Oznaczmy współrzędne szukanych punktów jako $A = (x_A, y_A)$ oraz $B = (x_B, y_B)$. Warunek, że środek odcinka $AB$ jest punktem $(0, 0)$ oznacza, że:\[\frac{x_A+x_B}{2} = 0 \implies x_B = -x_A\]\[\frac{y_A+y_B}{2} = 0 \implies y_B = -y_A\]Punkt $A$ należy do prostej $k$, więc jego współrzędne spełniają równanie prostej:\[x_A + 2y_A = 4\]Punkt $B$ należy do okręgu $o$, więc jego współrzędne spełniają równanie okręgu:\[(x_B - 1)^2 + (y_B - 3)^2 = 25\]Podstawiamy zależności $x_B = -x_A$ i $y_B = -y_A$ do równania okręgu:\[(-x_A - 1)^2 + (-y_A - 3)^2 = 25\]\[(x_A + 1)^2 + (y_A + 3)^2 = 25\]Otrzymujemy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi $x_A$ i $y_A$:\[\begin{cases} x_A + 2y_A = 4 \\ (x_A + 1)^2 + (y_A + 3)^2 = 25 \end{cases}\]Z pierwszego równania wyznaczamy $x_A$:\[x_A = 4 - 2y_A\]Podstawiamy to wyrażenie do drugiego równania:\[((4 - 2y_A) + 1)^2 + (y_A + 3)^2 = 25\]\[(5 - 2y_A)^2 + (y_A + 3)^2 = 25\]Rozwijamy kwadraty i porządkujemy równanie:\[(25 - 20y_A + 4y_A^2) + (y_A^2 + 6y_A + 9) = 25\]\[5y_A^2 - 14y_A + 34 = 25\]\[5y_A^2 - 14y_A + 9 = 0\]Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe. Obliczamy wyróżnik:\[\Delta = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9 = 196 - 180 = 16\]\[\sqrt{\Delta} = 4\]Obliczamy pierwiastki:\[y_{A1} = \frac{14 - 4}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1\]\[y_{A2} = \frac{14 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}\]Dla każdego znalezionego $y_A$ obliczamy odpowiadający mu $x_A$ z zależności $x_A = 4 - 2y_A$: Dla $y_{A1} = 1$:\[x_{A1} = 4 - 2(1) = 2\]Otrzymujemy punkt $A_1 = (2, 1)$. Dla $y_{A2} = \frac{9}{5}$:\[x_{A2} = 4 - 2\left(\frac{9}{5}\right) = \frac{20}{5} - \frac{18}{5} = \frac{2}{5}\]Otrzymujemy punkt $A_2 = \left(\frac{2}{5}, \frac{9}{5}\right)$. Na koniec wyznaczamy współrzędne punktów $B$ z zależności $B = (-x_A, -y_A)$: Dla $A_1 = (2, 1)$, mamy $B_1 = (-2, -1)$. Dla $A_2 = \left(\frac{2}{5}, \frac{9}{5}\right)$, mamy $B_2 = \left(-\frac{2}{5}, -\frac{9}{5}\right)$.