Oznaczmy boki równoległoboku jako $a$ i $b$, gdzie $a$ to dłuższy bok. Z treści zadania mamy $a=8$. Kąt rozwarty równoległoboku wynosi $\beta = 120°$. Suma miar kątów sąsiednich w równoległoboku jest równa $180°$, więc kąt ostry $\alpha$ ma miarę:\[\alpha = 180° - \beta = 180° - 120° = 60°\]Krótsza przekątna równoległoboku, oznaczmy ją $d_1$, leży naprzeciwko kąta ostrego. Mamy daną jej długość $d_1 = 7$. Rozważmy trójkąt utworzony przez boki $a$, $b$ i przekątną $d_1$. Kąt między bokami $a$ i $b$ w tym trójkącie to $\alpha$. Korzystając z twierdzenia cosinusów, możemy zapisać:\[d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)\]Podstawiamy znane wartości:\[7^2 = 8^2 + b^2 - 2 \cdot 8 \cdot b \cdot \cos(60°)\]Wiemy, że $\cos(60°) = \frac{1}{2}$, zatem:\[49 = 64 + b^2 - 16b \cdot \frac{1}{2}\]\[49 = 64 + b^2 - 8b\]Porządkujemy równanie, aby otrzymać równanie kwadratowe względem $b$:\[b^2 - 8b + 15 = 0\]Rozwiązujemy to równanie. Obliczamy wyróżnik $\Delta$:\[\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4\]\[\sqrt{\Delta} = \sqrt{4} = 2\]Wyznaczamy możliwe długości boku $b$:\[b_1 = \frac{-(-8) - 2}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3\]\[b_2 = \frac{-(-8) + 2}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5\]Zgodnie z treścią zadania, $a=8$ jest dłuższym bokiem, więc $b < 8$. Oba rozwiązania ($b_1=3$ i $b_2=5$) spełniają ten warunek. Oznacza to, że istnieją dwa równoległoboki spełniające warunki zadania. Obliczymy pole dla obu przypadków. Pole równoległoboku $P$ obliczamy ze wzoru:\[P = ab \sin(\alpha)\]Dla $b=3$:\[P_1 = 8 \cdot 3 \cdot \sin(60°) = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}\]Dla $b=5$:\[P_2 = 8 \cdot 5 \cdot \sin(60°) = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}\]