Ułamki algebraiczne. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne
Sprawdzian
Grupa A
Zadanie 1 (4 pkt)
Rozwiąż podane równania i nierówności.
a) $x + 1 = \frac{4}{x} + \frac{1}{x-1}$
b) $\frac{x+1}{x^3-x^2} \leq \frac{x-1}{x^3+2x^2}$
Zadanie 2 (3 pkt)
Rozwiąż nierówność: $ \left| \frac{x + 4}{2x - 1} \right| \leq 3 $
Zadanie 3 (3 pkt)
Wykaż, że jeżeli $a \neq 0$, to $a^6 + \frac{3}{a^2} \geq 4$.
Zadanie 4 (6 pkt)
Dana jest funkcja $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2\}$.
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m \in \mathbb{R}$, dla których równanie $|f(x)| = m^2 + 2m$ ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Zadanie 5 (5 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m \in \mathbb{R}$, dla których równanie $(m + 1)x^2 - 2mx + m - 3 = 0$ ma dwa rozwiązania niemniejsze od $0$.
Grupa B
Zadanie 1 (4 pkt)
Rozwiąż podane równania i nierówności.
a) $2x + \frac{1}{x} = \frac{x}{x-1} + \frac{3x-4}{2}$
b) $\frac{2-x}{x^3+x^2} \geq \frac{1-2x}{x^3-3x^2}$
Zadanie 2 (3 pkt)
Rązwiąż równanie: $\left| \frac{2x - 5}{x + 1} \right| \leq 2$
Zadanie 3 (3 pkt)
Wykaż, że jeżeli $a \neq 0$, to $a^4 + \frac{20}{a^2} \geq 12$.
Zadanie 4 (6 pkt)
Dana jest funkcja $f(x) = \frac{2x^2 - x - 1}{x^2 - 3x + 2}$ dla $x \in \mathbb{R} - \{1, 2\}$.
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m \in \mathbb{R}$, dla których równanie $|f(x)| = m^2 + m$ ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Zadanie 5 (5 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m \in \mathbb{R}$, dla których poniższe równanie ma dwa rozwiązania niemniejsze od $(-1)$.
$(m - 1)x^2 - 2(m + 1)x + m - 2 = 0$
Jeden komentarz
Dzięki, super sprawdzian, bardzo pomógł