Oznaczmy dłuższą podstawę trapezu jako $a$, krótszą jako $b$, ramię jako $c$, przekątną jako $d$, a wysokość jako $h$. Z treści zadania wiemy, że:\[a = 12\frac{1}{2} = \frac{25}{2}\]\[d = 10\]Trapez, na którym można opisać okrąg, musi być trapezem równoramiennym. Ponieważ dłuższa podstawa $a$ jest średnicą okręgu, trójkąt składający się z podstawy $a$, ramienia $c$ i przekątnej $d$ jest trójkątem prostokątnym, z podstawą $a$ jako przeciwprostokątną. Z twierdzenia Pitagorasa:\[c^2 + d^2 = a^2\]Obliczamy długość ramienia $c$:\[c^2 = a^2 - d^2 = \left(\frac{25}{2}\right)^2 - 10^2 = \frac{625}{4} - 100 = \frac{625}{4} - \frac{400}{4} = \frac{225}{4}\]\[c = \sqrt{\frac{225}{4}} = \frac{15}{2}\]Wysokość trapezu $h$ jest wysokością w tym trójkącie prostokątnym opuszczoną na przeciwprostokątną. Porównując wzory na pole trójkąta, otrzymujemy:\[\frac{1}{2} c d = \frac{1}{2} a h\]Stąd obliczamy $h$:\[h = \frac{c d}{a} = \frac{\frac{15}{2} \cdot 10}{\frac{25}{2}} = \frac{75}{\frac{25}{2}} = 75 \cdot \frac{2}{25} = 6\]Oznaczmy przez $x$ długość rzutu prostokątnego ramienia na dłuższą podstawę. Z trójkąta prostokątnego o bokach $c, h, x$ mamy:\[x^2 + h^2 = c^2\]\[x^2 + 6^2 = \left(\frac{15}{2}\right)^2\]\[x^2 + 36 = \frac{225}{4}\]\[x^2 = \frac{225}{4} - 36 = \frac{225}{4} - \frac{144}{4} = \frac{81}{4}\]\[x = \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2}\]Długość krótszej podstawy $b$ wynosi:\[b = a - 2x = \frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{9}{2} = \frac{25}{2} - 9 = \frac{25}{2} - \frac{18}{2} = \frac{7}{2}\]Obliczamy pole trapezu:\[P = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{\frac{25}{2} + \frac{7}{2}}{2} \cdot 6 = \frac{\frac{32}{2}}{2} \cdot 6 = \frac{16}{2} \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48\]