Oznaczmy dane: średnica okręgu $d = 26$ cm, dłuższa podstawa trapezu $a = 24$ cm, wysokość trapezu $h = 7$ cm. Szukamy długości krótszej podstawy $b$. Promień okręgu $r$ jest równy połowie średnicy:\[r = \frac{d}{2} = \frac{26}{2} = 13 \ \text{cm}\]Obliczmy odległość $d_a$ dłuższej podstawy od środka okręgu. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta o bokach $r$, $a/2$ i $d_a$ mamy:\[r^2 = (\frac{a}{2})^2 + d_a^2\]\[13^2 = (\frac{24}{2})^2 + d_a^2\]\[169 = 12^2 + d_a^2\]\[169 = 144 + d_a^2\]\[d_a^2 = 25 \implies d_a = 5 \ \text{cm}\]Oznaczmy odległość krótszej podstawy od środka okręgu jako $d_b$. Rozważmy dwa przypadki: 1. Środek okręgu leży między podstawami. Wtedy $h = d_a + d_b$.\[7 = 5 + d_b \implies d_b = 2 \ \text{cm}\]Obliczamy długość podstawy $b$ dla $d_b = 2$ cm:\[13^2 = (\frac{b}{2})^2 + 2^2\]\[169 = (\frac{b}{2})^2 + 4\]\[(\frac{b}{2})^2 = 165 \implies b = 2\sqrt{165} \ \text{cm}\]Sprawdzamy warunek: $2\sqrt{165} \approx 2 \cdot 12.85 = 25.7$ cm. Ponieważ $25.7 > 24$, ta opcja jest sprzeczna z założeniem, że $a$ jest dłuższą podstawą. 2. Obie podstawy leżą po tej samej stronie środka okręgu. Wtedy $h = |d_a - d_b|$.\[7 = |5 - d_b|\]To równanie ma dwa rozwiązania: $5 - d_b = 7 \implies d_b = -2$. Odległość nie może być ujemna. lub $5 - d_b = -7 \implies d_b = 12$ cm. Obliczamy długość podstawy $b$ dla $d_b = 12$ cm:\[13^2 = (\frac{b}{2})^2 + 12^2\]\[169 = (\frac{b}{2})^2 + 144\]\[(\frac{b}{2})^2 = 25 \implies \frac{b}{2} = 5 \implies b = 10 \ \text{cm}\]Sprawdzamy warunek: $10 < 24$. Ten wynik jest zgodny z założeniami zadania. Zatem jedynym możliwym rozwiązaniem jest $b=10$ cm.