20.6 Okrąg opisany na czworokącie, okrąg wpisany w czworokąt – zadania na dowodzenie
Kartkówka
Grupa A
Zadanie 1 (3 pkt)
W trójkącie prostokątnym $ABC$ przeciwprostokątna $AB$ stanowi bok kwadratu zbudowanego na tym odcinku. Trójkąt $ABC$ oraz kwadrat znajdują się po przeciwnych stronach prostej $AB$. Punkt $O$ oznacza punkt przecięcia przekątnych kwadratu. Udowodnij, że półprosta $\overrightarrow{CO}$ jest dwusieczną kąta $ACB$.
Zadanie 2 (3 pkt)
W trójkącie $ABC$ dany jest kąt rozwarty przy wierzchołku $A$. Odcinki $AP$, $BQ$ oraz $CR$ są wysokościami opuszczonymi z odpowiednich wierzchołków trójkąta. Udowodnij, że prosta $AB$ jest dwusieczną kąta $QRP$ w trójkącie $PRQ$.
Zadanie 3 (3 pkt)
Udowodnij, że w każdym czworokącie wpisanym w okrąg, w którym pewna para boków przeciwległych ma jednakową długość, przekątne tego czworokąta również są równej długości.
Zadanie 4 (3 pkt)
W trójkącie $ABC$ wpisanym w okrąg z punktu $A$ poprowadzono styczną do tego okręgu. Następnie wyznaczono sieczną równoległą do tej stycznej, która przecina boki $AC$ i $AB$ odpowiednio w punktach $D$ i $E$. Udowodnij, że czworokąt $CDEB$ jest figurą, na której można opisać okrąg.
Zadanie 5 (3 pkt)
W ostrokątnym trójkącie $ABC$ wyznaczono punkt $C_1$ na boku $AB$, punkt $B_1$ na boku $AC$ oraz punkt $A_1$ na boku $BC$. Na trójkątach $A_1B_1C$ i $AC_1B_1$ opisano okręgi, które przecinają się w punktach $B_1$ oraz $M$. Udowodnij, że punkt $M$ leży na okręgu opisanym na trójkącie $C_1BA_1$.
Grupa B
Zadanie 1 (3 pkt)
W trójkącie prostokątnym równoramiennym $ABC$ z kątem prostym przy wierzchołku $C$, przeciwprostokątna $AB$ stanowi bok kwadratu $ABDE$ zbudowanego na tym odcinku. Trójkąt $ABC$ oraz kwadrat znajdują się po przeciwnych stronach prostej $AB$. Punkt $O$ oznacza punkt przecięcia przekątnych kwadratu. Oblicz miarę kąta $\angle ACO$.
Zadanie 2 (3 pkt)
W trójkącie ostrokątnym $ABC$, $BQ$ oraz $CR$ są wysokościami opuszczonymi odpowiednio z wierzchołków $B$ i $C$. Udowodnij, że punkty $B, C, Q, R$ leżą na jednym okręgu.
Zadanie 3 (3 pkt)
Udowodnij, że w każdym trapezie równoramiennym przekątne są równej długości.
Zadanie 4 (3 pkt)
W trójkącie $ABC$ punkty $D$ i $E$ leżą odpowiednio na bokach $AC$ i $AB$. Wiadomo, że $\angle AED = \angle ACB$. Udowodnij, że czworokąt $CDEB$ jest figurą, na której można opisać okrąg.
Zadanie 5 (3 pkt)
W trójkącie ostrokątnym $ABC$ poprowadzono wysokości $AD$ i $BE$, gdzie $D$ leży na boku $BC$, a $E$ na boku $AC$. Punkt $H$ jest ortocentrum trójkąta (punktem przecięcia wysokości). Udowodnij, że punkty $A, E, H, D$ leżą na jednym okręgu.