Pochodna funkcji a monotoniczność funkcji kartkówka LiczBit

22.13 Pochodna funkcji a monotoniczność funkcji

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji $f$: a) $f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 2$ b) $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 5x - 8$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Wskazówki: 1. Oblicz pochodną $f'(x)$ dla obu funkcji, pamiętając, że pochodna $x^n$ to $n \cdot x^{n-1}$. 2. Znajdź miejsca zerowe pochodnej, rozwiązując równanie kwadratowe $f'(x) = 0$. 3. Zbadaj znak pochodnej $f'(x)$ na osi liczbowej. Zwróć uwagę na współczynnik $a$ przy $x^2$ w pochodnej, aby określić kierunek ramion paraboli. 4. Tam, gdzie $f'(x) \ge 0$, funkcja jest rosnąca. Tam, gdzie $f'(x) \le 0$, funkcja jest malejąca. Rozwiązanie: Monotoniczność funkcji badamy za pomocą pochodnej $f'(x)$. a) $f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 2$ 1. Obliczenie pochodnej funkcji $f(x)$.$$f'(x) = (x^3)' - (6x^2)' - (15x)' + (2)'$$$$f'(x) = 3x^2 - 6 \cdot 2x - 15 \cdot 1 + 0$$$$f'(x) = 3x^2 - 12x - 15$$2. Wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej $f'(x)$. Rozwiązujemy równanie $f'(x) = 0$:$$3x^2 - 12x - 15 = 0$$3. Uproszczenie równania kwadratowego. Dzielimy całe równanie przez $3$, aby ułatwić obliczenia.$$x^2 - 4x - 5 = 0$$4. Obliczenie delty (wyróżnika) i pierwiastków. Równanie ma postać $ax^2 + bx + c = 0$, gdzie $a=1$, $b=-4$, $c=-5$. Obliczamy deltę:$$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$Obliczamy pierwiastki: $\sqrt{\Delta} = 6$.$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4) - 6}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4) + 6}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$5. Analiza znaku pochodnej $f'(x)$. $f'(x) = 3x^2 - 12x - 15$ jest parabolą. Współczynnik przy $x^2$ to $a=3$, który jest dodatni ($a>0$). Ramiona paraboli są skierowane do góry. $f'(x) > 0$ dla $x \in (-\infty, -1) \cup (5, \infty)$. $f'(x) < 0$ dla $x \in (-1, 5)$. 6. Wyznaczenie maksymalnych przedziałów monotoniczności. Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziałach $(-\infty, -1]$ oraz $[5, \infty)$. Funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $[-1, 5]$. b) $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 5x - 8$ 1. Obliczenie pochodnej funkcji $f(x)$.$$f'(x) = (-\frac{1}{3}x^3)' + (2x^2)' + (5x)' - (8)'$$$$f'(x) = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2 \cdot 2x + 5 \cdot 1 - 0$$$$f'(x) = -x^2 + 4x + 5$$2. Wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej $f'(x)$. Rozwiązujemy równanie $f'(x) = 0$:$$-x^2 + 4x + 5 = 0$$3. Uproszczenie równania kwadratowego. Mnożymy całe równanie przez $-1$.$$x^2 - 4x - 5 = 0$$4. Obliczenie delty (wyróżnika) i pierwiastków. Równanie ma postać $ax^2 + bx + c = 0$, gdzie $a=1$, $b=-4$, $c=-5$. Obliczamy deltę:$$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$Obliczamy pierwiastki: $\sqrt{\Delta} = 6$.$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4) - 6}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4) + 6}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$5. Analiza znaku pochodnej $f'(x)$. Patrzymy na pierwotną postać pochodnej: $f'(x) = -x^2 + 4x + 5$. Współczynnik przy $x^2$ to $a=-1$, który jest ujemny ($a<0$). Ramiona paraboli są skierowane w dół. $f'(x) > 0$ dla $x \in (-1, 5)$. $f'(x) < 0$ dla $x \in (-\infty, -1) \cup (5, \infty)$. 6. Wyznaczenie maksymalnych przedziałów monotoniczności. Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $[-1, 5]$. Funkcja $f$ jest malejąca w przedziałach $(-\infty, -1]$ oraz $[5, \infty)$.

Zadanie 2 (2 pkt)

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji $f$: a) $f(x)=-\frac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x + 5$ b) $f(x)=\frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Wskazówki: 1. Monotoniczność funkcji $f(x)$ jest ściśle związana ze znakiem jej pierwszej pochodnej $f'(x)$. 2. Oblicz pochodną $f'(x)$ dla każdego podpunktu, korzystając ze wzoru na pochodną wielomianu: $\left(x^n\right)' = nx^{n-1}$ oraz $\left(c\right)' = 0$. 3. Znajdź miejsca zerowe pochodnej, rozwiązując równanie $f'(x) = 0$. Te punkty to potencjalne miejsca zmiany monotoniczności (ekstrema). 4. Zbadaj znak pochodnej $f'(x)$ w przedziałach wyznaczonych przez jej miejsca zerowe. Jeśli $f'(x) > 0$, funkcja jest rosnąca; jeśli $f'(x) < 0$, funkcja jest malejąca. 5. Pamiętaj, że jeśli pochodna ma pierwiastek parzystokrotny (np. $\left(x-a\right)^2$), znak pochodnej nie zmienia się w tym punkcie. Rozwiązanie: Zadanie polega na wyznaczeniu przedziałów, w których funkcja rośnie lub maleje. Użyjemy do tego pierwszej pochodnej funkcji. a) $f(x) = -\frac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x + 5$ 1. Obliczenie pierwszej pochodnej $f'(x)$. Korzystamy ze wzoru na pochodną potęgi $\left(x^n\right)' = nx^{n-1}$ oraz pochodną stałej $\left(c\right)' = 0$.$$f'(x) = \left( -\frac{1}{4}x^4 \right)' + \left( -x^3 \right)' + \left( 4x \right)' + \left( 5 \right)'$$$$f'(x) = -\frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} - 3x^{3-1} + 4 \cdot 1x^{1-1} + 0$$$$f'(x) = -x^3 - 3x^2 + 4$$2. Wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej $f'(x)$. Musimy rozwiązać równanie $f'(x) = 0$:$$-x^3 - 3x^2 + 4 = 0$$Pomnożymy obie strony przez $-1$, aby ułatwić faktoryzację:$$x^3 + 3x^2 - 4 = 0$$Szukamy pierwiastków całkowitych wśród dzielników liczby $4$ (czyli $\pm 1, \pm 2, \pm 4$). Sprawdzamy $x=1$:$$1^3 + 3 \cdot 1^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$$Zatem $x=1$ jest pierwiastkiem. Dzielimy wielomian $x^3 + 3x^2 - 4$ przez dwumian $\left(x-1\right)$. Otrzymujemy:$$x^3 + 3x^2 - 4 = \left(x-1\right) \left(x^2 + 4x + 4\right)$$Wyrażenie w drugim nawiasie to wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy: $x^2 + 4x + 4 = \left(x+2\right)^2$. Zatem pochodna ma postać:$$f'(x) = -\left(x-1\right) \left(x+2\right)^2$$Miejsca zerowe to $x_1 = 1$ (pierwiastek pojedynczy) oraz $x_2 = -2$ (pierwiastek podwójny). 3. Badanie znaku pochodnej $f'(x)$. Ponieważ $f'(x)$ jest wielomianem trzeciego stopnia z ujemnym współczynnikiem wiodącym ($-1$), jego wykres zaczyna się z góry (dla $x \to -\infty$) i kończy na dole (dla $x \to \infty$). - W punkcie $x=-2$ (pierwiastek podwójny) wykres tylko dotyka osi $OX$ i odbija się, więc znak pochodnej się nie zmienia. - W punkcie $x=1$ (pierwiastek pojedynczy) wykres przechodzi przez oś $OX$, więc znak pochodnej się zmienia. - Dla $x > 1$: $f'(x) < 0$ (funkcja maleje). - Dla $x < 1$: $f'(x) > 0$ (funkcja rośnie, z wyjątkiem $x=-2$, gdzie $f'(-2)=0$). 4. Określenie przedziałów monotoniczności. Funkcja jest rosnąca, gdy $f'(x) \ge 0$, i malejąca, gdy $f'(x) \le 0$. Ponieważ $f'(x) > 0$ na przedziałach $\left(-\infty, -2\right)$ i $\left(-2, 1\right)$, a $f'(-2)=0$, możemy połączyć te przedziały w jeden maksymalny przedział rosnący. Funkcja $f$ jest: - Rosnąca w przedziale $\left(-\infty, 1\right]$. - Malejąca w przedziale $\left[1, \infty\right)$. b) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x$ 1. Obliczenie pierwszej pochodnej $f'(x)$.$$f'(x) = \left( \frac{1}{4}x^4 \right)' - \left( \frac{2}{3}x^3 \right)' - \left( \frac{1}{2}x^2 \right)' + \left( 2x \right)'$$$$f'(x) = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - \frac{2}{3} \cdot 3x^2 - \frac{1}{2} \cdot 2x + 2$$$$f'(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$$2. Wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej $f'(x)$. Rozwiązujemy $f'(x) = 0$:$$x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$$Stosujemy metodę grupowania wyrazów:$$x^2 \left(x - 2\right) - 1 \left(x - 2\right) = 0$$Wyłączamy wspólny czynnik $\left(x-2\right)$:$$\left(x^2 - 1\right) \left(x - 2\right) = 0$$Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów $x^2 - 1 = \left(x-1\right) \left(x+1\right)$.$$f'(x) = \left(x-1\right) \left(x+1\right) \left(x-2\right) = 0$$Miejsca zerowe to $x_1 = -1$, $x_2 = 1$, $x_3 = 2$. 3. Badanie znaku pochodnej $f'(x)$. $f'(x)$ jest wielomianem trzeciego stopnia z dodatnim współczynnikiem wiodącym ($1$). Wykres zaczyna się z dołu (dla $x \to -\infty$) i kończy na górze (dla $x \to \infty$). Wszystkie pierwiastki są pojedyncze, więc znak pochodnej zmienia się w każdym z nich. - Dla $x \in \left(-\infty, -1\right)$: $f'(x) < 0$ (maleje). - Dla $x \in \left(-1, 1\right)$: $f'(x) > 0$ (rośnie). - Dla $x \in \left(1, 2\right)$: $f'(x) < 0$ (maleje). - Dla $x \in \left(2, \infty\right)$: $f'(x) > 0$ (rośnie). 4. Określenie przedziałów monotoniczności. Funkcja $f$ jest: - Malejąca w przedziałach $\left(-\infty, -1\right]$ oraz $\left[1, 2\right]$. - Rosnąca w przedziałach $\left[-1, 1\right]$ oraz $\left[2, \infty\right)$.

Zadanie 3 (2 pkt)

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji $f$: a) $f(x)=\frac{x^2 + 4x + 7}{x + 4}$ b) $f(x)=\frac{3x^2 - 12x + 12}{x - 1}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Wskazówki: 1. Zawsze zacznij od wyznaczenia dziedziny funkcji. Pamiętaj, że mianownik musi być różny od zera. 2. Aby zbadać monotoniczność, musisz obliczyć pierwszą pochodną funkcji, $f'(x)$. Skorzystaj ze wzoru na pochodną ilorazu:$$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.$$3. W podpunkcie b) spróbuj uprościć licznik, zauważając, że jest to wielokrotność wzoru skróconego mnożenia. 4. Miejsca zerowe pochodnej ($f'(x)=0$) oraz punkty wykluczone z dziedziny dzielą oś liczbową na przedziały. Zbadaj znak pochodnej w każdym z tych przedziałów. 5. Pamiętaj, że jeśli $\Delta > 0$, otrzymasz dwa pierwiastki. Jeśli te pierwiastki są niewymierne (np. zawierają $\sqrt{7}$), użyj ich dokładnej postaci do określenia przedziałów. Rozwiązanie: a) $f(x)=\frac{x^2 + 4x + 7}{x + 4}$ 1. Wyznaczanie dziedziny funkcji $D_f$. Mianownik musi być różny od zera: $x+4 \neq 0$, czyli $x \neq -4$. Dziedzina to $D_f = R \setminus \left\{ -4 \right\}$. 2. Obliczanie pierwszej pochodnej $f'(x)$. Korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu. $u = x^2 + 4x + 7$, $v = x + 4$. Pochodna licznika ($u'$):$$\left( x^2 + 4x + 7 \right)' = 2x + 4.$$Pochodna mianownika ($v'$):$$\left( x + 4 \right)' = 1.$$Podstawiamy do wzoru:$$f'(x) = \frac{\left( 2x + 4 \right) \left( x + 4 \right) - \left( x^2 + 4x + 7 \right) \left( 1 \right)}{\left( x + 4 \right)^2}.$$3. Upraszczanie licznika pochodnej. Rozwijamy pierwszy iloczyn:$$\left( 2x + 4 \right) \left( x + 4 \right) = 2x^2 + 8x + 4x + 16 = 2x^2 + 12x + 16.$$Licznik staje się:$$\left( 2x^2 + 12x + 16 \right) - \left( x^2 + 4x + 7 \right) = 2x^2 + 12x + 16 - x^2 - 4x - 7.$$Redukujemy wyrazy podobne:$$x^2 + 8x + 9.$$Otrzymujemy$$f'(x) = \frac{x^2 + 8x + 9}{\left( x + 4 \right)^2}.$$4. Wyznaczanie miejsc zerowych pochodnej. Szukamy $x$ dla których $f'(x) = 0$. Wystarczy, że licznik będzie równy zero:$$x^2 + 8x + 9 = 0.$$Obliczamy wyróżnik $\Delta = b^2 - 4ac$. Tutaj $a=1, b=8, c=9$.$$\Delta = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 64 - 36 = 28.$$Obliczamy pierwiastki $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$. Pamiętamy, że $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.$$x_1 = \frac{-8 - 2\sqrt{7}}{2} = -4 - \sqrt{7}.$$$$x_2 = \frac{-8 + 2\sqrt{7}}{2} = -4 + \sqrt{7}.$$5. Analiza znaku pochodnej. Znak $f'(x)$ zależy tylko od licznika $N(x) = x^2 + 8x + 9$. Jest to parabola skierowana ramionami do góry z pierwiastkami $x_1 = -4 - \sqrt{7}$ i $x_2 = -4 + \sqrt{7}$. Punkt wykluczony z dziedziny, $x=-4$, leży między tymi pierwiastkami. $f'(x) > 0$ (funkcja rośnie) dla $x \in \left( -\infty, -4 - \sqrt{7} \right) \cup \left( -4 + \sqrt{7}, \infty \right)$. $f'(x) < 0$ (funkcja maleje) dla $x \in \left( -4 - \sqrt{7}, -4 + \sqrt{7} \right)$. 6. Określenie maksymalnych przedziałów monotoniczności. Musimy rozdzielić przedział malejący w punkcie $x=-4$. Funkcja jest rosnąca w przedziałach: $\left( -\infty, -4 - \sqrt{7} \right]$ oraz $\left[ -4 + \sqrt{7}, \infty \right)$. Funkcja jest malejąca w przedziałach: $\left[ -4 - \sqrt{7}, -4 \right)$ oraz $\left( -4, -4 + \sqrt{7} \right]$. b) $f(x)=\frac{3x^2 - 12x + 12}{x - 1}$ 1. Wyznaczanie dziedziny funkcji $D_f$. Mianownik musi być różny od zera: $x - 1 \neq 0$, czyli $x \neq 1$. Dziedzina to $D_f = R \setminus \left\{ 1 \right\}$. 2. Uproszczenie funkcji. Licznik: $3x^2 - 12x + 12 = 3 \left( x^2 - 4x + 4 \right) = 3 \left( x - 2 \right)^2$.$$f(x) = \frac{3 \left( x - 2 \right)^2}{x - 1}.$$3. Obliczanie pierwszej pochodnej $f'(x)$. $u = 3x^2 - 12x + 12$, $v = x - 1$. Pochodna licznika ($u'$):$$\left( 3x^2 - 12x + 12 \right)' = 6x - 12 = 6(x-2).$$Pochodna mianownika ($v'$):$$\left( x - 1 \right)' = 1.$$Podstawiamy do wzoru:$$f'(x) = \frac{\left( 6x - 12 \right) \left( x - 1 \right) - \left( 3x^2 - 12x + 12 \right) \left( 1 \right)}{\left( x - 1 \right)^2}.$$4. Upraszczanie licznika pochodnej. Rozwijamy pierwszy iloczyn:$$\left( 6x - 12 \right) \left( x - 1 \right) = 6x^2 - 6x - 12x + 12 = 6x^2 - 18x + 12.$$Licznik staje się:$$\left( 6x^2 - 18x + 12 \right) - \left( 3x^2 - 12x + 12 \right) = 6x^2 - 18x + 12 - 3x^2 + 12x - 12.$$Redukujemy wyrazy podobne:$$3x^2 - 6x.$$Wyłączamy $3x$ przed nawias: $3x(x-2)$. Otrzymujemy$$f'(x) = \frac{3x \left( x - 2 \right)}{\left( x - 1 \right)^2}.$$5. Wyznaczanie miejsc zerowych pochodnej. Szukamy $x$ dla których $f'(x) = 0$. Wystarczy, że$$3x(x-2) = 0.$$Otrzymujemy dwa pierwiastki: $x_1 = 0$ oraz $x_2 = 2$. 6. Analiza znaku pochodnej. Znak $f'(x)$ zależy od licznika $N(x) = 3x(x-2)$. Jest to parabola skierowana ramionami do góry z pierwiastkami $0$ i $2$. Punkt wykluczony z dziedziny, $x=1$, leży między tymi pierwiastkami. $f'(x) > 0$ (funkcja rośnie) dla $x \in \left( -\infty, 0 \right) \cup \left( 2, \infty \right)$. $f'(x) < 0$ (funkcja maleje) dla $x \in \left( 0, 2 \right)$. 7. Określenie maksymalnych przedziałów monotoniczności. Musimy rozdzielić przedział malejący $\left( 0, 2 \right)$ w punkcie $x=1$. Funkcja jest rosnąca w przedziałach: $\left( -\infty, 0 \right]$ oraz $\left[ 2, \infty \right)$. Funkcja jest malejąca w przedziałach: $\left[ 0, 1 \right)$ oraz $\left( 1, 2 \right]$.

Zadanie 4 (2 pkt)

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji $f$: a) $$f(x)=\begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x^2 + 3}, & \text{jeśli } x < 3 \\ x^3 - 3x^2, & \text{jeśli } x \ge 3 \end{cases}$$ b) $$f(x)=\begin{cases} \frac{x^2 + 15}{x^2 + 3}, & \text{jeśli } x < 3 \\ \frac{3x^2 - 19}{x^2 - 5}, & \text{jeśli } x \ge 3 \end{cases}$$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Wskazówki: 1. Oblicz pochodną $f'(x)$ dla obu części funkcji, pamiętając o wzorze na pochodną ilorazu dla funkcji wymiernych. 2. Dla podpunktu a) w przedziale $x < 3$ sprawdź, kiedy licznik pochodnej $\left(24x\right)$ jest dodatni, a kiedy ujemny. 3. Dla podpunktu b) uprość funkcje wymierne, aby ułatwić liczenie pochodnej (np. $f_1(x) = 1 + \frac{12}{x^2 + 3}$). 4. Sprawdź ciągłość funkcji w punkcie "zlepienia" $x=3$ dla obu podpunktów, porównując $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ z $f(3)$. Rozwiązanie: a) $f(x)=\begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x^2 + 3}, & \text{jeśli } x < 3 \\ x^3 - 3x^2, & \text{jeśli } x \ge 3 \end{cases}$ 1. Obliczenie pochodnej dla $x < 3$. Rozważamy $f_1(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 + 3}$. Stosujemy wzór na pochodną ilorazu:$$f_1'(x) = \frac{\left(2x\right) \left(x^2 + 3\right) - \left(x^2 - 9\right) \left(2x\right)}{\left(x^2 + 3\right)^2} = \frac{2x^3 + 6x - 2x^3 + 18x}{\left(x^2 + 3\right)^2}$$$$f_1'(x) = \frac{24x}{\left(x^2 + 3\right)^2}$$2. Analiza znaku $f_1'(x)$ dla $x < 3$. Znak pochodnej zależy od $24x$. $f_1'(x) < 0$ (maleje), gdy $x < 0$. $f_1'(x) > 0$ (rośnie), gdy $0 < x < 3$. 3. Obliczenie i analiza pochodnej dla $x > 3$. Rozważamy $f_2(x) = x^3 - 3x^2$.$$f_2'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$$Pierwiastki to $x=0$ i $x=2$. Ponieważ rozważamy $x > 3$, pochodna $f_2'(x)$ jest zawsze dodatnia. Dla $x \in \left(3, \infty\right)$, $f_2'(x) > 0$. Funkcja rośnie. 4. Badanie ciągłości w punkcie $x=3$. Wartość funkcji: $f(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 = 27 - 27 = 0$. Granica lewostronna: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \frac{3^2 - 9}{3^2 + 3} = 0$. Funkcja jest ciągła w $x=3$. 5. Sformułowanie maksymalnych przedziałów monotoniczności dla a). Funkcja maleje na $\left(-\infty, 0\right]$. Funkcja rośnie na $\left[0, 3\right)$ i na $\left(3, \infty\right)$. Ponieważ jest ciągła, łączymy przedziały rośnięcia. Odp. a): Malejąca: $\left(-\infty, 0\right]$; Rosnąca: $\left[0, \infty\right)$. b) $f(x)=\begin{cases} \frac{x^2 + 15}{x^2 + 3}, & \text{jeśli } x < 3 \\ \frac{3x^2 - 19}{x^2 - 5}, & \text{jeśli } x \ge 3 \end{cases}$ 1. Obliczenie pochodnej dla $x < 3$. Upraszczamy: $f_1(x) = 1 + \frac{12}{x^2 + 3}$.$$f_1'(x) = \frac{-24x}{\left(x^2 + 3\right)^2}$$2. Analiza znaku $f_1'(x)$ dla $x < 3$. Znak zależy od $-24x$. $f_1'(x) > 0$ (rośnie), gdy $x < 0$. $f_1'(x) < 0$ (maleje), gdy $0 < x < 3$. 3. Obliczenie pochodnej dla $x > 3$. Upraszczamy: $f_2(x) = 3 + \frac{-4}{x^2 - 5}$.$$f_2'(x) = \frac{8x}{\left(x^2 - 5\right)^2}$$4. Analiza znaku $f_2'(x)$ dla $x > 3$. Dla $x > 3$, $8x > 0$ i mianownik jest dodatni. Zatem $f_2'(x) > 0$. Dla $x \in \left(3, \infty\right)$, $f_2'(x) > 0$. Funkcja rośnie. 5. Badanie ciągłości w punkcie $x=3$. Wartość funkcji: $f(3) = \frac{3 \cdot 3^2 - 19}{3^2 - 5} = \frac{8}{4} = 2$. Granica lewostronna: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \frac{3^2 + 15}{3^2 + 3} = \frac{24}{12} = 2$. Funkcja jest ciągła w $x=3$. 6. Sformułowanie maksymalnych przedziałów monotoniczności dla b). $f(x)$ rośnie na $\left(-\infty, 0\right]$. $f(x)$ maleje na $\left[0, 3\right]$. $f(x)$ rośnie na $\left[3, \infty\right)$. Odp. b): Rosnąca: $\left(-\infty, 0\right]$, $\left[3, \infty\right)$; Malejąca: $\left[0, 3\right]$.

Zadanie 5 (2 pkt)

O funkcji $f(x) = -x^3 + ax^2 + bx + 10$, $x \in R$, wiadomo, że: $f'(x) > 0 \iff x \in \left(-2, 3\right)$ a) Oblicz współczynniki $a, b$. b) Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji $f$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Wskazówki: 1. Oblicz pochodną $f'(x)$. Pamiętaj, że pochodna $x^n$ to $nx^{n-1}$, a pochodna stałej to $0$. 2. Warunek $f'(x) > 0 \iff x \in (-2, 3)$ oznacza, że miejsca zerowe pochodnej, czyli pierwiastki równania $f'(x)=0$, to $x_1 = -2$ i $x_2 = 3$. 3. Funkcja $f'(x)$ jest funkcją kwadratową. Możesz ją zapisać w postaci iloczynowej $f'(x) = k(x-x_1)(x-x_2)$. Pamiętaj, że $k$ jest współczynnikiem przy $x^2$ w pochodnej. 4. Porównaj współczynniki pochodnej otrzymanej z różniczkowania z postacią iloczynową, aby znaleźć $a$ i $b$. 5. Monotoniczność określasz na podstawie znaku $f'(x)$. Jeśli $f'(x) \ge 0$, funkcja rośnie; jeśli $f'(x) \le 0$, funkcja maleje. Rozwiązanie: 1. Obliczamy pochodną funkcji $f(x)$. Funkcja to $f(x) = -x^3 + ax^2 + bx + 10$. Pochodna $f'(x)$ to suma pochodnych poszczególnych składników: Pochodna $-x^3$ wynosi $-3x^2$. Pochodna $ax^2$ wynosi $2ax$. Pochodna $bx$ wynosi $b$. Pochodna stałej $10$ wynosi $0$. Zatem:$$f'(x) = -3x^2 + 2ax + b$$2. Wykorzystujemy informację o znaku pochodnej. Wiemy, że $f'(x) > 0$ dokładnie wtedy, gdy $x \in (-2, 3)$. Oznacza to, że funkcja kwadratowa $f'(x)$ ma miejsca zerowe (pierwiastki) w punktach $x_1 = -2$ oraz $x_2 = 3$. Ponieważ $f'(x)$ jest dodatnia między pierwiastkami, musi to być parabola skierowana ramionami w dół. To się zgadza, ponieważ współczynnik przy $x^2$ w $f'(x)$ jest równy $-3$ (czyli jest ujemny). 3. Zapisujemy $f'(x)$ w postaci iloczynowej. Skoro znamy pierwiastki $x_1 = -2$ i $x_2 = 3$, możemy zapisać $f'(x)$ w postaci $f'(x) = k(x - x_1)(x - x_2)$, gdzie $k$ jest współczynnikiem kierunkowym. Z kroku 1 wiemy, że $k = -3$. Podstawiamy pierwiastki i $k$:$$f'(x) = -3(x - (-2))(x - 3) = -3(x + 2)(x - 3)$$4. Przekształcamy postać iloczynową do ogólnej, aby znaleźć $a$ i $b$. Najpierw mnożymy nawiasy:$$(x + 2)(x - 3) = x \cdot x - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$$Teraz mnożymy przez $k = -3$:$$f'(x) = -3(x^2 - x - 6) = -3x^2 + (-3) \cdot (-x) + (-3) \cdot (-6) = -3x^2 + 3x + 18$$5. Porównujemy współczynniki (Rozwiązanie podpunktu a). Mamy dwie postacie pochodnej: I. $f'(x) = -3x^2 + 2ax + b$ (z różniczkowania) II. $f'(x) = -3x^2 + 3x + 18$ (z postaci iloczynowej) Porównujemy współczynniki przy $x$:$$2a = 3$$Dzielimy obie strony przez 2:$$a = \frac{3}{2}$$Porównujemy wyrazy wolne:$$b = 18$$Odpowiedź do podpunktu a): $a = \frac{3}{2}$ i $b = 18$. 6. Wyznaczamy przedziały monotoniczności (Rozwiązanie podpunktu b). Monotoniczność zależy od znaku $f'(x) = -3x^2 + 3x + 18$. Wiemy, że $f'(x) > 0$ dla $x \in (-2, 3)$. Zatem funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $[-2, 3]$. Pochodna jest ujemna, gdy $x$ leży poza tym przedziałem, czyli $f'(x) < 0$ dla $x \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty)$. Zatem funkcja $f$ jest malejąca w tych przedziałach. Maksymalne przedziały monotoniczności to: Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $[-2, 3]$. Funkcja $f$ jest malejąca w przedziałach $(-\infty, -2]$ oraz $[3, \infty]$.

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji $f$: a) $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 7$ b) $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 - 8x + 2$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (2 pkt)

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji $f$: a) $f(x)=-\frac{3}{4}x^4 + 3x^3 - 1$ b) $f(x)=\frac{1}{4}x^4 - x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 3x + 10$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (2 pkt)

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji $f$: a) $f(x)=\frac{x^2 + 5x + 3}{x + 5}$ b) $f(x)=\frac{4x^2 - 16x + 16}{x - 5}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (2 pkt)

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji $f$: a) $$f(x)=\begin{cases} \frac{x^2 - 16}{x^2 + 4}, & \text{jeśli } x < 4 \\ x^3 - 4x^2, & \text{jeśli } x \ge 4 \end{cases}$$ b) $$f(x)=\begin{cases} \frac{x^2 + 20}{x^2 + 5}, & \text{jeśli } x < 4 \\ \frac{2x^2 - 3}{x^2 - 7}, & \text{jeśli } x \ge 4 \end{cases}$$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (2 pkt)

O funkcji $f(x) = -x^3 + ax^2 + bx - 5$, $x \in R$, wiadomo, że: $f'(x) > 0 \iff x \in \left(-\frac{1}{2}, 4\right)$ a) Oblicz współczynniki $a, b$. b) Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji $f$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

22.13 Pochodna funkcji a monotoniczność funkcji

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Zadanie 2 (2 pkt)

Zadanie 3 (2 pkt)

Zadanie 4 (2 pkt)

Zadanie 5 (2 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Zadanie 2 (2 pkt)

Zadanie 3 (2 pkt)

Zadanie 4 (2 pkt)

Zadanie 5 (2 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋