Funkcja wykładnicza i jej własności kartkówka LiczBit

25.2 Funkcja wykładnicza i jej własności

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Uszereguj od wartości najmniejszej do największej liczby $a, b, c, d$, wiedząc, że:
a) $a = (\sqrt{2})^{3\sqrt{2}}$, $b = (\sqrt{2})^{2+\sqrt{3}}$, $c = (\sqrt{2})^\pi$, $d = (\sqrt{2})^{-1+\sqrt{5}}$

b) $a = \left(\frac{1}{5}\right)^{-\sqrt{3}}$, $b = \left(\frac{1}{5}\right)^{0,(3)}$, $c = \left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{2}{5}}$, $d = \left(\frac{1}{5}\right)^0$

Wskazówki:

Gdy podstawy potęg są identyczne, porównanie ich wartości sprowadza się do zbadania relacji między wykładnikami oraz monotoniczności funkcji wykładniczej $f(t) = p^t$.
Dla podstawy większej od jedności ($p > 1$) funkcja wykładnicza jest ściśle rosnąca: większemu wykładnikowi odpowiada większa wartość potęgi ($t_1 < t_2 \iff p^{t_1} < p^{t_2}$).
Dla podstawy z przedziału jednostkowego ($0 < p < 1$) funkcja wykładnicza jest ściśle malejąca: zwrot nierówności ulega odwróceniu ($t_1 < t_2 \iff p^{t_1} > p^{t_2}$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Analiza wyjściowych wyrażeń i porównanie wykładników:
Badamy liczby o wspólnej podstawie: $$a = (\sqrt{2})^{3\sqrt{2}}, \quad b = (\sqrt{2})^{2+\sqrt{3}}, \quad c = (\sqrt{2})^\pi, \quad d = (\sqrt{2})^{-1+\sqrt{5}}$$ Podstawa wynosi $p = \sqrt{2} \approx 1{,}414 > 1$. Oznaczmy wykładniki poszczególnych potęg i oszacujmy ich przybliżone wartości: $$\begin{aligned} e_d &= -1 + \sqrt{5} \approx -1 + 2{,}236 = 1{,}236 \\[8pt] e_c &= \pi \approx 3{,}14 \\[8pt] e_b &= 2 + \sqrt{3} \approx 2 + 1{,}732 = 3{,}732 \\[8pt] e_a &= 3\sqrt{2} \approx 3 \cdot 1{,}414 = 4{,}243 \end{aligned}$$ Wykładniki ustawione rosnąco tworzą ciąg nierówności: $$-1+\sqrt{5} < \pi < 2+\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$$ czyli $e_d < e_c < e_b < e_a$.
Podpunkt a) Wnioskowanie z monotoniczności funkcji rosnącej i szkic wykresu:
Ponieważ podstawa potęgi $\sqrt{2} > 1$, funkcja wykładnicza $f(t) = (\sqrt{2})^t$ jest ściśle rosnąca na całym zbiorze liczb rzeczywistych. Oznacza to, że zachowuje uporządkowanie argumentów: $$(\sqrt{2})^{-1+\sqrt{5}} < (\sqrt{2})^\pi < (\sqrt{2})^{2+\sqrt{3}} < (\sqrt{2})^{3\sqrt{2}}$$ Zatem ostateczny porządek rosnący liczb to: $$d < c < b < a$$
Podpunkt b) Zestawienie i porównanie wykładników dla podstawy ułamkowej:
Rozważamy liczby: $$a = \left(\frac{1}{5}\right)^{-\sqrt{3}}, \quad b = \left(\frac{1}{5}\right)^{0,(3)}, \quad c = \left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{2}{5}}, \quad d = \left(\frac{1}{5}\right)^0$$ Podstawa potęg to $p = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$, czyli $p \in (0, 1)$. Zapisujemy wykładniki w ujednoliconej postaci: $$\begin{aligned} e_a &= -\sqrt{3} \approx -1{,}732 \\[8pt] e_d &= 0 \\[8pt] e_b &= 0,(3) = \frac{1}{3} = \frac{5}{15} \\[8pt] e_c &= \frac{2}{5} = \frac{6}{15} \end{aligned}$$ Porównujemy wykładniki rosnąco: $$-\sqrt{3} < 0 < \frac{1}{3} < \frac{2}{5}$$ czyli $e_a < e_d < e_b < e_c$.
Podpunkt b) Zastosowanie własności funkcji malejącej i graficzna relacja wartości:
Dla podstawy $p \in (0, 1)$ funkcja wykładnicza $g(t) = \left(\dfrac{1}{5}\right)^t$ jest ściśle malejąca. Większemu wykładnikowi odpowiada mniejsza wartość funkcji, dlatego zwroty nierówności odwracają się: $$\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{2}{5}} < \left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{3}} < \left(\frac{1}{5}\right)^0 < \left(\frac{1}{5}\right)^{-\sqrt{3}}$$ Przyporządkowując symbole z treści zadania, otrzymujemy rosnący porządek liczb: $$c < b < d < a$$

Odpowiedź:
a) $d < c < b < a$

b) $c < b < d < a$

Zadanie 2

Dla podanych funkcji wykładniczych wyznacz tabelę wartości, sporządź wykres w kartezjańskim układzie współrzędnych oraz omów ich podstawowe własności (dziedzinę, zbiór wartości, monotoniczność, miejsca zerowe, współrzędne punktu przecięcia z osią $OY$ oraz równanie asymptoty poziomej):

a) $f(x) = \left(\dfrac{5}{2}\right)^x$

b) $g(x) = 0{,}5^x$

Wskazówki:

Funkcja wykładnicza ma postać ogólną $y = a^x$, gdzie podstawa $a > 0$ oraz $a \neq 1$. Dziedziną każdej funkcji wykładniczej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$, a zbiorem wartości jest przedział liczb dodatnich $(0, +\infty)$.
Kształt i zachowanie wykresu zależą bezpośrednio od podstawy potęgi: dla $a > 1$ funkcja rośnie w całej dziedzinie, natomiast dla $0 < a < 1$ funkcja jest ściśle malejąca.
Niezależnie od podstawy zachodzi $a^0 = 1$, w związku z czym wykres zawsze przechodzi przez punkt $(0, 1)$ na osi rzędnych. Wykres nigdy nie przecina osi $OX$, a prosta $y = 0$ stanowi dla niego asymptotę poziomą.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Tabela wartości i szkicowanie wykresu funkcji $f(x) = \left(\dfrac{5}{2}\right)^x$:
Podstawa potęgi wynosi $a = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$. Ponieważ $a > 1$, wykres będzie krzywą rosnącą. Obliczamy wartości funkcji dla kilku reprezentatywnych argumentów całkowitych: $$\begin{aligned} f(-2) &= \left(\dfrac{5}{2}\right)^{-2} = \left(\dfrac{2}{5}\right)^2 = \dfrac{4}{25} = 0{,}16 \\[8pt] f(-1) &= \left(\dfrac{5}{2}\right)^{-1} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4 \\[8pt] f(0) &= \left(\dfrac{5}{2}\right)^0 = 1 \\[8pt] f(1) &= \left(\dfrac{5}{2}\right)^1 = \dfrac{5}{2} = 2{,}5 \\[8pt] f(2) &= \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 = \dfrac{25}{4} = 6{,}25 \end{aligned}$$ Zestawienie obliczonych wartości w tabeli: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 0{,}16 & 0{,}4 & 1 & 2{,}5 & 6{,}25 \\ \hline \end{array}$$ Naniesione punkty łączymy gładką linią krzywą, która dla ujemnych wartości $x$ zbliża się asymptotycznie do osi $OX$, a dla dodatnich gwałtownie pnie się w górę:
Podpunkt a) Własności funkcji $f(x) = \left(\dfrac{5}{2}\right)^x$:
Na podstawie wzoru analitycznego oraz sporządzonego wykresu wypisujemy cechy funkcji:
- Dziedzina: $D = \mathbb{R}$ (potęgowanie jest wykonalne dla każdego wykładnika rzeczywistego).
- Zbiór wartości: $ZW = (0, +\infty)$.
- Monotoniczność: funkcja jest ściśle rosnąca w całej dziedzinie, ponieważ $a = 2{,}5 > 1$.
- Miejsca zerowe: brak (dla każdego $x \in \mathbb{R}$ zachodzi $f(x) > 0$, więc wykres nie przecina osi $OX$).
- Punkt przecięcia z osią $OY$: $(0, 1)$, ponieważ $f(0) = \left(\dfrac{5}{2}\right)^0 = 1$.
- Asymptota pozioma: prosta o równaniu $y = 0$ (oś $OX$) jest lewostronną asymptotą wykresu ($\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$).
Podpunkt b) Tabela wartości i szkicowanie wykresu funkcji $g(x) = 0{,}5^x$:
Przedstawiamy funkcję za pomocą ułamka zwykłego: $g(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$. Ponieważ podstawa $a = 0{,}5$ należy do przedziału $(0, 1)$, funkcja jest malejąca. Wyznaczamy wartości dla wybranych argumentów: $$\begin{aligned} g(-2) &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4 \\[8pt] g(-1) &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1} = 2^1 = 2 \\[8pt] g(0) &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^0 = 1 \\[8pt] g(1) &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^1 = \dfrac{1}{2} = 0{,}5 \\[8pt] g(2) &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} = 0{,}25 \end{aligned}$$ Zestawienie w tabeli: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline g(x) & 4 & 2 & 1 & 0{,}5 & 0{,}25 \\ \hline \end{array}$$ Wykres funkcji po połączeniu punktów:
Podpunkt b) Własności funkcji $g(x) = 0{,}5^x$:
Wypisujemy własności odczytane z wykresu:
- Dziedzina: $D = \mathbb{R}$.
- Zbiór wartości: $ZW = (0, +\infty)$.
- Monotoniczność: funkcja jest ściśle malejąca w całej dziedzinie ($0 < 0{,}5 < 1$).
- Miejsca zerowe: brak.
- Punkt przecięcia z osią $OY$: $(0, 1)$, gdyż $g(0) = 0{,}5^0 = 1$.
- Asymptota pozioma: prosta $y = 0$ (oś $OX$) stanowi prawostronną asymptotę wykresu ($\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$).

Odpowiedź:
a) $f(x) = \left(\dfrac{5}{2}\right)^x$: $D = \mathbb{R}$, $ZW = (0, +\infty)$, funkcja rosnąca, brak miejsc zerowych, przecięcie z osią $OY$ w $(0, 1)$, asymptota pozioma $y = 0$.

b) $g(x) = 0{,}5^x$: $D = \mathbb{R}$, $ZW = (0, +\infty)$, funkcja malejąca, brak miejsc zerowych, przecięcie z osią $OY$ w $(0, 1)$, asymptota pozioma $y = 0$.

Zadanie 3

Wykres pewnej funkcji wykładniczej $g(x) = a^x$ przechodzi przez punkt $P = (-2, 9)$.

a) Wyznacz wzór funkcji $g$ i naszkicuj jej wykres w prostokątnym układzie współrzędnych.

b) Oblicz wartość funkcji $g$ dla argumentu równego $-1\frac{1}{2}$.

c) Wyznacz argument, dla którego funkcja $g$ przyjmuje wartość równą $27$.

d) Odczytaj ze sporządzonego wykresu zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja $g$ osiąga wartości większe od $3$.

Wskazówki:

Punkt $P(x_0, y_0)$ leży na wykresie funkcji $g(x) = a^x$ wtedy i tylko wtedy, gdy jego współrzędne spełniają równanie $a^{x_0} = y_0$, przy czym z definicji funkcji wykładniczej podstawa musi spełniać warunki $a > 0$ oraz $a \neq 1$.
Skorzystaj z praw działań na potęgach: ujemny wykładnik odwraca liczbę, czyli $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, natomiast wykładnik wymierny zamienia się na pierwiastek: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.
Dla podstawy $a \in (0, 1)$ funkcja wykładnicza jest ściśle malejąca – wartości funkcji maleją wraz ze wzrostem argumentów, a osią poziomej asymptoty wykresu jest prosta $y = 0$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie wzoru funkcji $g$ oraz sporządzenie jej wykresu:
Wychodzimy z ogólnej postaci funkcji wykładniczej $g(x) = a^x$, gdzie $a > 0$ oraz $a \neq 1$. Ponieważ punkt $P(-2, 9)$ należy do jej wykresu, wstawiamy współrzędne $x = -2$ i $y = 9$: $$a^{-2} = 9$$ Wartość podstawy $a$ wyznaczamy na dwa sposoby:

Sposób I – Zastosowanie definicji ujemnego wykładnika:
Zgodnie ze wzorem $a^{-2} = \dfrac{1}{a^2}$ zapisujemy równanie w postaci ułamkowej: $$\begin{aligned} \dfrac{1}{a^2} &= 9 \\[8pt] a^2 &= \dfrac{1}{9} \end{aligned}$$ Uwzględniając założenie o dodatniości podstawy potęgi ($a > 0$), pierwiastkujemy obustronnie: $$a = \dfrac{1}{3}$$
Sposób II – Sprowadzenie obu stron do jednakowego wykładnika:
Przedstawiamy liczbę $9$ jako potęgę o wykładniku równym $-2$: $$\begin{aligned} 9 &= 3^2 \\[8pt] &= \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2} \end{aligned}$$ Otrzymujemy równanie o równych wykładnikach: $$a^{-2} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}$$ Stąd bezpośrednio wynika, że: $$a = \dfrac{1}{3}$$ Ostateczny wzór funkcji przyjmuje postać: $$g(x) = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x$$ Do sporządzenia wykresu wyznaczamy współrzędne kilku punktów pomocniczych: $$\begin{aligned} g(-2) &= \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2} = 9 \\[8pt] g(-1) &= \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1} = 3 \\[8pt] g(0) &= \left(\dfrac{1}{3}\right)^0 = 1 \\[8pt] g(1) &= \left(\dfrac{1}{3}\right)^1 = \dfrac{1}{3} \end{aligned}$$ Punkty te nanosimy w kartezjańskim układzie współrzędnych i łączymy gładką linią:
Podpunkt b) Obliczenie wartości funkcji dla argumentu $x = -1\frac{1}{2}$:
Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: $$-1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$$ Wstawiamy otrzymany ułamek do wzoru funkcji $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$: $$\begin{aligned} g\left(-\frac{3}{2}\right) &= \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-\frac{3}{2}} \\[8pt] &= \left[\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}\right]^{\frac{3}{2}} \\[8pt] &= 3^{\frac{3}{2}} \\[8pt] &= \sqrt{3^3} \\[8pt] &= \sqrt{27} \\[8pt] &= 3\sqrt{3} \end{aligned}$$
Podpunkt c) Wyznaczenie argumentu dla wartości funkcji równej $27$:
Układamy równanie wykładnicze, przyrównując wzór funkcji do zadanej wartości: $$\left(\dfrac{1}{3}\right)^x = 27$$ Obie strony równania przekształcamy do potęgi o wspólnej podstawie równej $3$: $$\begin{aligned} \left(3^{-1}\right)^x &= 3^3 \\[8pt] 3^{-x} &= 3^3 \end{aligned}$$ Z różnowartościowości funkcji wykładniczej wynika równość wykładników: $$\begin{aligned} -x &= 3 \\[8pt] x &= -3 \end{aligned}$$
Podpunkt d) Odczytanie ze sporządzonego wykresu argumentów spełniających warunek $g(x) > 3$:
Rozwiązujemy problem dwoma uzupełniającymi się sposobami:

Sposób I – Metoda graficzna (odczyt z wykresu):
Kreślimy poziomą prostą $y = 3$. Prosta ta przecina wykres funkcji $g(x)$ dokładnie w punkcie $(-1, 3)$, co wynika z faktu, że $g(-1) = 3$. Nierówność $g(x) > 3$ oznacza, że interesują nas te punkty krzywej, które znajdują się ściśle powyżej poziomej prostej $y = 3$. Z uwagi na to, że funkcja $g$ jest malejąca, wykres wznosi się powyżej poziomu $y = 3$ dla wszystkich argumentów położonych na lewo od liczby $-1$: $$x < -1 \iff x \in (-\infty, -1)$$

Sposób II – Metoda algebraiczna (rozwiązanie nierówności wykładniczej):
Zapisujemy nierówność i sprowadzamy obie strony do wspólnej podstawy $\frac{1}{3}$: $$\begin{aligned} \left(\dfrac{1}{3}\right)^x &> 3 \\[8pt] \left(\dfrac{1}{3}\right)^x &> \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1} \end{aligned}$$ Ponieważ podstawa potęgi spełnia warunek $0 < \frac{1}{3} < 1$, funkcja wykładnicza jest malejąca, co wymaga zmiany zwrotu nierówności przy porównywaniu wykładników: $$\begin{aligned} x &< -1 \\[8pt] x &\in (-\infty, -1) \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$

b) $g\left(-1\frac{1}{2}\right) = 3\sqrt{3}$

c) $x = -3$

d) $x \in (-\infty, -1)$

Zadanie 4

Wykres funkcji wykładniczej $f(x) = a^x$ (gdzie $a > 0$ oraz $a \neq 1$) przechodzi przez punkt $A\left(\dfrac{1}{2}, 3\right)$.

a) Wyznacz wzór funkcji $f$ i sporządź jej wykres w kartezjańskim układzie współrzędnych.
b) Oblicz wartość funkcji $f$ dla argumentu równego $-1{,}5$.
c) Wyznacz argument, dla którego funkcja $f$ przyjmuje wartość $27$.
d) Wyznacz zbiór wszystkich rozwiązań nierówności $1 \leqslant f(x) < 81$.

Wskazówki:

Funkcja wykładnicza ma ogólną postać $f(x) = a^x$, gdzie podstawa $a > 0$ oraz $a \neq 1$. Przynależność punktu $A(x_A, y_A)$ oznacza, że $f(x_A) = y_A$.
Ujemny wykładnik potęgi zamienia liczbę na jej odwrotność: $a^{-k} = \dfrac{1}{a^k}$, a wykładnik ułamkowy wiąże się z pierwiastkiem: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.
Równania i nierówności wykładnicze rozwiązujemy poprzez sprowadzenie obu stron do jednakowej podstawy potęgi.
Dla podstawy $a > 1$ funkcja wykładnicza jest ściśle rosnąca, co oznacza, że zachowuje zwroty nierówności przy porównywaniu wykładników: $a^{u} < a^{w} \iff u < w$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie podstawy i wzoru funkcji $f(x)$:
Wychodzimy z ogólnej postaci funkcji wykładniczej $f(x) = a^x$. Skoro punkt $A\left(\dfrac{1}{2}, 3\right)$ leży na jej wykresie, jego współrzędne spełniają równanie funkcji: $$\begin{aligned} f\left(\frac{1}{2}\right) &= 3 \\[8pt] a^{\frac{1}{2}} &= 3 \end{aligned}$$ Przypominamy, że potęga o wykładniku $\frac{1}{2}$ to pierwiastek kwadratowy: $$\sqrt{a} = 3$$ Podnosząc obustronnie równanie do kwadratu, otrzymujemy: $$a = 3^2 = 9$$ Wzór szukanej funkcji ma postać: $$f(x) = 9^x$$
Sporządzenie tabeli wartości i wykresu funkcji (podpunkt a):
Podpunkt a wymaga naszkicowania wykresu funkcji $f(x) = 9^x$. Wyznaczamy współrzędne kilku punktów charakterystycznych: $$\begin{aligned} x = -1 &\implies f(-1) = 9^{-1} = \dfrac{1}{9} \approx 0{,}11 \\[8pt] x = 0 &\implies f(0) = 9^0 = 1 \\[8pt] x = 0{,}5 &\implies f(0{,}5) = 9^{\frac{1}{2}} = 3 \\[8pt] x = 1 &\implies f(1) = 9^1 = 9 \end{aligned}$$ Krzywa wykładnicza zbliża się asymptotycznie do ujemnej półosi $OX$ (asymptota pozioma $y = 0$), przecina oś $OY$ w punkcie $(0, 1)$ i gwałtownie rośnie w pierwszej ćwiartce.
Podpunkt b) Obliczamy wartość funkcji $f$ dla argumentu $-1{,}5$:
Wstawiamy $x = -1{,}5$ do wzoru funkcji. Zamieniamy ułamek dziesiętny na ułamek zwykły: $-1{,}5 = -\dfrac{3}{2}$: $$f(-1{,}5) = 9^{-1{,}5} = 9^{-\frac{3}{2}}$$ Przedstawiamy podstawę $9$ jako $3^2$, a następnie korzystamy z reguły potęgowania potęgi $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$\begin{aligned} f(-1{,}5) &= \left(3^2\right)^{-\frac{3}{2}} \\[8pt] &= 3^{2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)} \\[8pt] &= 3^{-3} \\[8pt] &= \dfrac{1}{3^3} \\[8pt] &= \dfrac{1}{27} \end{aligned}$$
Podpunkt c) Rozwiązujemy równanie $f(x) = 27$:
Poszukujemy argumentu $x$, dla którego wartość funkcji wynosi $27$: $$9^x = 27$$ Sposób I – Sprowadzenie obu stron do wspólnej podstawy $3$:
Zapisujemy liczby $9$ oraz $27$ w postaci potęg liczby $3$: $$\begin{aligned} \left(3^2\right)^x &= 3^3 \\[8pt] 3^{2x} &= 3^3 \end{aligned}$$ Z różnowartościowości funkcji wykładniczej przyrównujemy wykładniki: $$\begin{aligned} 2x &= 3 \\[8pt] x &= \dfrac{3}{2} = 1{,}5 \end{aligned}$$ Sposób II – Wykorzystanie definicji logarytmu i wzoru na zamianę podstawy:
Z definicji logarytmu równanie $9^x = 27$ daje bezpośrednio: $$\begin{aligned} x &= \log_9(27) \\[8pt] &= \dfrac{\log_3(27)}{\log_3(9)} \\[8pt] &= \dfrac{3}{2} = 1{,}5 \end{aligned}$$
Podpunkt d) Rozwiązujemy podwójną nierówność $1 \leqslant f(x) < 81$:
Wstawiamy wzór funkcji do nierówności: $$1 \leqslant 9^x < 81$$ Zapisujemy krańce nierówności w postaci potęg o podstawie $9$: $$\begin{aligned} 1 &= 9^0 \\[8pt] 81 &= 9^2 \end{aligned}$$ Otrzymujemy postać z jednakowymi podstawami: $$9^0 \leqslant 9^x < 9^2$$ Podstawa potęgi wynosi $a = 9$. Ponieważ $9 > 1$, funkcja wykładnicza $y = 9^x$ jest ściśle rosnąca. Porównujemy wykładniki bez zmiany zwrotu nierówności: $$0 \leqslant x < 2$$ Zbiorem rozwiązań jest przedział lewostronnie domknięty i prawostronnie otwarty: $$x \in \langle 0, 2)$$ Poniższa oś liczbowa ilustruje uzyskany zbiór rozwiązań:

Odpowiedź:
a) Wzór funkcji to $f(x) = 9^x$ (szkic wykresu przedstawiono w kroku 2).

b) $f(-1{,}5) = \dfrac{1}{27}$

c) Argument wynosi $x = 1{,}5$

d) Zbiorem rozwiązań nierówności jest $x \in \langle 0, 2)$

Zadanie 5

Wyznacz zbiory rozwiązań podanych nierówności, posługując się metodą graficzną i sporządzając szkice wykresów odpowiednich funkcji:

a) $(\sqrt{3})^x < 7 - 2x$

b) $2^x \geqslant -x^2 + 2x + 1$

c) $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x + \dfrac{3}{x} \leqslant 0$

Wskazówki:

Aby rozwiązać nierówność metodą graficzną, przedstawiamy obie jej strony jako odrębne funkcje: lewą stronę jako $f(x)$, a prawą stronę jako $g(x)$.
Wyznaczamy punkty przecięcia obu krzywych, a następnie, wykorzystując własności funkcji (kierunek monotoniczności, położenie wierzchołka paraboli, asymptoty), ustalamy przedziały, w których wykres funkcji po lewej stronie nierówności leży pod wykresem funkcji po prawej stronie (dla relacji $<$ lub $\leqslant$) albo nad nim (dla relacji $>$ lub $\geqslant$).
W przypadku obecności zmiennej w mianowniku bezwzględnie ustalamy na wstępie dziedzinę nierówności ($x \neq 0$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność $(\sqrt{3})^x < 7 - 2x$:
Wprowadzamy dwie funkcje określone dla każdego $x \in \mathbb{R}$: $$f(x) = (\sqrt{3})^x, \quad g(x) = 7 - 2x$$ Funkcja $f(x) = (\sqrt{3})^x$ jest funkcją wykładniczą o podstawie $\sqrt{3} \approx 1{,}732 > 1$, co oznacza, że jest ściśle rosnąca w całej dziedzinie.
Funkcja $g(x) = 7 - 2x$ jest funkcją liniową o ujemnym współczynniku kierunkowym $a = -2 < 0$, zatem jest ściśle malejąca.
Funkcja ściśle rosnąca i funkcja ściśle malejąca mogą przeciąć się w co najwyżej jednym punkcie. Sprawdzamy wartość dla $x = 2$: $$\begin{aligned} f(2) &= (\sqrt{3})^2 = 3 \\[8pt] g(2) &= 7 - 2 \cdot 2 = 7 - 4 = 3 \end{aligned}$$ Oba wykresy przecinają się dokładnie w punkcie $A = (2, 3)$.
Nierówność $f(x) < g(x)$ oznacza, że poszukujemy argumentów $x$, dla których wykres funkcji wykładniczej leży ściśle poniżej prostej.
Dla każdego $x < 2$ zachodzi relacja $f(x) < 3$ oraz $g(x) > 3$, a zatem warunek nierówności jest w pełni spełniony. Z kolei dla każdego $x > 2$ zachodzi relacja przeciwna: $f(x) > 3 > g(x)$.
Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział: $$x \in (-\infty, 2)$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy nierówność $2^x \geqslant -x^2 + 2x + 1$:
Rozpatrujemy funkcję wykładniczą $f(x) = 2^x$ oraz funkcję kwadratową $g(x) = -x^2 + 2x + 1$.
Dla paraboli $g(x)$ współczynnik przy najwyższej potędze wynosi $a = -1 < 0$, zatem jej ramiona są skierowane do dołu. Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli $W = (p, q)$: $$\begin{aligned} p &= -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{2 \cdot (-1)} = 1 \\[8pt] q &= g(1) = -(1)^2 + 2 \cdot 1 + 1 = 2 \end{aligned}$$ Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie $W = (1, 2)$, co oznacza, że największą wartością funkcji kwadratowej w całym zbiorze liczb rzeczywistych jest $2$.
Wyznaczamy punkty wspólne obu wykresów:
Dla $x = 0$: $$\begin{aligned} f(0) &= 2^0 = 1 \\[8pt] g(0) &= -0^2 + 2 \cdot 0 + 1 = 1 \end{aligned}$$ Dla $x = 1$: $$\begin{aligned} f(1) &= 2^1 = 2 \\[8pt] g(1) &= 2 \end{aligned}$$ Wykresy przecinają się dokładnie w punktach $(0, 1)$ oraz $(1, 2)$.
Analizujemy położenie wykresów w poszczególnych przedziałach:
• Dla $x \in (0, 1)$ wykres paraboli leży powyżej funkcji wykładniczej (np. dla $x = 0{,}5$ mamy $g(0{,}5) = 1{,}75$, podczas gdy $f(0{,}5) = \sqrt{2} \approx 1{,}414$).
• Dla $x > 1$ funkcja wykładnicza ściśle rośnie przyjmując wartości większe od $2$, natomiast wartości paraboli maleją poniżej wierzchołka ($g(x) < 2$), skąd $f(x) > g(x)$.
• Dla $x < 0$ funkcja wykładnicza przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie ($f(x) > 0$), podczas gdy parabola szybko spada poniżej zera (jej mniejsze miejsce zerowe to $1 - \sqrt{2} \approx -0{,}414$), stąd $f(x) > g(x)$.
Ponieważ nierówność jest nieostra ($\geqslant$), punkty przecięcia należą do zbioru rozwiązań: $$x \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$$
Podpunkt c) Rozwiązujemy nierówność $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x + \dfrac{3}{x} \leqslant 0$:
W pierwszej kolejności ustalamy dziedzinę nierówności ze względu na mianownik: $$x \neq 0 \implies D = (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$$ Przekształcamy nierówność do postaci dogodnej do interpretacji graficznej: $$\left(\dfrac{1}{3}\right)^x \leqslant -\dfrac{3}{x}$$ Definiujemy w dziedzinie $D$ dwie funkcje: $$f(x) = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x, \quad g(x) = -\dfrac{3}{x}$$ Rozważamy dwa przypadki wynikające ze znaku zmiennej $x$:
• Przypadek 1: $x \in (0, \infty)$.
Dla każdego $x > 0$ funkcja wykładnicza przyjmuje wartości ściśle dodatnie: $f(x) > 0$. Z kolei wyrażenie $g(x) = -\dfrac{3}{x}$ dla $x > 0$ przyjmuje wyłącznie wartości ujemne: $g(x) < 0$. Ponieważ liczba dodatnia nigdy nie jest mniejsza ani równa liczbie ujemnej, w przedziale $(0, \infty)$ nierówność nie ma rozwiązań.
• Przypadek 2: $x \in (-\infty, 0)$.
Dla każdego $x < 0$ obie funkcje przyjmują wartości ściśle dodatnie. Sprawdzamy wartość dla $x = -1$: $$\begin{aligned} f(-1) &= \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1} = 3 \\[8pt] g(-1) &= -\dfrac{3}{-1} = 3 \end{aligned}$$ Oba wykresy przecinają się w punkcie $P = (-1, 3)$.
W przedziale $(-\infty, 0)$ funkcja $f(x) = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x$ jest ściśle malejąca (podstawa $\frac{1}{3} \in (0, 1)$), natomiast funkcja homograficzna $g(x) = -\dfrac{3}{x}$ jest ściśle rosnąca.
Z uwagi na przeciwne monotoniczności, dla $x < -1$ zachodzi $f(x) > 3 > g(x)$, a dla $x \in [-1, 0)$ zachodzi relacja pożądana: $f(x) \leqslant 3 \leqslant g(x)$.
Uwzględniając warunek dziedziny ($x \neq 0$), ostatecznym zbiorem rozwiązań jest przedział: $$x \in [-1, 0)$$

Odpowiedź:
a) $x \in (-\infty, 2)$

b) $x \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$

c) $x \in [-1, 0)$

Grupa B

Zadanie 1

Ustaw w porządku rosnącym liczby $k, l, m, n$, jeżeli:
a) $k = (\sqrt{5})^\pi$, $l = (\sqrt{5})^{1+\sqrt{5}}$, $m = (\sqrt{5})^{2\sqrt{2}}$, $n = (\sqrt{5})^{-3+\sqrt{7}}$

b) $k = \left(\frac{1}{6}\right)^{-\sqrt{6}}$, $l = \left(\frac{1}{6}\right)^{0,(6)}$, $m = \left(\frac{1}{6}\right)^{\frac{3}{4}}$, $n = \left(\frac{1}{6}\right)^0$

Zadanie 2

Sporządź tabelę wartości i naszkicuj w układzie współrzędnych wykres podanej funkcji wykładniczej, a następnie wyznacz jej własności (dziedzinę, zbiór wartości, monotoniczność, ewentualne miejsca zerowe, współrzędne punktu przecięcia z osią $OY$ oraz równanie poziomej asymptoty):

a) $u(x) = \left(\dfrac{4}{3}\right)^x$

b) $w(x) = 0{,}25^x$

Zadanie 3

Wykres funkcji wykładniczej określonej wzorem $h(x) = a^x$ zawiera punkt $M = (-3, 8)$.

a) Podaj postać wzoru funkcji $h$ oraz przedstaw jej szkic na płaszczyźnie współrzędnych.

b) Oblicz wartość przyjmowaną przez funkcję $h$ dla argumentu równego $-2\frac{1}{2}$.

c) Znajdź argument $x$, dla którego zachodzi równość $h(x) = 16$.

d) Posługując się wykresem, wskaż przedział argumentów, dla których funkcja $h$ przyjmuje wartości większe od $4$.

Zadanie 4

Do wykresu funkcji wykładniczej $h$ określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem $h(x) = a^x$ należy punkt $P\left(\dfrac{1}{2}, 2\right)$.

a) Podaj wzór funkcji $h$ i naszkicuj jej wykres w kartezjańskim układzie współrzędnych.
b) Oblicz wartość funkcji $h$ dla argumentu równego $-1{,}5$.
c) Znajdź liczbę $x$, dla której spełniona jest równość $h(x) = 32$.
d) Wyznacz zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność $1 \leqslant h(x) < 16$.

Zadanie 5

Rozwiąż poniższe nierówności, wykorzystując interpretację graficzną oraz własności i wykresy odpowiednio dobranych funkcji:

a) $2^x < 6 - x$

b) $3^x \geqslant -x^2 + 3x + 1$

c) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x + \dfrac{8}{x} \leqslant 0$

25.2 Funkcja wykładnicza i jej własności

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋