a) Obliczamy sumę szeregu geometrycznego: Jest to szereg geometryczny o pierwszym wyrazie $a = 1$ i ilorazie $q = 2(x-1)$. Suma nieskończonego szeregu geometrycznego jest dana wzorem:\[ S = \frac{a}{1-q} \]Dla zbieżności szeregu musi być spełniony warunek $|q| < 1$. Podstawiamy wyrażenia do wzoru na sumę i porównujemy z prawą stroną równania:\[ \frac{1}{1 - 2(x-1)} = x \]\[ \frac{1}{1 - 2x + 2} = x \]\[ \frac{1}{3 - 2x} = x \]Mnożymy obie strony przez $(3-2x)$, pamiętając, że $3-2x \neq 0$ (czyli $x \neq \frac{3}{2}$):\[ 1 = x(3 - 2x) \]\[ 1 = 3x - 2x^2 \]Porządkujemy równanie do postaci kwadratowej:\[ 2x^2 - 3x + 1 = 0 \]Obliczamy wyróżnik (deltę) równania kwadratowego:\[ \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \]Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego:\[ x_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]\[ x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]Sprawdzamy warunek zbieżności szeregu $|q| < 1$: \[ |2(x-1)| < 1 \]\[ -1 < 2(x-1) < 1 \]\[ -\frac{1}{2} < x-1 < \frac{1}{2} \]\[ 1 - \frac{1}{2} < x < 1 + \frac{1}{2} \]\[ \frac{1}{2} < x < \frac{3}{2} \]Sprawdzamy, czy obliczone pierwiastki spełniają warunek zbieżności: Dla $x_1 = \frac{1}{2}$: Iloraz $q = 2(\frac{1}{2}-1) = 2(-\frac{1}{2}) = -1$. Ponieważ $|q|=1$, szereg nie jest zbieżny. Rozwiązanie $x_1 = \frac{1}{2}$ jest odrzucane. Dla $x_2 = 1$: \[ \frac{1}{2} < 1 < \frac{3}{2} \]Warunek jest spełniony. Rozwiązanie $x_2 = 1$ jest poprawne. b) Obliczamy sumę szeregu geometrycznego: Jest to szereg geometryczny o pierwszym wyrazie $a = x$ i ilorazie $q = \frac{x}{3x+1}$. Suma nieskończonego szeregu geometrycznego jest dana wzorem:\[ S = \frac{a}{1-q} \]Dla zbieżności szeregu musi być spełniony warunek $|q| < 1$. Dodatkowo $x+1 \neq 0$ oraz $3x+1 \neq 0$. Podstawiamy wyrażenia do wzoru na sumę i porównujemy z prawą stroną równania:\[ \frac{x}{1 - \frac{x}{3x+1}} = 2 \]\[ \frac{x}{\frac{3x+1 - x}{3x+1}} = 2 \]\[ \frac{x}{\frac{2x+1}{3x+1}} = 2 \]\[ \frac{x(3x+1)}{2x+1} = 2 \]Mnożymy obie strony przez $(2x+1)$, pamiętając, że $2x+1 \neq 0$ (czyli $x \neq -\frac{1}{2}$):\[ x(3x+1) = 2(2x+1) \]\[ 3x^2 + x = 4x + 2 \]Porządkujemy równanie do postaci kwadratowej:\[ 3x^2 - 3x - 2 = 0 \]Obliczamy wyróżnik (deltę) równania kwadratowego:\[ \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 9 + 24 = 33 \]Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego:\[ x_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{33}}{2 \cdot 3} = \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \]\[ x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{33}}{2 \cdot 3} = \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \]Sprawdzamy warunek zbieżności szeregu $|q| < 1$: \[ \left|\frac{x}{3x+1}\right| < 1 \]Nierówność ta jest spełniona dla $x \in (-\infty, -\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{4}, \infty)$. Sprawdzamy, czy obliczone pierwiastki spełniają warunek zbieżności: Dla $x_1 = \frac{3 - \sqrt{33}}{6}$: Przybliżona wartość $x_1 \approx \frac{3 - 5.74}{6} \approx -0.456$. Ta wartość nie należy do przedziału zbieżności, ponieważ $-0.456 \in (-0.5, -0.333)$. Zatem ten pierwiastek nie spełnia warunku zbieżności szeregu. Rozwiązanie $x_1$ jest odrzucane. Dla $x_2 = \frac{3 + \sqrt{33}}{6}$: Przybliżona wartość $x_2 \approx \frac{3 + 5.74}{6} \approx 1.456$. Ta wartość należy do przedziału zbieżności. Zatem ten pierwiastek spełnia warunek zbieżności szeregu. Rozwiązanie $x_2 = \frac{3 + \sqrt{33}}{6}$ jest poprawne.