Wskazówki a) Aby obliczyć, na ile sposobów książki A i B nie stoją obok siebie, najłatwiej jest zastosować metodę dopełnienia. Najpierw oblicz wszystkie możliwe ustawienia 7 książek, a potem odejmij od nich te sytuacje, w których książki A i B stoją bezpośrednio obok siebie (traktując je wtedy jako jeden zespolony element). b) Wyobraź sobie, że książki A i B tworzą sztywny układ z trzema pustymi miejscami pomiędzy nimi. Zastanów się, na ilu różnych pozycjach na półce (składającej się z 7 miejsc) może zmieścić się taki blok. Pamiętaj, że A i B mogą zamienić się miejscami, a pozostałe 5 książek również musisz rozmieścić na wolnych miejscach. --- Rozwiązanie a) Krok 1: Najpierw obliczamy całkowitą liczbę sposobów, na jakie można ustawić 7 różnych książek na półce bez żadnych ograniczeń. Korzystamy ze wzoru na permutacje:$$P_{7} = 7! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 5040$$Krok 2: Teraz obliczamy liczbę złych ustawień, czyli takich, w których książki A i B stoją obok siebie. Aby to zrobić, traktujemy książki A i B jak jeden wspólny element (blok). Zamiast 7 oddzielnych obiektów, mamy teraz 1 blok (A i B) oraz 5 pozostałych książek. To daje nam razem 6 elementów do ustawienia:$$P_{6} = 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$$Krok 3: Musimy jednak uwzględnić, że wewnątrz naszego bloku książki mogą stać w kolejności (A, B) lub (B, A). Są więc 2 sposoby ustawienia książek wewnątrz tego bloku:$$2! = 1 \cdot 2 = 2$$Krok 4: Mnożymy liczbę ustawień 6 elementów przez liczbę ustawień wewnątrz bloku:$$720 \cdot 2 = 1440$$To jest liczba ustawień, w których A i B są obok siebie. Krok 5: Aby otrzymać wynik dla podpunktu a, odejmujemy złe ustawienia od wszystkich możliwych:$$5040 - 1440 = 3600$$Odpowiedź: Książki A i B nie stoją obok siebie na 3600 sposobów. --- b) Krok 1: Wyobraźmy sobie układ, w którym między A i B są dokładnie 3 miejsca: (A, _, _, _, B). Taki blok zajmuje łącznie 5 miejsc na półce (książka A + 3 książki pomiędzy + książka B). Sprawdźmy, na ilu pozycjach na siedmiomiejscowej półce możemy położyć taki blok: 1. Blok zaczyna się na 1. miejscu i kończy na 5. miejscu. 2. Blok zaczyna się na 2. miejscu i kończy na 6. miejscu. 3. Blok zaczyna się na 3. miejscu i kończy na 7. miejscu. Mamy więc 3 możliwe położenia tego układu. Krok 2: W każdym z tych trzech położeń książki A i B mogą zamienić się miejscami (A na początku, B na końcu lub odwrotnie). Daje to 2 możliwości:$$2! = 2$$Krok 3: Mamy teraz rozmieszczone książki A i B. Zostało nam 5 wolnych miejsc na półce (3 miejsca pomiędzy nimi i 2 miejsca poza blokiem). Musimy tam rozmieścić pozostałe 5 książek. Liczba sposobów na ich ułożenie to:$$P_{5} = 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$$Krok 4: Łączymy wszystkie te informacje, mnożąc je przez siebie:$$3 \cdot 2 \cdot 120 = 6 \cdot 120 = 720$$Odpowiedź: Istnieje 720 sposobów, aby między książkami A i B stały dokładnie trzy inne książki.