Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej kartkówka

16.1 Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Określ stopień jednomianu $P(x)$, jeśli:

a) $P(x) = -3(x^4)^2$

b) $P(x) = x^6 \cdot (x^3)^3$

c) $P(x) = 7(x^2 \cdot x^4)^3 \cdot (x^5)^2$

Wskazówki:

Stopniem niezerowego jednomianu jednej zmiennej $a x^n$ (gdzie $a \neq 0$) nazywamy wykładnik potęgi zmiennej $x$, czyli liczbę $n$.
Aby wyznaczyć stopień jednomianu, należy go najpierw uporządkować (zapisać w postaci iloczynu liczby i zmiennej podniesionej do jednej potęgi) za pomocą praw działań na potęgach:
- potęgowanie potęgi: $(x^n)^m = x^{n \cdot m}$,
- mnożenie potęg o tych samych podstawach: $x^n \cdot x^m = x^{n + m}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Uporządkowanie jednomianu $P(x) = -3(x^4)^2$ i wyznaczenie jego stopnia:
W pierwszej kolejności wykonujemy potęgowanie potęgi zmiennej $x$, mnożąc wykładniki: $$ (x^4)^2 = x^{4 \cdot 2} = x^8 $$ Zapisujemy jednomian w postaci uporządkowanej: $$ P(x) = -3x^8 $$ Współczynnik liczbowy jednomianu to $-3$, a wykładnik potęgi zmiennej $x$ wynosi $8$. Zatem stopień jednomianu $P(x)$ jest równy $8$.
Podpunkt b) Uporządkowanie jednomianu $P(x) = x^6 \cdot (x^3)^3$ i wyznaczenie jego stopnia:
Najpierw podnosimy potęgę do potęgi dla drugiego czynnika: $$ (x^3)^3 = x^{3 \cdot 3} = x^9 $$ Następnie wykonujemy mnożenie potęg o jednakowych podstawach, dodając ich wykładniki: $$ \begin{aligned} P(x) &= x^6 \cdot x^9 \\[8pt] &= x^{6 + 9} \\[8pt] &= x^{15} \end{aligned} $$ Wykładnik potęgi zmiennej $x$ w uporządkowanym jednomianie wynosi $15$. Oznacza to, że stopień jednomianu $P(x)$ jest równy $15$.
Podpunkt c) Uporządkowanie jednomianu $P(x) = 7(x^2 \cdot x^4)^3 \cdot (x^5)^2$ i wyznaczenie jego stopnia:
Najpierw upraszczamy wyrażenie wewnątrz pierwszego nawiasu, dodając wykładniki potęg: $$ x^2 \cdot x^4 = x^{2 + 4} = x^6 $$ Podnosimy otrzymany wynik do potęgi trzeciej oraz potęgujemy ostatni czynnik: $$ (x^6)^3 = x^{6 \cdot 3} = x^{18} $$ $$ (x^5)^2 = x^{5 \cdot 2} = x^{10} $$ Wstawiamy przekształcone czynniki do wzoru jednomianu i mnożymy potęgi o tej samej podstawie: $$ \begin{aligned} P(x) &= 7 \cdot x^{18} \cdot x^{10} \\[8pt] &= 7 \cdot x^{18 + 10} \\[8pt] &= 7x^{28} \end{aligned} $$ Wykładnik potęgi zmiennej $x$ wynosi $28$, zatem stopień jednomianu $P(x)$ jest równy $28$.

Odpowiedź:
a) stopień $8$

b) stopień $15$

c) stopień $28$

Zadanie 2 (4 pkt)

Oblicz wartość wielomianu $W(x) = x^4 + 2x^3 - 4x + 3$ dla liczb: $-2, 0, \sqrt{3}$.

Wskazówki:

Aby obliczyć wartość wielomianu dla danej liczby, wstaw tę liczbę w miejsce każdej zmiennej $x$ we wzorze $W(x)$.
Pamiętaj o zasadach potęgowania liczb ujemnych: liczba ujemna podniesiona do potęgi parzystej daje wynik dodatni, np. $(-2)^4 = 16$, a do potęgi nieparzystej wynik ujemny, np. $(-2)^3 = -8$.
Przy obliczaniu potęg pierwiastka kwadratowego skorzystaj z zależności: $(\sqrt{3})^4 = \left((\sqrt{3})^2\right)^2 = 3^2 = 9$ oraz $(\sqrt{3})^3 = (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Obliczenie wartości wielomianu dla argumentu $x = -2$:
Wstawiamy $x = -2$ do wzoru wielomianu $W(x) = x^4 + 2x^3 - 4x + 3$: $$ \begin{aligned} W(-2) &= (-2)^4 + 2 \cdot (-2)^3 - 4 \cdot (-2) + 3 \\[8pt] &= 16 + 2 \cdot (-8) - (-8) + 3 \\[8pt] &= 16 - 16 + 8 + 3 \\[8pt] &= 11 \end{aligned} $$
Obliczenie wartości wielomianu dla argumentu $x = 0$:
Wstawiamy $x = 0$ do wzoru wielomianu $W(x) = x^4 + 2x^3 - 4x + 3$: $$ \begin{aligned} W(0) &= 0^4 + 2 \cdot 0^3 - 4 \cdot 0 + 3 \\[8pt] &= 0 + 0 - 0 + 3 \\[8pt] &= 3 \end{aligned} $$
Obliczenie wartości wielomianu dla argumentu $x = \sqrt{3}$:
Wstawiamy $x = \sqrt{3}$ do wzoru wielomianu: $$ W(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^4 + 2 \cdot (\sqrt{3})^3 - 4 \cdot \sqrt{3} + 3 $$ Wyznaczamy poszczególne potęgi pierwiastka: $$ (\sqrt{3})^4 = \left((\sqrt{3})^2\right)^2 = 3^2 = 9 $$ $$ (\sqrt{3})^3 = (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} $$ Podstawiamy otrzymane potęgi i redukujemy wyrazy podobne: $$ \begin{aligned} W(\sqrt{3}) &= 9 + 2 \cdot 3\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 3 \\[8pt] &= 9 + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 3 \\[8pt] &= (9 + 3) + (6\sqrt{3} - 4\sqrt{3}) \\[8pt] &= 12 + 2\sqrt{3} \end{aligned} $$

Odpowiedź:
$W(-2) = 11$

$W(0) = 3$

$W(\sqrt{3}) = 12 + 2\sqrt{3}$

Zadanie 3 (3 pkt)

Wyznacz współczynnik $a$ wielomianu $W(x) = -x^4 + 2x^3 + ax^2 + 3$, jeśli $W(-1) = 8$.

Zadanie 4 (3 pkt)

Jeden ze współczynników wielomianu $W(x) = ax^5 + bx^3 + cx^2$ wyznaczony jest przez warunek $W(1) + W(-1) = 18$. Podaj wartość tego współczynnika.

Wskazówki:

Oblicz wartości wielomianu dla argumentów $x = 1$ oraz $x = -1$, wstawiając je do wzoru $W(x)$.
Zwróć uwagę na parzystość wykładników potęg: $(-1)^5 = -1$, $(-1)^3 = -1$ oraz $(-1)^2 = 1$. Wyrazy o wykładnikach nieparzystych zmienią znak na przeciwny.
Dodaj otrzymane wyrażenia stronami zgodnie z warunkiem $W(1) + W(-1) = 18$. Zredukowanie współczynników przy nieparzystych potęgach pozwoli jednoznacznie wyliczyć pozostały współczynnik.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie wartości wielomianu dla argumentów $x = 1$ oraz $x = -1$:
Podstawiamy $x = 1$ do wzoru wielomianu $W(x) = ax^5 + bx^3 + cx^2$: $$ \begin{aligned} W(1) &= a \cdot 1^5 + b \cdot 1^3 + c \cdot 1^2 \\[8pt] &= a \cdot 1 + b \cdot 1 + c \cdot 1 \\[8pt] &= a + b + c \end{aligned} $$ Następnie obliczamy wartość dla $x = -1$, pamiętając o znakach potęg liczb ujemnych: $$ \begin{aligned} W(-1) &= a \cdot (-1)^5 + b \cdot (-1)^3 + c \cdot (-1)^2 \\[8pt] &= a \cdot (-1) + b \cdot (-1) + c \cdot 1 \\[8pt] &= -a - b + c \end{aligned} $$
Zastosowanie warunku $W(1) + W(-1) = 18$ i wyznaczenie współczynnika:
Wstawiamy otrzymane wyrażenia do równania podanego w poleceniu: $$ W(1) + W(-1) = 18 $$ $$ (a + b + c) + (-a - b + c) = 18 $$ Redukujemy wyrazy podobne. Współczynniki stojące przy nieparzystych potęgach zmiennej $x$ (czyli $a$ oraz $b$) znoszą się wzajemnie: $$ \begin{aligned} a - a + b - b + c + c &= 18 \\[8pt] 2c &= 18 \\[8pt] c &= \dfrac{18}{2} = 9 \end{aligned} $$ Jedynym współczynnikiem, którego wartość można w ten sposób jednoznacznie określić (niezależnie od wartości $a$ i $b$), jest współczynnik przy $x^2$, czyli $c = 9$.

Odpowiedź:
Tym współczynnikiem jest $c = 9$ (współczynnik przy wyrazie $x^2$).

Zadanie 5 (5 pkt)

Wyznacz $a$ i $b$, jeśli:

a) $W(x) = 2x^3 + ax^2 - 5x + b$ oraz $W(1) = -1$ i $W(-2) = 11$,

b) $W(x) = a(a + 2)x^4 + bx^3$, $W(-1) = 3$ oraz suma współczynników wielomianu $W(x)$ jest równa $15$.

Wskazówki:

Aby obliczyć wartość wielomianu dla podanego argumentu $x_0$, podstaw liczbę $x_0$ w miejsce każdej zmiennej $x$ we wzorze wielomianu.
Suma współczynników dowolnego wielomianu $W(x)$ jest zawsze równa wartości tego wielomianu dla argumentu $x = 1$, czyli $W(1)$.
Podane warunki pozwalają ułożyć układy równań z niewiadomymi $a$ i $b$. W podpunkcie b) w pierwszej kolejności wygodnie jest potraktować wyrażenie $a(a+2)$ jako jedną całość, a dopiero na końcu rozwiązać równanie kwadratowe.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie parametrów $a$ i $b$ dla wielomianu $W(x) = 2x^3 + ax^2 - 5x + b$:
W pierwszej kolejności obliczamy wartość wielomianu dla argumentu $x = 1$: $$ \begin{aligned} W(1) &= 2 \cdot 1^3 + a \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 + b \\[8pt] &= 2 \cdot 1 + a \cdot 1 - 5 + b \\[8pt] &= a + b - 3 \end{aligned} $$ Z treści zadania wiemy, że $W(1) = -1$, co daje równanie: $$ \begin{aligned} a + b - 3 &= -1 \\[8pt] a + b &= 2 \end{aligned} $$ Następnie obliczamy wartość wielomianu dla argumentu $x = -2$: $$ \begin{aligned} W(-2) &= 2 \cdot (-2)^3 + a \cdot (-2)^2 - 5 \cdot (-2) + b \\[8pt] &= 2 \cdot (-8) + a \cdot 4 + 10 + b \\[8pt] &= -16 + 4a + 10 + b \\[8pt] &= 4a + b - 6 \end{aligned} $$ Ponieważ $W(-2) = 11$, otrzymujemy drugie równanie: $$ \begin{aligned} 4a + b - 6 &= 11 \\[8pt] 4a + b &= 17 \end{aligned} $$ Tworzymy układ równań liniowych: $$ \begin{cases} a + b = 2 \\ 4a + b = 17 \end{cases} $$ Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego stronami: $$ \begin{aligned} (4a + b) - (a + b) &= 17 - 2 \\[8pt] 3a &= 15 \\[8pt] a &= 5 \end{aligned} $$ Podstawiamy obliczoną wartość $a = 5$ do pierwszego równania, aby wyznaczyć $b$: $$ \begin{aligned} 5 + b &= 2 \\[8pt] b &= 2 - 5 = -3 \end{aligned} $$
Podpunkt b) Wyznaczenie parametrów $a$ i $b$ dla wielomianu $W(x) = a(a + 2)x^4 + bx^3$:
Suma współczynników wielomianu odpowiada wartości $W(1)$: $$ \begin{aligned} W(1) &= a(a + 2) \cdot 1^4 + b \cdot 1^3 \\[8pt] &= a(a + 2) + b \end{aligned} $$ Z treści zadania suma współczynników wynosi $15$, stąd: $$ a(a + 2) + b = 15 $$ Wyznaczamy teraz wartość wielomianu dla argumentu $x = -1$: $$ \begin{aligned} W(-1) &= a(a + 2) \cdot (-1)^4 + b \cdot (-1)^3 \\[8pt] &= a(a + 2) \cdot 1 + b \cdot (-1) \\[8pt] &= a(a + 2) - b \end{aligned} $$ Wiedząc, że $W(-1) = 3$, otrzymujemy drugie równanie: $$ a(a + 2) - b = 3 $$ Tworzymy układ równań: $$ \begin{cases} a(a + 2) + b = 15 \\ a(a + 2) - b = 3 \end{cases} $$ Dodajemy oba równania stronami: $$ \begin{aligned} 2a(a + 2) &= 18 \\[8pt] a(a + 2) &= 9 \end{aligned} $$ Odejmując drugie równanie od pierwszego stronami, obliczamy wartość parametru $b$: $$ \begin{aligned} 2b &= 12 \\[8pt] b &= 6 \end{aligned} $$ Aby wyznaczyć wartość $a$, rozwiązujemy równanie kwadratowe powstałe z warunku $a(a + 2) = 9$: $$ \begin{aligned} a^2 + 2a &= 9 \\[8pt] a^2 + 2a - 9 &= 0 \end{aligned} $$ Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego ($\Delta$): $$ \begin{aligned} \Delta &= 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) \\[8pt] &= 4 + 36 = 40 \end{aligned} $$ $$ \sqrt{\Delta} = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10} $$ Wyznaczamy możliwe wartości parametru $a$: $$ \begin{aligned} a_1 &= \dfrac{-2 - 2\sqrt{10}}{2} = -1 - \sqrt{10} \\[8pt] a_2 &= \dfrac{-2 + 2\sqrt{10}}{2} = -1 + \sqrt{10} \end{aligned} $$ Otrzymujemy dwie możliwe pary parametrów spełniające warunki zadania: $$ \begin{cases} a = -1 - \sqrt{10} \\ b = 6 \end{cases} \quad \text{lub} \quad \begin{cases} a = -1 + \sqrt{10} \\ b = 6 \end{cases} $$

Odpowiedź:
a) $a = 5$, $b = -3$

b) $\begin{cases} a = -1 - \sqrt{10} \\ b = 6 \end{cases}$ lub $\begin{cases} a = -1 + \sqrt{10} \\ b = 6 \end{cases}$

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Określ stopień jednomianu $P(x)$, jeśli: a) $P(x)=-5(x^3)^4$ b) $P(x)=x^7 \cdot (x^2)^4$ c) $P(x)=11(x^4 \cdot x^2)^3 \cdot (x^3)^5$