnicę na logarytm ilorazu.
Zagnieżdżone pierwiastki zapisuj za pomocą potęg o wykładniku ułamkowym: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczamy wartość wyrażenia $81^{\log_3 \sqrt{2} + 0{,}25}$:
Zauważamy, że liczbę $81$ możemy przedstawić jako potęgę trójki: $81 = 3^4$, a ułamek dziesiętny $0{,}25$ zapisać jako ułamek zwykły $\dfrac{1}{4}$: $$81^{\log_3 \sqrt{2} + 0{,}25} = \left(3^4\right)^{\log_3 \sqrt{2} + \frac{1}{4}}$$ Mnożymy wykładniki potęg: $$4 \cdot \left(\log_3 \sqrt{2} + \frac{1}{4}\right) = 4\log_3 \sqrt{2} + 1$$ Wciągamy współczynnik $4$ do wnętrza logarytmu jako wykładnik potęgi liczby $\sqrt{2}$: $$4\log_3 \sqrt{2} = \log_3 \left((\sqrt{2})^4\right) = \log_3 \left(2^2\right) = \log_3 4$$ Stosujemy regułę mnożenia potęg o jednakowych podstawach oraz tożsamość $3^{\log_3 4} = 4$: $$\begin{aligned} 3^{\log_3 4 + 1} &= 3^{\log_3 4} \cdot 3^1 \\[8pt] &= 4 \cdot 3 \\[8pt] &= 12 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obliczamy wartość wyrażenia $\left(\log_3 16 + \dfrac{1}{2\log_{16} 3}\right) \cdot \log_{64} 27$:
Stosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu $\dfrac{1}{\log_{16} 3} = \log_3 16$, co pozwala uprościć wyrażenie w nawiasie: $$\log_3 16 + \frac{1}{2}\log_3 16 = \frac{3}{2}\log_3 16$$ Ponieważ $16 = 2^4$, wyłączamy wykładnik $4$ przed logarytm: $$\frac{3}{2}\log_3 (2^4) = \frac{3}{2} \cdot 4\log_3 2 = 6\log_3 2$$ Upraszczamy drugi czynnik $\log_{64} 27$, sprowadzając podstawę i liczbę logarytmowaną do potęg liczb $2$ i $3$: $$\log_{64} 27 = \frac{\log_2 27}{\log_2 64} = \frac{\log_2 (3^3)}{6} = \frac{3\log_2 3}{6} = \frac{1}{2}\log_2 3$$ Mnożymy oba uzyskane czynniki, pamiętając, że $\log_3 2 \cdot \log_2 3 = 1$: $$\begin{aligned} \left(6\log_3 2\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\log_2 3\right) &= \left(6 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot (\log_3 2 \cdot \log_2 3) \\[8pt] &= 3 \cdot 1 \\[8pt] &= 3 \end{aligned}$$
Podpunkt c) Rozwiązujemy równanie $\log_3 27^x - (2x - 2) \cdot \log_5 0{,}2 = \log_2 72 - 2\log_2 3$:
Przekształcamy lewą stronę równania. Zauważamy, że $27 = 3^3$: $$\log_3 27^x = \log_3 \left((3^3)^x\right) = \log_3 \left(3^{3x}\right) = 3x$$ Liczbę $0{,}2$ zapisujemy jako $5^{-1}$: $$\log_5 0{,}2 = \log_5 (5^{-1}) = -1$$ Wstawiamy te wartości do lewej strony: $$\begin{aligned} L &= 3x - (2x - 2) \cdot (-1) \\[8pt] &= 3x + (2x - 2) \\[8pt] &= 5x - 2 \end{aligned}$$ Przekształcamy prawą stronę równania, wprowadzając liczbę $2$ pod logarytm: $2\log_2 3 = \log_2 (3^2) = \log_2 9$: $$\begin{aligned} P &= \log_2 72 - \log_2 9 \\[8pt] &= \log_2 \left(\frac{72}{9}\right) \\[8pt] &= \log_2 8 \\[8pt] &= 3 \end{aligned}$$ Przyrównujemy obie strony i obliczamy niewiadomą $x$: $$\begin{aligned} 5x - 2 &= 3 \\[8pt] 5x &= 5 \\[8pt] x &= 1 \end{aligned}$$
Podpunkt d) Wykazujemy, że liczba $\dfrac{1}{\log_3 12} + \dfrac{1}{\log_4 12}$ jest naturalna:
Stosujemy zależność $\dfrac{1}{\log_b a} = \log_a b$, zamieniając ułamki na logarytmy o wspólnej podstawie równej $12$: $$\frac{1}{\log_3 12} = \log_{12} 3 \quad \text{oraz} \quad \frac{1}{\log_4 12} = \log_{12} 4$$ Dodajemy otrzymane logarytmy, korzystając ze wzoru na sumę logarytmów o tej samej podstawie: $$\begin{aligned} \frac{1}{\log_3 12} + \frac{1}{\log_4 12} &= \log_{12} 3 + \log_{12} 4 \\[8pt] &= \log_{12} (3 \cdot 4) \\[8pt] &= \log_{12} 12 \\[8pt] &= 1 \end{aligned}$$ Otrzymana liczba $1$ należy do zbioru liczb naturalnych ($1 \in \mathbb{N}$), co kończy dowód.
Podpunkt e) Wykazujemy, że liczba $\log_3 \log_3 \sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}} - \log_{\sqrt{3}} (9\sqrt{3})$ jest całkowita:
Najpierw upraszczamy wyrażenie z zagnieżdżonymi pierwiastkami, zamieniając je na potęgi: $$\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}} = \left(\left(3^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{27}} = 3^{3^{-3}}$$ Obliczamy wewnętrzny logarytm: $$\log_3 \left(3^{3^{-3}}\right) = 3^{-3} = \frac{1}{27}$$ Obliczamy zewnętrzny logarytm: $$\log_3 \left(\frac{1}{27}\right) = \log_3 \left(3^{-3}\right) = -3$$ Następnie obliczamy drugi składnik wyrażenia. Zapisujemy podstawę oraz liczbę logarytmowaną w postaci potęg liczby $3$: $$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}, \quad 9\sqrt{3} = 3^2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{5}{2}}$$ Stosujemy własność $\log_{a^k} (a^m) = \dfrac{m}{k}$: $$\log_{3^{\frac{1}{2}}} \left(3^{\frac{5}{2}}\right) = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}} = 5$$ Odejmujemy uzyskane wartości obu składników: $$-3 - 5 = -8$$ Liczba $-8$ należy do zbioru liczb całkowitych ($-8 \in \mathbb{Z}$), co należało wykazać.

Odpowiedź:
a) $12$

b) $3$

c) $x = 1$

d) Dowód przeprowadzono w rozwiązaniu (wartość wyrażenia wynosi $1 \in \mathbb{N}$)

e) Dowód przeprowadzono w rozwiązaniu (wartość wyrażenia wynosi $-8 \in \mathbb{Z}$)

Zadanie 4

Wiadomo, że $\log_2 5 = k$. Wykaż, że wartość wyrażenia $\log_5 6\frac{1}{4}$ jest równa $\dfrac{2k - 2}{k}$.

Wskazówki:

Zamień liczbę mieszaną $6\frac{1}{4}$ na ułamek niewłaściwy.
Zauważ, że licznik i mianownik tego ułamka można zapisać jako potęgi liczb występujących w założeniu: $25 = 5^2$ oraz $4 = 2^2$.
Zadanie można rozwiązać dwoma metodami: zamieniając podstawę logarytmu na liczbę 2 lub rozbijając logarytm ilorazu na różnicę i korzystając z zależności $\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Zamiana podstawy logarytmu na liczbę 2:
Zapisujemy liczbę mieszaną w postaci ułamka niewłaściwego: $$6\frac{1}{4} = \dfrac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \dfrac{25}{4}$$ Stosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu $\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$, obierając za nową podstawę liczbę $2$: $$\log_5 6\frac{1}{4} = \log_5 \left(\dfrac{25}{4}\right) = \dfrac{\log_2 \left(\dfrac{25}{4}\right)}{\log_2 5}$$ Korzystamy z twierdzenia o logarytmie ilorazu $\log_a \left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$ w liczniku ułamka: $$\begin{aligned} \log_2 \left(\dfrac{25}{4}\right) &= \log_2 25 - \log_2 4 \\[8pt] &= \log_2 (5^2) - \log_2 (2^2) \\[8pt] &= 2\log_2 5 - 2 \end{aligned}$$ Podstawiamy do licznika i mianownika warunek z treści zadania $\log_2 5 = k$: $$\dfrac{\log_2 \left(\dfrac{25}{4}\right)}{\log_2 5} = \dfrac{2k - 2}{k}$$ Otrzymaliśmy żądaną postać, co kończy dowód.
Sposób II – Rozbicie na różnicę logarytmów i odwrotność podstawy:
Rozpisujemy wyjściowe wyrażenie bezpośrednio przy podstawie $5$, stosując twierdzenie o logarytmie ilorazu: $$\begin{aligned} \log_5 6\frac{1}{4} &= \log_5 \left(\dfrac{25}{4}\right) \\[8pt] &= \log_5 25 - \log_5 4 \\[8pt] &= \log_5 (5^2) - \log_5 (2^2) \\[8pt] &= 2 - 2\log_5 2 \end{aligned}$$ Wykorzystujemy własność zamiany podstaw logarytmu $\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}$: $$\log_5 2 = \dfrac{1}{\log_2 5} = \dfrac{1}{k}$$ Wstawiamy tę zależność do przekształcanego wyrażenia i sprowadzamy całość do wspólnego mianownika: $$\begin{aligned} 2 - 2\log_5 2 &= 2 - 2 \cdot \dfrac{1}{k} \\[8pt] &= 2 - \dfrac{2}{k} \\[8pt] &= \dfrac{2k}{k} - \dfrac{2}{k} \\[8pt] &= \dfrac{2k - 2}{k} \end{aligned}$$ Tożsamość została udowodniona.

Odpowiedź:
Wykazano, że $\log_5 6\frac{1}{4} = \dfrac{2k - 2}{k}$.

Zadanie 5

Wiadomo, że dla pewnych liczb rzeczywistych $p$ oraz $q$ spełnione są warunki $\log_5 15 = q$ oraz $\log_5 24 = p$. Uzasadnij, że wartość wyrażenia $\log_2 300$ można przedstawić w postaci ułamka $\dfrac{2p + q + 5}{p - q + 1}$.

Wskazówki:

Rozłóż liczby występujące pod logarytmami ($15$, $24$ oraz $300$) na czynniki pierwsze: $2$, $3$ oraz $5$.
Zastosuj twierdzenia o logarytmie iloczynu oraz logarytmie potęgi: $\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$ oraz $\log_a(x^k) = k\log_a x$.
Wyznacz wartości logarytmów z liczb pierwszych o podstawie $5$, czyli $\log_5 3$ oraz $\log_5 2$, w zależności od wielkości $p$ i $q$.
Skorzystaj ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu: $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$, sprowadzając wyrażenie $\log_2 300$ do wspólnej podstawy $5$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wyznaczenie logarytmów bazowych i zamiana podstawy:
Rozkładamy liczby podane w zadaniu na czynniki pierwsze: $$15 = 3 \cdot 5, \quad 24 = 2^3 \cdot 3, \quad 300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$$ Zaczynamy od przekształcenia równości $\log_5 15 = q$, korzystając z własności logarytmu iloczynu: $$\begin{aligned} \log_5 15 &= \log_5 (3 \cdot 5) \\[8pt] &= \log_5 3 + \log_5 5 \\[8pt] &= \log_5 3 + 1 = q \end{aligned}$$ Otrzymujemy bezpośrednią zależność na $\log_5 3$: $$\log_5 3 = q - 1$$ Następnie rozpisujemy drugą równość $\log_5 24 = p$: $$\begin{aligned} \log_5 24 &= \log_5 (2^3 \cdot 3) \\[8pt] &= \log_5 (2^3) + \log_5 3 \\[8pt] &= 3\log_5 2 + \log_5 3 = p \end{aligned}$$ Podstawiamy w miejsce $\log_5 3$ wyznaczoną wcześniej wartość $q - 1$: $$\begin{aligned} 3\log_5 2 + (q - 1) &= p \\[8pt] 3\log_5 2 &= p - q + 1 \\[8pt] \log_5 2 &= \dfrac{p - q + 1}{3} \end{aligned}$$ Przechodzimy do wyznaczenia wartości $\log_2 300$. Stosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu na podstawę $5$: $$\log_2 300 = \dfrac{\log_5 300}{\log_5 2}$$ Rozpisujemy licznik tego ułamka: $$\begin{aligned} \log_5 300 &= \log_5 (2^2 \cdot 3 \cdot 5^2) \\[8pt] &= \log_5 (2^2) + \log_5 3 + \log_5 (5^2) \\[8pt] &= 2\log_5 2 + \log_5 3 + 2 \end{aligned}$$ Wstawiamy wyznaczone wielkości $\log_5 2 = \dfrac{p - q + 1}{3}$ oraz $\log_5 3 = q - 1$: $$\begin{aligned} \log_5 300 &= 2 \cdot \dfrac{p - q + 1}{3} + (q - 1) + 2 \\[8pt] &= \dfrac{2p - 2q + 2}{3} + q + 1 \\[8pt] &= \dfrac{2p - 2q + 2 + 3(q + 1)}{3} \\[8pt] &= \dfrac{2p - 2q + 2 + 3q + 3}{3} \\[8pt] &= \dfrac{2p + q + 5}{3} \end{aligned}$$ Wstawiamy licznik oraz mianownik do wzoru na zamianę podstawy: $$\begin{aligned} \log_2 300 &= \dfrac{\dfrac{2p + q + 5}{3}}{\dfrac{p - q + 1}{3}} \\[8pt] &= \dfrac{2p + q + 5}{3} \cdot \dfrac{3}{p - q + 1} \\[8pt] &= \dfrac{2p + q + 5}{p - q + 1} \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy dokładnie postać podaną w tezie zadania.
Sposób II – Bezpośrednie podstawienie do prawej strony tezy ($P = L$):
Oznaczmy lewą stronę tezy jako $L = \log_2 300$, a prawą stronę jako: $$P = \dfrac{2p + q + 5}{p - q + 1}$$ Z treści zadania wiemy, że: $$\begin{aligned} p &= \log_5 24 = \log_5 (2^3 \cdot 3) = 3\log_5 2 + \log_5 3 \\[8pt] q &= \log_5 15 = \log_5 (3 \cdot 5) = \log_5 3 + 1 \end{aligned}$$ Podstawiamy wyrażenia za $p$ oraz $q$ do licznika prawej strony: $$\begin{aligned} 2p + q + 5 &= 2(3\log_5 2 + \log_5 3) + (\log_5 3 + 1) + 5 \\[8pt] &= 6\log_5 2 + 2\log_5 3 + \log_5 3 + 6 \\[8pt] &= 6\log_5 2 + 3\log_5 3 + 6 \\[8pt] &= 3(2\log_5 2 + \log_5 3 + 2) \\[8pt] &= 3(\log_5 (2^2) + \log_5 3 + \log_5 (5^2)) \\[8pt] &= 3\log_5 (4 \cdot 3 \cdot 25) \\[8pt] &= 3\log_5 300 \end{aligned}$$ Podstawiamy wyrażenia za $p$ oraz $q$ do mianownika prawej strony: $$\begin{aligned} p - q + 1 &= (3\log_5 2 + \log_5 3) - (\log_5 3 + 1) + 1 \\[8pt] &= 3\log_5 2 + \log_5 3 - \log_5 3 - 1 + 1 \\[8pt] &= 3\log_5 2 \end{aligned}$$ Zestawiamy przekształcony licznik i mianownik prawej strony $P$: $$\begin{aligned} P &= \dfrac{3\log_5 300}{3\log_5 2} \\[8pt] &= \dfrac{\log_5 300}{\log_5 2} \end{aligned}$$ Stosując wzór na zamianę podstawy logarytmu $\dfrac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b$ dla $c = 5$, $b = 300$ oraz $a = 2$, otrzymujemy: $$P = \log_2 300 = L$$ Równość $L = P$ jest prawdziwa, co kończy dowód.

Odpowiedź:
Tożsamość wykazano w oparciu o prawa działań na logarytmach oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

Grupa B

Zadanie 1

Oblicz wartości podanych wyrażeń, sprowadzając podstawy i liczby logarytmowane do potęg o jednakowych podstawach:

a) $\log_{\sqrt[3]{5}} 25\sqrt{5}$

b) $\log_{0,2} 125\sqrt[4]{5}$

c) $\log_{\frac{1}{2}} 8\sqrt[5]{2}$

d) $\log_{\sqrt{2}} 16\sqrt[3]{2}$

e) $\log_{\frac{1}{3}} 27\sqrt[4]{3}$

f) $\log_{\frac{\sqrt[3]{3}}{3}} 81\sqrt[3]{3}$

g) $\log_5 \dfrac{125\sqrt[3]{5}}{\sqrt[6]{25}}$

h) $\log_{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}} 27\sqrt[3]{9\sqrt{3}}$

Zadanie 2

Doprowadź do najprostszej postaci liczbowej i oblicz wartości poniższych wyrażeń:

a) $\log_5 375 - \log_5 3$

b) $\log_3 \dfrac{1}{18} + \log_3 \dfrac{2}{9}$

c) $2\log_{\frac{1}{5}} \sqrt{7} + \log_{\frac{1}{5}} 17\dfrac{6}{7}$

d) $(\log_3 12 - \log_3 108)^2$

e) $\log_{\frac{2}{5}} 4 - 2\log_{\frac{2}{5}} 5$

f) $2\log_{\frac{1}{9}} 27 - 3\log_{\sqrt{2}} 4$

Zadanie 3

a) Oblicz wartość wyrażenia $25^{\log_5 \sqrt{6} + 0{,}5}$.

b) Oblicz wartość wyrażenia $\left(\log_2 25 + \dfrac{1}{2\log_{25} 2}\right) \cdot \log_{125} 16$.

c) Wyznacz rozwiązanie równania $\log_2 8^x - (x + 1) \cdot \log_5 0{,}2 = \log_2 288 - 2\log_2 3$.

d) Wykaż, że wartość wyrażenia $\dfrac{1}{\log_2 10} + \dfrac{1}{\log_5 10}$ jest liczbą naturalną.

e) Wykaż, że liczba $\log_2 \log_2 \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}} - \log_{\sqrt{2}} (4\sqrt{2})$ jest całkowita.

Zadanie 4

Uzasadnij, że jeżeli liczba $p$ spełnia warunek $\log_3 5 = p$, to zachodzi równość $\log_5 2\frac{7}{9} = \dfrac{2p - 2}{p}$.

Zadanie 5

Przyjmijmy, że liczby rzeczywiste $m$ oraz $k$ spełniają zależności $\log_2 45 = k$ oraz $\log_2 10 = m$. Uzasadnij, że wartość wyrażenia $\log_3 600$ jest równa $\dfrac{3m + k + 3}{k - m + 1}$.

26.1 Logarytm – powtórzenie wiadomości

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋