Równoległoboki kartkówka LiczBit

20.3 Równoległoboki

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Wyznacz miary kątów równoległoboku, jeśli: a) jeden z kątów leżących przy jednym boku jest o $50\%$ większy od drugiego, b) sumy miar przeciwległych kątów różnią się o $80^\circ$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Bok $AB$ równoległoboku $ABCD$ jest dwa razy dłuższy od boku $AD$. Punkt $F$ jest środkiem boku $CD$. Wykaż, że kąt $AFB$ jest prosty.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Oznaczmy długość boku $AD$ jako $a$. Zgodnie z treścią zadania, $|AD| = |BC| = a$. Bok $AB$ jest dwa razy dłuższy od boku $AD$, więc $|AB| = |CD| = 2a$. Punkt $F$ jest środkiem boku $CD$, zatem $|DF| = |FC| = \frac{1}{2}|CD| = \frac{1}{2}(2a) = a$. Rozważmy trójkąt $\triangle ADF$. Mamy $|AD| = a$ i $|DF| = a$, więc jest to trójkąt równoramienny. Stąd wynika, że $|\sphericalangle DAF| = |\sphericalangle DFA|$. Rozważmy trójkąt $\triangle BCF$. Mamy $|BC| = a$ i $|FC| = a$, więc jest to trójkąt równoramienny. Stąd wynika, że $|\sphericalangle CBF| = |\sphericalangle CFB|$. Oznaczmy kąt ostry równoległoboku $|\sphericalangle DAB| = \gamma$. Wtedy kąt rozwarty $|\sphericalangle ADC| = 180^\circ - \gamma$. W trójkącie równoramiennym $\triangle ADF$ suma kątów wynosi $180^\circ$. Zatem $|\sphericalangle DAF| + |\sphericalangle DFA| + |\sphericalangle ADC| = 180^\circ$.\[2|\sphericalangle DFA| + (180^\circ - \gamma) = 180^\circ\]\[2|\sphericalangle DFA| = \gamma\]\[|\sphericalangle DFA| = \frac{\gamma}{2}\]W równoległoboku $ABCD$ boki $AB$ i $CD$ są równoległe ($AB \parallel CD$). Z własności kątów naprzemianległych wewnętrznych dla siecznej $AF$ mamy $|\sphericalangle FAB| = |\sphericalangle DFA| = \frac{\gamma}{2}$. Kąt przy wierzchołku $C$ jest równy kątowi przy wierzchołku $A$, więc $|\sphericalangle BCD| = \gamma$. W trójkącie równoramiennym $\triangle BCF$ suma kątów wynosi $180^\circ$.\[|\sphericalangle CBF| + |\sphericalangle CFB| + |\sphericalangle BCD| = 180^\circ\]\[2|\sphericalangle CFB| + \gamma = 180^\circ\]\[2|\sphericalangle CFB| = 180^\circ - \gamma\]\[|\sphericalangle CFB| = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}\]Z własności kątów naprzemianległych wewnętrznych dla siecznej $BF$ mamy $|\sphericalangle FBA| = |\sphericalangle CFB| = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}$. Rozważmy teraz trójkąt $\triangle AFB$. Suma jego kątów wewnętrznych wynosi $180^\circ$.\[|\sphericalangle AFB| + |\sphericalangle FAB| + |\sphericalangle FBA| = 180^\circ\]\[|\sphericalangle AFB| + \frac{\gamma}{2} + \left(90^\circ - \frac{\gamma}{2}\right) = 180^\circ\]\[|\sphericalangle AFB| + 90^\circ = 180^\circ\]\[|\sphericalangle AFB| = 90^\circ\]Co dowodzi, że kąt $AFB$ jest prosty.

Zadanie 3 (4 pkt)

W równoległoboku boki mają długość: $3$ i $6$, a kąt ostry zawarty między tymi bokami jest równy $60^\circ$. a) Oblicz długości przekątnych tego równoległoboku. b) Wykaż, że krótsza przekątna jest prostopadła do krótszego boku. c) Wyznacz wysokości tego równoległoboku.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Niech boki równoległoboku mają długości $a = 3$ oraz $b=6$. Kąt ostry między nimi wynosi $\alpha = 60^\circ$. a) Obliczanie długości przekątnych. Długość krótszej przekątnej $d_1$, leżącej naprzeciw kąta ostrego $\alpha$, obliczamy z twierdzenia cosinusów:\[d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)\]\[d_1^2 = 3^2 + 6^2 - 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)\]\[d_1^2 = 9 + 36 - 36 \cdot \frac{1}{2} = 45 - 18 = 27\]\[d_1 = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\]Kąt rozwarty w równoległoboku wynosi $\beta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Długość dłuższej przekątnej $d_2$ obliczamy podobnie:\[d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^\circ) = a^2 + b^2 + 2ab \cos(60^\circ)\]\[d_2^2 = 9 + 36 + 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ) = 45 + 18 = 63\]\[d_2 = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}\]b) Wykazanie, że krótsza przekątna jest prostopadła do krótszego boku. Krótszy bok ma długość $a = 3$. Krótsza przekątna ma długość $d_1 = 3\sqrt{3}$. Rozważmy trójkąt utworzony przez krótszy bok $a$, dłuższy bok $b$ i krótszą przekątną $d_1$. Długości boków tego trójkąta to $3$, $6$ i $3\sqrt{3}$. Aby sprawdzić, czy krótsza przekątna jest prostopadła do krótszego boku, stosujemy twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa. Sprawdzamy, czy suma kwadratów długości boków $a$ i $d_1$ jest równa kwadratowi długości boku $b$.\[a^2 + d_1^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + 27 = 36\]\[b^2 = 6^2 = 36\]Ponieważ $a^2 + d_1^2 = b^2$, trójkąt jest prostokątny, a kąt prosty znajduje się między bokami o długościach $a$ i $d_1$. Oznacza to, że krótsza przekątna jest prostopadła do krótszego boku. c) Wyznaczanie wysokości równoległoboku. Oznaczmy wysokości jako $h_a$ (opuszczona na bok $a$) i $h_b$ (opuszczona na bok $b$). Wysokość $h_b$ opuszczoną na dłuższy bok $b=6$ można obliczyć jako:\[h_b = a \sin(\alpha) = 3 \sin(60^\circ) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\]Wysokość $h_a$ opuszczoną na krótszy bok $a=3$ można obliczyć jako:\[h_a = b \sin(\alpha) = 6 \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\]

Zadanie 4 (4 pkt)

Kąt ostry przy wierzchołku $A$ równoległoboku $ABCD$ jest równy $60^{\circ}$, $|AB| = 8$, $|AD| = 6$. Z punktu $D$ poprowadzono dwie różne wysokości $DE$ i $DF$ tego równoległoboku. Wykaż, że $|EF| = \sqrt{39}$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (2 pkt)

Krótsza przekątna rombu ma długość $10 \text{ cm}$, a bok jest o $1 \text{ cm}$ dłuższy od połowy dłuższej przekątnej. Oblicz długość boku rombu.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Wyznacz miary kątów równoległoboku, jeśli: a) jeden z kątów leżących przy jednym boku jest dwa razy większy od drugiego, b) sumy miar przeciwległych kątów różnią się o $120^\circ$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

W równoległoboku $ABCD$ bok $AB$ jest dwa razy dłuższy od boku $BC$. Punkt $E$ jest środkiem boku $AB$. Wykaż, że półprosta $CE$ jest dwusieczną kąta $BCD$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (4 pkt)

W równoległoboku boki mają długość: $2\sqrt{3}$ i $4$, a kąt ostry zawarty między tymi bokami jest równy $30^\circ$. a) Oblicz długości przekątnych tego równoległoboku. b) Wykaż, że krótsza przekątna jest prostopadła do krótszego boku. c) Wyznacz wysokości tego równoległoboku.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (4 pkt)

Kąt ostry przy wierzchołku $A$ równoległoboku $ABCD$ jest równy $45^{\circ}$, $|AB| = 5\sqrt{2}$, $|AD| = 4$. Z punktu $D$ poprowadzono dwie różne wysokości $DE$ i $DF$ tego równoległoboku. Wykaż, że $|EF| = \sqrt{13}$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (2 pkt)

Krótsza przekątna rombu ma długość $18 \text{ cm}$, a bok jest o $3 \text{ cm}$ dłuższy od połowy dłuższej przekątnej. Oblicz długość boku rombu.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

20.3 Równoległoboki

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (4 pkt)

Zadanie 4 (4 pkt)

Zadanie 5 (2 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (4 pkt)

Zadanie 4 (4 pkt)

Zadanie 5 (2 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋