a) Liczby nieparzyste Liczba jest nieparzysta, jeśli jej ostatnia cyfra jest nieparzysta. Mamy 5 cyfr nieparzystych: $\{1, 3, 5, 7, 9\}$. Na ostatnim miejscu (cyfra jedności) możemy postawić jedną z 5 cyfr. Na pierwszym miejscu (cyfra tysięcy) nie może stać 0 ani cyfra użyta na ostatnim miejscu. Mamy więc $10 - 1 - 1 = 8$ możliwości. Na drugim miejscu (cyfra setek) może stać dowolna z pozostałych $10 - 2 = 8$ cyfr. Na trzecim miejscu (cyfra dziesiątek) może stać dowolna z pozostałych $10 - 3 = 7$ cyfr. Liczba kombinacji:\[5 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 7 = 2240\]b) Liczby parzyste Całkowita liczba czterocyfrowych liczb o różnych cyfrach wynosi $9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536$. Liczba liczb parzystych to różnica między całkowitą liczbą a liczbą liczb nieparzystych:\[4536 - 2240 = 2296\]c) Liczby większe od 3000 Liczba musi zaczynać się od cyfry 3, 4, 5, 6, 7, 8 lub 9. Mamy 7 możliwości na pierwszą cyfrę. Pozostałe 3 cyfry wybieramy z 9 pozostałych cyfr. Liczba kombinacji:\[7 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 3528\]d) Liczby mniejsze od 5603 Rozbijamy na przypadki w zależności od pierwszej cyfry. 1. Pierwsza cyfra to 1, 2, 3 lub 4 (4 możliwości). Pozostałe 3 cyfry wybieramy z 9 pozostałych.\[4 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 2016\]2. Pierwsza cyfra to 5. Liczba ma postać $5BCD$. - Druga cyfra ($B$) jest mniejsza od 6. $B$ może być ze zbioru $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ (5 możliwości). Pozostałe dwie cyfry wybieramy z 8 pozostałych. \[1 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 7 = 280\] - Druga cyfra ($B$) to 6. Liczba ma postać $56CD$. Musi być mniejsza od $5603$. - Trzecia cyfra ($C$) musi być 0. - Czwarta cyfra ($D$) musi być mniejsza od 3. $D$ nie może być 0, 5, 6. Może być 1 lub 2. Mamy więc dwie takie liczby: $5601$, $5602$. Suma wszystkich przypadków:\[2016 + 280 + 2 = 2298\]