a) Przekształcamy lewą stronę równania (L), korzystając ze wzoru redukcyjnego $\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$:\[L = \cos 10^\circ - \sin 20^\circ = \cos 10^\circ - \cos(90^\circ - 20^\circ) = \cos 10^\circ - \cos 70^\circ\]Korzystamy ze wzoru na różnicę cosinusów $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$:\[L = -2 \sin \frac{10^\circ+70^\circ}{2} \sin \frac{10^\circ-70^\circ}{2} = -2 \sin 40^\circ \sin(-30^\circ)\]Ponieważ $\sin(-30^\circ) = - \sin 30^\circ = -0,5$:\[L = -2 \sin 40^\circ \cdot (-0,5) = \sin 40^\circ\]Przekształcamy prawą stronę równania (P), korzystając ze wzoru redukcyjnego $\cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$:\[P = \cos 50^\circ = \sin(90^\circ - 50^\circ) = \sin 40^\circ\]Ponieważ L = P, tożsamość jest prawdziwa. b) Przekształcamy lewą stronę równania (L), grupując dwa ostatnie wyrazy i stosując wzór na różnicę sinusów $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$:\[L = \sin 10^\circ + (\sin 50^\circ - \sin 70^\circ) = \sin 10^\circ + 2 \cos \frac{50^\circ+70^\circ}{2} \sin \frac{50^\circ-70^\circ}{2}\]\[L = \sin 10^\circ + 2 \cos 60^\circ \sin(-10^\circ)\]Ponieważ $\cos 60^\circ = 0,5$ oraz $\sin(-10^\circ) = -\sin 10^\circ$:\[L = \sin 10^\circ + 2 \cdot 0,5 \cdot (-\sin 10^\circ) = \sin 10^\circ - \sin 10^\circ = 0\]Ponieważ L = 0, tożsamość jest prawdziwa. c) Przekształcamy lewą stronę równania (L). Pierwszy wyraz przekształcamy, korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kąta $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$:\[\sin 22,5^\circ \cos 22,5^\circ = \frac{1}{2} (2 \sin 22,5^\circ \cos 22,5^\circ) = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 22,5^\circ) = \frac{1}{2} \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}\]Dwa kolejne wyrazy przekształcamy, korzystając ze wzoru na różnicę cosinusów:\[-\cos 40^\circ + \cos 20^\circ = \cos 20^\circ - \cos 40^\circ = -2 \sin \frac{20^\circ+40^\circ}{2} \sin \frac{20^\circ-40^\circ}{2}\]\[= -2 \sin 30^\circ \sin(-10^\circ) = -2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\sin 10^\circ) = \sin 10^\circ\]Sumując otrzymane wyniki:\[L = \frac{\sqrt{2}}{4} + \sin 10^\circ\]Ponieważ L = P, tożsamość jest prawdziwa. d) Przekształcamy lewą stronę równania (L), korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kąta $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ dla $\sin 40^\circ$:\[\sin 40^\circ = \sin(2 \cdot 20^\circ) = 2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ\]Podstawiamy do wyrażenia:\[L = \frac{2 \sin 20^\circ + 2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ}{2 \sin 20^\circ - 2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ}\]Wyłączamy wspólny czynnik $2 \sin 20^\circ$ przed nawias w liczniku i mianowniku:\[L = \frac{2 \sin 20^\circ (1 + \cos 20^\circ)}{2 \sin 20^\circ (1 - \cos 20^\circ)} = \frac{1 + \cos 20^\circ}{1 - \cos 20^\circ}\]Korzystamy ze wzorów na cosinus podwojonego kąta w postaci: $1+\cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha$ oraz $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2\alpha$. Dla $2\alpha = 20^\circ$, mamy $\alpha = 10^\circ$:\[L = \frac{2 \cos^2 10^\circ}{2 \sin^2 10^\circ} = \left(\frac{\cos 10^\circ}{\sin 10^\circ}\right)^2 = \text{ctg}^2 10^\circ\]Ponieważ L = P, tożsamość jest prawdziwa.