Aby obliczyć wysokości trójkąta, najpierw musimy znaleźć współrzędne jego wierzchołków. Wierzchołki są punktami przecięcia prostych, w których zawierają się boki trójkąta. Krok 1: Wyznaczenie współrzędnych wierzchołków. Wierzchołek A (przecięcie prostych k i l):\[ \begin{cases} y - 3 = 0 \\ x + y - 1 = 0 \end{cases} \]Z pierwszego równania mamy $y = 3$. Podstawiamy do drugiego równania:\[ x + 3 - 1 = 0 \implies x = -2 \]Zatem $A = (-2, 3)$. Wierzchołek B (przecięcie prostych k i m):\[ \begin{cases} y - 3 = 0 \\ 4x - 3y + 12 = 0 \end{cases} \]Z pierwszego równania mamy $y = 3$. Podstawiamy do drugiego równania:\[ 4x - 3(3) + 12 = 0 \]\[ 4x - 9 + 12 = 0 \]\[ 4x = -3 \implies x = -\frac{3}{4} \]Zatem $B = (-\frac{3}{4}, 3)$. Wierzchołek C (przecięcie prostych l i m):\[ \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ 4x - 3y + 12 = 0 \end{cases} \]Z pierwszego równania wyznaczamy $x = 1 - y$ i podstawiamy do drugiego:\[ 4(1 - y) - 3y + 12 = 0 \]\[ 4 - 4y - 3y + 12 = 0 \]\[ -7y = -16 \implies y = \frac{16}{7} \]Podstawiamy $y=\frac{16}{7}$ do wyrażenia na $x$:\[ x = 1 - \frac{16}{7} = \frac{7}{7} - \frac{16}{7} = -\frac{9}{7} \]Zatem $C = (-\frac{9}{7}, \frac{16}{7})$. Krok 2: Obliczenie wysokości. Korzystamy ze wzoru na odległość punktu $P(x_0, y_0)$ od prostej $Ax + By + C = 0$: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$. Wysokość $h_A$ z wierzchołka A na prostą m ($4x - 3y + 12 = 0$):\[ h_A = \frac{|4(-2) - 3(3) + 12|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|-8 - 9 + 12|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|-5|}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1 \]Wysokość $h_B$ z wierzchołka B na prostą l ($x + y - 1 = 0$):\[ h_B = \frac{|(-\frac{3}{4}) + 3 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-\frac{3}{4} + 2|}{\sqrt{2}} = \frac{|\frac{5}{4}|}{\sqrt{2}} = \frac{5}{4\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{8} \]Wysokość $h_C$ z wierzchołka C na prostą k ($y - 3 = 0$):\[ h_C = \frac{|0(-\frac{9}{7}) + 1(\frac{16}{7}) - 3|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|\frac{16}{7} - \frac{21}{7}|}{1} = |-\frac{5}{7}| = \frac{5}{7} \]