Zadania optymalizacyjne kartkówka LiczBit

22.16 Zadania optymalizacyjne

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Z kwadratowego arkusza blachy o boku długości $60\text{ cm}$ wycięto w narożach cztery przystające kwadraty o boku długości $x$. Otrzymany profil odpowiednio zgięto, stykające się krawędzie zlutowano i w ten sposób otrzymano prostopadłościenną skrzynię (bez górnego wieka). Dla jakiej wartości $x$ pojemność otrzymanej skrzyni jest największa? Wyznacz tę pojemność z dokładnością do $0,1$ litra.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Wskazówki: 1. Określ wymiary prostopadłościanu: wysokość to $x$, a bok podstawy to $60 - 2x$. 2. Zapisz funkcję objętości $V(x) = x \cdot \left(60 - 2x\right)^2$. Dziedzina to $x \in \left(0, 30\right)$. 3. Oblicz pochodną $V'(x)$ i znajdź pierwiastki równania $V'(x) = 0$. 4. Upewnij się, że znaleziony $x$ odpowiada maksimum. 5. Oblicz maksymalną objętość w $\text{cm}^3$ i przelicz ją na litry $\left(1 \text{ L} = 1000 \text{ cm}^3\right)$. Rozwiązanie: 1. Określenie wymiarów skrzyni i dziedziny. Pierwotny arkusz blachy ma bok $L = 60\text{ cm}$. Wycięte kwadraty mają bok $x$. Wysokość skrzyni: $H = x$. Bok podstawy skrzyni: $A = 60 - 2x$. Dziedzina funkcji objętości $V(x)$: $x > 0$ i $60 - 2x > 0$, czyli $2x < 60$, a więc $x < 30$. Dziedzina to $x \in \left(0, 30\right)$. 2. Zapisanie wzoru na objętość $V(x)$.$$V(x) = \left(60 - 2x\right)^2 \cdot x$$Rozwijamy wzór:$$V(x) = \left(60^2 - 2 \cdot 60 \cdot 2x + \left(2x\right)^2\right) \cdot x$$$$V(x) = \left(3600 - 240x + 4x^2\right) \cdot x$$$$V(x) = 4x^3 - 240x^2 + 3600x$$3. Obliczenie pochodnej $V'(x)$.$$V'(x) = \left(4x^3 - 240x^2 + 3600x\right)'$$$$V'(x) = 4 \cdot 3x^2 - 240 \cdot 2x + 3600$$$$V'(x) = 12x^2 - 480x + 3600$$4. Znalezienie punktów krytycznych. Przyrównujemy pochodną do zera:$$12x^2 - 480x + 3600 = 0$$Dzielimy całe równanie przez $12$, aby je uprościć:$$x^2 - 40x + 300 = 0$$Obliczamy wyróżnik $\Delta$ dla $a=1$, $b=-40$, $c=300$.$$\Delta = \left(-40\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300 = 1600 - 1200 = 400$$$$\sqrt{\Delta} = 20$$Obliczamy pierwiastki:$$x_1 = \frac{-\left(-40\right) - 20}{2} = \frac{40 - 20}{2} = \frac{20}{2} = 10$$$$x_2 = \frac{-\left(-40\right) + 20}{2} = \frac{40 + 20}{2} = \frac{60}{2} = 30$$5. Analiza punktów krytycznych. Sprawdzamy, które pierwiastki należą do dziedziny $x \in \left(0, 30\right)$. $x_1 = 10$. Ten punkt należy do dziedziny. $x_2 = 30$. Ten punkt jest na granicy dziedziny (objętość $V(30)=0$). Ponieważ dla $x=10$ pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny (co wynika z kształtu paraboli $V'(x)$), funkcja $V(x)$ osiąga maksimum dla $x = 10\text{ cm}$. 6. Obliczenie maksymalnej objętości. Podstawiamy $x = 10$ do wzoru na objętość:$$V_{max} = 10 \cdot \left(60 - 2 \cdot 10\right)^2$$$$V_{max} = 10 \cdot \left(60 - 20\right)^2$$$$V_{max} = 10 \cdot \left(40\right)^2$$$$V_{max} = 10 \cdot 1600$$$$V_{max} = 16000 \text{ cm}^3$$7. Konwersja na litry i zaokrąglenie. Objętość w litrach to objętość w $\text{cm}^3$ podzielona przez $1000$:$$V_{max} = \frac{16000}{1000} \text{ L} = 16.0 \text{ L}$$Wynik z dokładnością do $0,1$ litra to $16.0 \text{ L}$.

Zadanie 2 (3 pkt)

Z kawałka drutu mającego długość $60\text{ cm}$ wykonano model prostopadłościanu o podstawie kwadratowej i największej objętości. Jakie są wymiary tego prostopadłościanu?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Wskazówki: 1. Oznacz długość krawędzi podstawy jako $a$ i wysokość jako $h$. Pamiętaj, że suma długości wszystkich $12$ krawędzi ($8$ krawędzi $a$ i $4$ krawędzie $h$) musi wynosić $60\text{ cm}$. 2. Wyraź wysokość $h$ w zależności od $a$ z równania $8a + 4h = 60$. 3. Zapisz funkcję objętości $V(a) = a^2 h$ i znajdź jej pochodną $V'(a)$. 4. Przyrównaj pochodną do zera, aby znaleźć wartość $a$, dla której objętość jest największa. Rozwiązanie: 1. Definiowanie zmiennych i ograniczenia (długość drutu). Oznaczmy długość krawędzi podstawy prostopadłościanu jako $a$ (w $\text{cm}$), a jego wysokość jako $h$ (w $\text{cm}$). Całkowita długość drutu $L$ to suma $8$ krawędzi podstawy i $4$ krawędzi wysokości: $L = 8a + 4h$. Z treści zadania: $8a + 4h = 60$. 2. Wyznaczenie wysokości $h$ w zależności od $a$. Przekształcamy równanie ograniczenia:$$8a + 4h = 60$$Odejmujemy $8a$ od obu stron:$$4h = 60 - 8a$$Dzielimy obie strony przez $4$:$$h = \frac{60 - 8a}{4}$$$$h = 15 - 2a$$3. Określenie dziedziny zmiennej $a$. Wymiary muszą być dodatnie: $a > 0$ i $h > 0$.$$15 - 2a > 0$$$$15 > 2a$$$$a < 7.5$$Dziedzina: $a \in \left( 0, 7.5 \right)$. 4. Zapisanie funkcji objętości $V(a)$. Wzór na objętość to $V = a^2 h$. Podstawiamy $h = 15 - 2a$:$$V(a) = a^2 \left( 15 - 2a \right)$$$$V(a) = 15a^2 - 2a^3$$5. Obliczenie pochodnej funkcji objętości $V'(a)$. Obliczamy pochodną $V(a)$:$$V'(a) = \left( 15a^2 - 2a^3 \right)'$$$$V'(a) = 30a - 6a^2$$6. Znalezienie miejsc zerowych pochodnej. Szukamy $a$, dla których $V'(a) = 0$.$$30a - 6a^2 = 0$$Wyciągamy $6a$ przed nawias:$$6a \left( 5 - a \right) = 0$$Rozwiązania to $a = 0$ (odrzucamy) lub $a = 5$. Wartość $a=5$ należy do dziedziny $\left( 0, 7.5 \right)$. 7. Badanie znaku pochodnej i określenie maksimum. Dla $a=5$ funkcja osiąga maksimum, ponieważ dla $a < 5$ pochodna $V'(a)$ jest dodatnia (funkcja rośnie), a dla $a > 5$ pochodna jest ujemna (funkcja maleje). 8. Obliczenie wymiarów prostopadłościanu. Krawędź podstawy: $a = 5\text{ cm}$. Wysokość $h$:$$h = 15 - 2a$$$$h = 15 - 2 \cdot 5$$$$h = 15 - 10$$$$h = 5\text{ cm}$$Wymiary prostopadłościanu to $5 \times 5 \times 5\text{ cm}$.

Zadanie 3 (3 pkt)

Suma długości trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka jest równa $45$ cm. Długość jednej z tych krawędzi jest dwa razy większa od drugiej. Jakie są długości krawędzi tego prostopadłościanu, który ma największą objętość?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Wydajność pracy pewnego pracownika w ciągu dnia pracy jest opisana funkcją $w(t) = -t^2 + 6t + 10$, gdzie $t$ oznacza czas w godzinach od rozpoczęcia pracy, a $t \in \left\langle 0, 5 \right\rangle$. O której godzinie wydajność pracownika jest największa, jeśli rozpoczyna on pracę o godz. $8^{00}$?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest równa $4$. Dzieli ona przeciwprostokątną na odcinki mające długość $x$ oraz $z - x$. Wyznacz $z$ jako funkcję $x$ i oblicz najmniejszą wartość tej funkcji.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Wskazówki: 1. Przypomnij sobie twierdzenie o wysokości w trójkącie prostokątnym. Mówi ono, że kwadrat wysokości ($h^2$) opuszczonej na przeciwprostokątną jest równy iloczynowi odcinków ($p \cdot q$), na jakie ta wysokość dzieli przeciwprostokątną. 2. Użyj tego twierdzenia, aby powiązać $h=4$, $x$ i $z-x$: $4^2 = x \cdot \left(z - x\right)$. 3. Przekształć otrzymane równanie, aby wyznaczyć $z$ jako funkcję zmiennej $x$. Otrzymasz funkcję wymierną $z\left(x\right)$. Pamiętaj, że $x$ musi być dodatnie ($x>0$). 4. Aby znaleźć najmniejszą wartość funkcji $z\left(x\right)$, możesz użyć pochodnej Rozwiązanie: 1. Zapisanie danych i zastosowanie twierdzenia o wysokości: Zgodnie z treścią zadania, mamy trójkąt prostokątny. Wysokość ($h$) poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest równa $4$. Ta wysokość dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki: $p=x$ oraz $q=z-x$. Cała przeciwprostokątna ma długość $c = p+q = x + \left(z-x\right) = z$. Twierdzenie o wysokości w trójkącie prostokątnym mówi, że kwadrat wysokości jest równy iloczynowi długości odcinków, na które ta wysokość dzieli przeciwprostokątną:$$h^2 = p \cdot q$$Podstawiamy dane: $h=4$, $p=x$, $q=z-x$.$$4^2 = x \cdot \left(z - x\right)$$$$16 = x \cdot \left(z - x\right)$$2. Przekształcenie równania w celu wyznaczenia $z$ jako funkcji $x$: Naszym celem jest wyznaczenie $z$ jako funkcji zmiennej $x$, czyli $z\left(x\right)$. Najpierw wymnażamy nawias po prawej stronie:$$16 = xz - x^2$$Teraz przenosimy wyraz z $x^2$ na lewą stronę równania. Pamiętamy, że przy przenoszeniu zmieniamy znak na przeciwny (z $-x^2$ na $+x^2$):$$16 + x^2 = xz$$3. Wyznaczenie funkcji $z(x)$: Aby wyznaczyć $z$, musimy podzielić obie strony przez $x$. Ponieważ $x$ jest długością odcinka, musi być $x > 0$, więc możemy bezpiecznie dzielić przez $x$:$$z = \frac{16 + x^2}{x}$$Rozdzielamy ułamek na dwa składniki, co jest często wygodniejsze do dalszych obliczeń:$$z\left(x\right) = \frac{16}{x} + \frac{x^2}{x} = \frac{16}{x} + x$$4. Obliczenie najmniejszej wartości funkcji $z(x)$ za pomocą pochodnej: Szukamy minimum funkcji $z\left(x\right) = x + 16x^{-1}$ dla $x > 0$. Obliczamy pochodną $z'\left(x\right)$. Pamiętamy, że pochodna $x$ to $1$, a pochodna $16x^{-1}$ to $16 \cdot \left(-1\right) x^{-2} = -16x^{-2}$.$$z'\left(x\right) = 1 - \frac{16}{x^2}$$5. Znalezienie punktów krytycznych: Przyrównujemy pochodną do zera, aby znaleźć potencjalne ekstrema:$$z'\left(x\right) = 0$$$$1 - \frac{16}{x^2} = 0$$Przenosimy ułamek na prawą stronę:$$1 = \frac{16}{x^2}$$Mnożymy obie strony przez $x^2$:$$x^2 = 16$$Ponieważ $x$ musi być dodatnie (jest długością), jedynym rozwiązaniem jest $x = 4$. 6. Sprawdzenie, czy jest to minimum: Analizujemy znak pochodnej $z'\left(x\right) = 1 - \frac{16}{x^2}$. Jeśli $x \in \left(0, 4\right)$, np. $x=2$, to $z'\left(2\right) = 1 - \frac{16}{4} = 1 - 4 = -3 < 0$. Funkcja maleje. Jeśli $x \in \left(4, \infty\right)$, np. $x=5$, to $z'\left(5\right) = 1 - \frac{16}{25} > 0$. Funkcja rośnie. Ponieważ funkcja najpierw maleje, a potem rośnie, w punkcie $x=4$ osiąga minimum globalne. 7. Obliczenie najmniejszej wartości $z$: Podstawiamy $x=4$ do wzoru funkcji $z\left(x\right)$:$$z_{min} = z\left(4\right) = 4 + \frac{16}{4}$$$$z_{min} = 4 + 4 = 8$$

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Z kwadratowego arkusza blachy o boku długości $120\text{ cm}$ wycięto w narożach cztery przystające kwadraty o boku długości $x$. Otrzymany profil odpowiednio zgięto, stykające się krawędzie zlutowano i w ten sposób otrzymano prostopadłościenną skrzynię (bez górnego wieka). Dla jakiej wartości $x$ pojemność otrzymanej skrzyni jest największa? Wyznacz tę pojemność z dokładnością do $0,1$ litra.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Z kawałka drutu mającego długość $120\text{ cm}$ wykonano model prostopadłościanu o podstawie kwadratowej i największej objętości. Jakie są wymiary tego prostopadłościanu?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Suma długości trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka jest równa $48$ cm. Długość jednej z tych krawędzi jest trzy razy większa od drugiej. Jakie są długości krawędzi tego prostopadłościanu, który ma największą objętość?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Poziom koncentracji ucznia podczas nauki zmienia się w czasie i po $t$ godzinach od jej rozpoczęcia jest opisany wzorem $k(t) = 10 + 3t^2 - t^3$, gdzie $t \in \left\langle 0, 3 \right\rangle$. O której godzinie koncentracja ucznia jest największa, jeśli rozpoczyna on naukę o godz. $14^{00}$?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest równa $5$. Dzieli ona przeciwprostokątną na odcinki mające długość $a$ oraz $b - a$. Wyznacz $b$ jako funkcję $a$ i oblicz najmniejszą wartość tej funkcji.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi