Wybrane własności ciągów zbieżnych kartkówka - LiczBit

18.11 Wybrane własności ciągów zbieżnych

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Oblicz granice, wiedząc, że istnieją: a) $$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{5}{2^n} + 2\right)$$ b) $$\lim_{n \to \infty} \left[\frac{1}{9^n} - \left(\frac{2}{7}\right)^n\right]$$ c) $$\lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 4^n - 3}{5 + 4^n}$$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Oblicz granice, wiedząc, że istnieją: a) $$\lim_{n \to \infty} \frac{3^{2n} + 10}{7 + 9^n}$$ b) $$\lim_{n \to \infty} \frac{64^n - 5 \cdot 10^n}{4^{3n+1}}$$ c) $$\lim_{n \to \infty} \frac{(2^{n+2} + 5^n)(2^{n+2} - 5^n)}{5^{2n+1} + 3^n}.$$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Obliczenie pierwszej granicy:\[ \lim_{n \to \infty} \frac{3^{2n} + 10}{7 + 9^n} \]Zauważmy, że $3^{2n} = (3^2)^n = 9^n$. Zatem:\[ \lim_{n \to \infty} \frac{9^n + 10}{7 + 9^n} \]Dzielimy licznik i mianownik przez $9^n$:\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{9^n}{9^n} + \frac{10}{9^n}}{\frac{7}{9^n} + \frac{9^n}{9^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{10}{9^n}}{\frac{7}{9^n} + 1} \]Ponieważ $\lim_{n \to \infty} \frac{c}{a^n} = 0$ dla $a > 1$:\[ = \frac{1 + 0}{0 + 1} = 1 \]b) Obliczenie drugiej granicy:\[ \lim_{n \to \infty} \frac{64^n - 5 \cdot 10^n}{4^{3n+1}} \]Przekształcamy mianownik: $4^{3n+1} = 4^{3n} \cdot 4^1 = (4^3)^n \cdot 4 = 64^n \cdot 4$. Zatem:\[ \lim_{n \to \infty} \frac{64^n - 5 \cdot 10^n}{4 \cdot 64^n} \]Dzielimy licznik i mianownik przez $64^n$:\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{64^n}{64^n} - 5 \cdot \frac{10^n}{64^n}}{4 \cdot \frac{64^n}{64^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - 5 \cdot \left(\frac{10}{64}\right)^n}{4} \]Ponieważ $\lim_{n \to \infty} q^n = 0$ dla $|q| < 1$:\[ = \frac{1 - 5 \cdot 0}{4} = \frac{1}{4} \]c) Obliczenie trzeciej granicy:\[ \lim_{n \to \infty} \frac{(2^{n+2} + 5^n)(2^{n+2} - 5^n)}{5^{2n+1} + 3^n} \]Upraszczamy licznik, korzystając ze wzoru $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$:\[ (2^{n+2} + 5^n)(2^{n+2} - 5^n) = (2^{n+2})^2 - (5^n)^2 \]\[ = (2^2 \cdot 2^n)^2 - 5^{2n} = (4 \cdot 2^n)^2 - 25^n \]\[ = 16 \cdot (2^n)^2 - 25^n = 16 \cdot 4^n - 25^n \]Upraszczamy mianownik:\[ 5^{2n+1} + 3^n = 5^{2n} \cdot 5^1 + 3^n = (5^2)^n \cdot 5 + 3^n \]\[ = 5 \cdot 25^n + 3^n \]Zatem granica przyjmuje postać:\[ \lim_{n \to \infty} \frac{16 \cdot 4^n - 25^n}{5 \cdot 25^n + 3^n} \]Dzielimy licznik i mianownik przez $25^n$:\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{16 \cdot 4^n}{25^n} - \frac{25^n}{25^n}}{\frac{5 \cdot 25^n}{25^n} + \frac{3^n}{25^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{16 \cdot \left(\frac{4}{25}\right)^n - 1}{5 + \left(\frac{3}{25}\right)^n} \]Ponieważ $\lim_{n \to \infty} q^n = 0$ dla $|q| < 1$:\[ = \frac{16 \cdot 0 - 1}{5 + 0} = -\frac{1}{5} \]

Zadanie 3 (3 pkt)

Oblicz granice, wiedząc, że istnieją: a) $$\lim_{n\to\infty} \frac{5+7+9+\dots+(2n+3)}{5n^2-2n+3}$$ b) $$\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^n}}{3}$$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Oblicz granice, wiedząc, że istnieją: a) $$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{6^n + 4^n}$$ b) $$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{3}{4}\right)^n + \left(\frac{1}{5}\right)^n + \left(\frac{5}{6}\right)^n}$$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Obliczenie granicy $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{6^n + 4^n}$: Zauważamy, że dla $n \in \mathbb{N}$ zachodzą nierówności:\[ 6^n < 6^n + 4^n < 6^n + 6^n = 2 \cdot 6^n \]Pierwiastkując stronami przez $n$-ty pierwiastek, otrzymujemy:\[ \sqrt[n]{6^n} < \sqrt[n]{6^n + 4^n} < \sqrt[n]{2 \cdot 6^n} \]\[ 6 < \sqrt[n]{6^n + 4^n} < 6 \cdot \sqrt[n]{2} \]Wiemy, że $\lim_{n \to \infty} 6 = 6$ oraz $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2} = 1$. Zatem:\[ \lim_{n \to \infty} 6 \cdot \sqrt[n]{2} = 6 \cdot 1 = 6 \]Na podstawie twierdzenia o trzech ciągach, jeśli dwa ciągi zbiegają do tej samej granicy, to ciąg pomiędzy nimi również zbiega do tej granicy. Stąd:\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{6^n + 4^n} = 6 \]b) Obliczenie granicy $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{3}{4}\right)^n + \left(\frac{1}{5}\right)^n + \left(\frac{5}{6}\right)^n}$: Największą podstawą potęgi jest $\frac{5}{6}$. Zatem dla $n \in \mathbb{N}$ zachodzą nierówności:\[ \left(\frac{5}{6}\right)^n < \left(\frac{3}{4}\right)^n + \left(\frac{1}{5}\right)^n + \left(\frac{5}{6}\right)^n < \left(\frac{5}{6}\right)^n + \left(\frac{5}{6}\right)^n + \left(\frac{5}{6}\right)^n = 3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^n \]Pierwiastkując stronami przez $n$-ty pierwiastek, otrzymujemy:\[ \sqrt[n]{\left(\frac{5}{6}\right)^n} < \sqrt[n]{\left(\frac{3}{4}\right)^n + \left(\frac{1}{5}\right)^n + \left(\frac{5}{6}\right)^n} < \sqrt[n]{3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^n} \]\[ \frac{5}{6} < \sqrt[n]{\left(\frac{3}{4}\right)^n + \left(\frac{1}{5}\right)^n + \left(\frac{5}{6}\right)^n} < \frac{5}{6} \cdot \sqrt[n]{3} \]Wiemy, że $\lim_{n \to \infty} \frac{5}{6} = \frac{5}{6}$ oraz $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3} = 1$.Zatem:\[ \lim_{n \to \infty} \frac{5}{6} \cdot \sqrt[n]{3} = \frac{5}{6} \cdot 1 = \frac{5}{6} \]Na podstawie twierdzenia o trzech ciągach, jeśli dwa ciągi zbiegają do tej samej granicy, to ciąg pomiędzy nimi również zbiega do tej granicy. Stąd:\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{3}{4}\right)^n + \left(\frac{1}{5}\right)^n + \left(\frac{5}{6}\right)^n} = \frac{5}{6} \]

Zadanie 5 (2 pkt)

Oblicz granice, wiedząc, że istnieją: a) $$\lim_{n \to \infty} \frac{\cos(n+5)}{2n-7}$$ b) $$\lim_{n \to \infty} \frac{n \cdot \sin(3n^2)}{5n^2 + 6}$$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Oblicz granice, wiedząc, że istnieją: a) $$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{7}{4^n} + 3\right)$$ b) $$\lim_{n \to \infty} \left[\frac{1}{6^n} - \left(\frac{4}{9}\right)^n\right]$$ c) $$\lim_{n \to \infty} \frac{5 \cdot 2^n - 4}{2 + 2^n}$$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Oblicz granice, wiedząc, że istnieją: a) $$\lim_{n \to \infty} \frac{5^{2n} + 12}{3 + 25^n}$$ b) $$\lim_{n \to \infty} \frac{125^n - 2 \cdot 9^n}{5^{3n+1}}$$ c) $$\lim_{n \to \infty} \frac{(3^{n+1} + 4^n)(3^{n+1} - 4^n)}{4^{2n+2} + 2^n}.$$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Oblicz granice, wiedząc, że istnieją: a) $$\lim_{n\to\infty} \frac{2+4+6+\dots+2n}{4n^2+n-2}$$ b) $$\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\dots+\frac{1}{4^n}}{5}$$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Oblicz granice, wiedząc, że istnieją: a) $$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{7^n + 2^n}$$ b) $$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{1}{2}\right)^n + \left(\frac{2}{5}\right)^n + \left(\frac{3}{4}\right)^n}$$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (2 pkt)

Oblicz granice, wiedząc, że istnieją: a) $$\lim_{n \to \infty} \frac{\cos(n+10)}{4n-2}$$ b) $$\lim_{n \to \infty} \frac{n \cdot \sin(5n^2)}{7n^2 + 1}$$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi