Odcinek w układzie współrzędnych kartkówka LiczBit

14.1 Odcinek w układzie współrzędnych

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Oblicz długość odcinka $AB$, jeśli: a) $A\left(5, 2\right), B\left(1, 5\right)$ b) $A\left(\sqrt{3}+1, \sqrt{3}\right), B\left(-1, 2\right)$ c) $A\left(2\frac{1}{4}, 4\right), B\left(\frac{1}{4}, -2\right)$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Wskazówki: 1. Skorzystaj ze wzoru na odległość między dwoma punktami$$d(A, B) = \sqrt{\left(x_B - x_A\right)^2 + \left(y_B - y_A\right)^2}$$2. Pamiętaj, że kwadraty liczb całkowitych w podpunkcie a) dadzą w sumie liczbę, z której da się wyciągnąć pierwiastek całkowity. 3. W podpunkcie c) zamień ułamek mieszany $2\frac{1}{4}$ na ułamek niewłaściwy $\frac{9}{4}$. Zauważ, że odejmowanie współrzędnych $x$ znacznie się uprości. 4. W podpunkcie b) zwróć uwagę, że po podniesieniu do kwadratu wyrażeń z pierwiastkami, składniki z $\sqrt{3}$ mogą się zredukować. Rozwiązanie: Aby obliczyć długość odcinka $AB$, musimy skorzystać ze wzoru na odległość między dwoma punktami w układzie współrzędnych:$$d(A, B) = \sqrt{\left(x_B - x_A\right)^2 + \left(y_B - y_A\right)^2}$$a) Obliczanie długości odcinka dla $A\left(5, 2\right)$ i $B\left(1, 5\right)$ 1. Identyfikujemy współrzędne: $x_A = 5$, $y_A = 2$, $x_B = 1$, $y_B = 5$. 2. Podstawiamy współrzędne do wzoru:$$d = \sqrt{\left(1 - 5\right)^2 + \left(5 - 2\right)^2}$$3. Wykonujemy odejmowanie w nawiasach:$$d = \sqrt{\left(-4\right)^2 + \left(3\right)^2}$$4. Podnosimy liczby do kwadratu: $\left(-4\right)^2 = 16$ i $3^2 = 9$.$$d = \sqrt{16 + 9}$$5. Dodajemy liczby pod pierwiastkiem:$$d = \sqrt{25}$$6. Obliczamy pierwiastek:$$d = 5$$b) Obliczanie długości odcinka dla $A\left(\sqrt{3}+1, \sqrt{3}\right)$ i $B\left(-1, 2\right)$ 1. Identyfikujemy współrzędne: $x_A = \sqrt{3}+1$, $y_A = \sqrt{3}$, $x_B = -1$, $y_B = 2$. 2. Podstawiamy współrzędne do wzoru:$$d = \sqrt{\left(-1 - \left(\sqrt{3}+1\right)\right)^2 + \left(2 - \sqrt{3}\right)^2}$$3. Upraszczamy wyrażenia w nawiasach: Dla współrzędnej $x$: $-1 - \sqrt{3} - 1 = -2 - \sqrt{3}$. Dla współrzędnej $y$: $2 - \sqrt{3}$.$$d = \sqrt{\left(-2 - \sqrt{3}\right)^2 + \left(2 - \sqrt{3}\right)^2}$$4. Obliczamy kwadraty, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia: $\left(-2 - \sqrt{3}\right)^2 = \left(2 + \sqrt{3}\right)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + \left(\sqrt{3}\right)^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$. $\left(2 - \sqrt{3}\right)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + \left(\sqrt{3}\right)^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$. 5. Podstawiamy wyniki kwadratów z powrotem do wzoru na odległość:$$d = \sqrt{\left(7 + 4\sqrt{3}\right) + \left(7 - 4\sqrt{3}\right)}$$6. Dodajemy wyrażenia pod pierwiastkiem. Zauważamy, że $4\sqrt{3}$ i $-4\sqrt{3}$ się redukują (ich suma wynosi $0$):$$d = \sqrt{7 + 7} = \sqrt{14}$$c) Obliczanie długości odcinka dla $A\left(2\frac{1}{4}, 4\right)$ i $B\left(\frac{1}{4}, -2\right)$ 1. Zamieniamy ułamek mieszany na niewłaściwy: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$. Współrzędne to: $x_A = \frac{9}{4}$, $y_A = 4$, $x_B = \frac{1}{4}$, $y_B = -2$. 2. Podstawiamy współrzędne do wzoru:$$d = \sqrt{\left(\frac{1}{4} - \frac{9}{4}\right)^2 + \left(-2 - 4\right)^2}$$3. Upraszczamy wyrażenia w nawiasach: Dla współrzędnej $x$: $\frac{1}{4} - \frac{9}{4} = \frac{-8}{4} = -2$. Dla współrzędnej $y$: $-2 - 4 = -6$.$$d = \sqrt{\left(-2\right)^2 + \left(-6\right)^2}$$4. Podnosimy do kwadratu: $\left(-2\right)^2 = 4$ i $\left(-6\right)^2 = 36$.$$d = \sqrt{4 + 36}$$5. Dodajemy liczby pod pierwiastkiem:$$d = \sqrt{40}$$6. Upraszczamy pierwiastek: $40 = 4 \cdot 10$.$$d = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$$

Zadanie 2 (2 pkt)

Wyznacz współrzędne środka odcinka $AB$, jeśli: a) $A\left(5, -8\right)$, $B\left(-3, 12\right)$ b) $A\left(3\sqrt{5}, 1\right)$, $B\left(-\sqrt{5}, 5\right)$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Wskazówki: 1. Pamiętaj, że współrzędne środka odcinka $S\left(x_S, y_S\right)$ to średnia arytmetyczna współrzędnych jego końców $A\left(x_A, y_A\right)$ i $B\left(x_B, y_B\right)$. Użyj wzorów: $x_S = \frac{x_A + x_B}{2}$ oraz $y_S = \frac{y_A + y_B}{2}$. 2. W podpunkcie a) zwróć uwagę na dodawanie liczb o różnych znakach, np. $5 + \left(-3\right)$ oraz $-8 + 12$. 3. W podpunkcie b) przy obliczaniu $x_S$ dodajesz $3\sqrt{5} + \left(-\sqrt{5}\right)$, co daje $2\sqrt{5}$. Pamiętaj o skróceniu ułamka. Rozwiązanie: Środek odcinka $AB$, oznaczony jako $S\left(x_S, y_S\right)$, wyznaczamy za pomocą wzoru na średnią arytmetyczną współrzędnych końców $A\left(x_A, y_A\right)$ i $B\left(x_B, y_B\right)$:$$x_S = \frac{x_A + x_B}{2}$$$$y_S = \frac{y_A + y_B}{2}$$a) $A\left(5, -8\right)$, $B\left(-3, 12\right)$ 1. Obliczamy współrzędną $x_S$. Podstawiamy współrzędne $x$ punktów $A$ i $B$ do wzoru: $x_S = \frac{5 + \left(-3\right)}{2}$. 2. Wykonujemy dodawanie w liczniku. $5 + \left(-3\right) = 5 - 3 = 2$. 3. Dzielimy wynik przez $2$.$$x_S = \frac{2}{2} = 1$$4. Obliczamy współrzędną $y_S$. Podstawiamy współrzędne $y$ punktów $A$ i $B$ do wzoru: $y_S = \frac{-8 + 12}{2}$. 5. Wykonujemy dodawanie w liczniku. $-8 + 12 = 4$. 6. Dzielimy wynik przez $2$.$$y_S = \frac{4}{2} = 2$$7. Współrzędne środka $S$ dla podpunktu a) to $S\left(1, 2\right)$. b) $A\left(3\sqrt{5}, 1\right)$, $B\left(-\sqrt{5}, 5\right)$ 1. Obliczamy współrzędną $x_S$. Podstawiamy współrzędne $x$ punktów $A$ i $B$ do wzoru: $x_S = \frac{3\sqrt{5} + \left(-\sqrt{5}\right)}{2}$. 2. Wykonujemy dodawanie w liczniku. Traktujemy $\sqrt{5}$ jak zmienną. $3\sqrt{5} - 1\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$. 3. Dzielimy wynik przez $2$.$$x_S = \frac{2\sqrt{5}}{2}$$Dwójki się skracają. $x_S = \sqrt{5}$. 4. Obliczamy współrzędną $y_S$. Podstawiamy współrzędne $y$ punktów $A$ i $B$ do wzoru: $y_S = \frac{1 + 5}{2}$. 5. Wykonujemy dodawanie w liczniku. $1 + 5 = 6$. 6. Dzielimy wynik przez $2$.$$y_S = \frac{6}{2} = 3$$7. Współrzędne środka $S$ dla podpunktu b) to $S\left(\sqrt{5}, 3\right)$.

Zadanie 3 (3 pkt)

Dane są dwa wierzchołki równoległoboku $ABCD$ i punkt $P$ przecięcia się przekątnych. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków równoległoboku, jeśli: $A\left(1, 4\right)$, $B\left(5, 2\right)$, $P\left(3, 0\right)$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Wskazówki: 1. Pamiętaj, że przekątne równoległoboku przecinają się w punkcie $P$, który jest ich środkiem. 2. Wykorzystaj wzór na środek odcinka $M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ dla przekątnych $AC$ i $BD$. 3. Najpierw znajdź $C$ korzystając z $A$ i $P$. Następnie znajdź $D$ korzystając z $B$ i $P$. Rozwiązanie: 1. Wykorzystanie własności równoległoboku: Punkt $P\left(3, 0\right)$ jest środkiem obu przekątnych: $AC$ i $BD$. 2. Wzór na środek odcinka: Stosujemy wzór $x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$ i $y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$. 3. Obliczanie współrzędnych wierzchołka C: $P\left(3, 0\right)$ jest środkiem $AC$, gdzie $A\left(1, 4\right)$ i $C\left(x_C, y_C\right)$. a) Obliczanie $x_C$: Ustawiamy równanie dla współrzędnej $x$: $x_P = \frac{x_A + x_C}{2}$. Podstawiamy:$$3 = \frac{1 + x_C}{2}$$b) Mnożymy obie strony przez $2$: $3 \cdot 2 = 1 + x_C$, czyli$$6 = 1 + x_C$$c) Przenosimy $1$ na lewą stronę ze zmianą znaku: $6 - 1 = x_C$. Zatem $x_C = 5$. d) Obliczanie $y_C$: Ustawiamy równanie dla współrzędnej $y$: $y_P = \frac{y_A + y_C}{2}$. Podstawiamy:$$0 = \frac{4 + y_C}{2}$$e) Mnożymy obie strony przez $2$: $0 \cdot 2 = 4 + y_C$, czyli$$0 = 4 + y_C$$f) Przenosimy $4$ na lewą stronę ze zmianą znaku: $0 - 4 = y_C$. Zatem $y_C = -4$. Współrzędne wierzchołka $C$ to $C\left(5, -4\right)$. 4. Obliczanie współrzędnych wierzchołka D: $P\left(3, 0\right)$ jest środkiem $BD$, gdzie $B\left(5, 2\right)$ i $D\left(x_D, y_D\right)$. a) Obliczanie $x_D$: Ustawiamy równanie dla współrzędnej $x$: $x_P = \frac{x_B + x_D}{2}$. Podstawiamy:$$3 = \frac{5 + x_D}{2}$$b) Mnożymy obie strony przez $2$:$$6 = 5 + x_D$$c) Przenosimy $5$ na lewą stronę ze zmianą znaku: $6 - 5 = x_D$. Zatem $x_D = 1$. d) Obliczanie $y_D$: Ustawiamy równanie dla współrzędnej $y$: $y_P = \frac{y_B + y_D}{2}$. Podstawiamy:$$0 = \frac{2 + y_D}{2}$$e) Mnożymy obie strony przez $2$:$$0 = 2 + y_D$$f) Przenosimy $2$ na lewą stronę ze zmianą znaku: $-2 = y_D$. Zatem $y_D = -2$. Współrzędne wierzchołka $D$ to $D\left(1, -2\right)$. 5. Rysowanie równoległoboku: Rysujemy równoległobok o wierzchołkach $A\left(1, 4\right)$, $B\left(5, 2\right)$, $C\left(5, -4\right)$ i $D\left(1, -2\right).$

Zadanie 4 (3 pkt)

Oblicz długości przekątnych równoległoboku $ABCD$, jeśli: $A\left(1, 2\right)$, $B\left(5, 0\right)$, $C\left(3, 6\right)$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Wskazówki: 1. Aby obliczyć długość przekątnej $AC$, użyj wzoru na odległość między dwoma punktami w układzie współrzędnych: $d = \sqrt{\left(x_2 - x_1\right)^2 + \left(y_2 - y_1\right)^2}$. 2. Pamiętaj, że w równoległoboku przekątne przecinają się dokładnie w połowie. Wykorzystaj tę własność, aby znaleźć współrzędne czwartego wierzchołka $D$. 3. Najpierw znajdź środek $S$ odcinka $AC$, korzystając ze wzoru na środek odcinka: $S = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$. 4. Następnie wykorzystaj fakt, że $S$ jest również środkiem odcinka $BD$, aby wyznaczyć współrzędne $D$. 5. Na koniec oblicz długość przekątnej $BD$ za pomocą wzoru na odległość. Rozwiązanie: 1. Obliczenie długości przekątnej $AC$. Wykorzystujemy wzór na odległość między dwoma punktami $P_1\left(x_1, y_1\right)$ i $P_2\left(x_2, y_2\right)$: $d = \sqrt{\left(x_2 - x_1\right)^2 + \left(y_2 - y_1\right)^2}$. Podstawiamy współrzędne punktów $A\left(1, 2\right)$ i $C\left(3, 6\right)$.$$|AC| = \sqrt{\left(3 - 1\right)^2 + \left(6 - 2\right)^2}$$Obliczamy różnice w nawiasach: $3 - 1 = 2$ oraz $6 - 2 = 4$.$$|AC| = \sqrt{\left(2\right)^2 + \left(4\right)^2}$$Podnosimy do kwadratu: $2^2 = 4$ oraz $4^2 = 16$.$$|AC| = \sqrt{4 + 16}$$Sumujemy: $4 + 16 = 20$.$$|AC| = \sqrt{20}$$Upraszczamy pierwiastek, wiedząc, że $20 = 4 \cdot 5$: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$. Długość przekątnej $AC$ wynosi $2\sqrt{5}$. 2. Wyznaczenie współrzędnych środka $S$ przekątnej $AC$. W równoległoboku przekątne przecinają się w połowie. Środek $S$ przekątnej $AC$ jest również środkiem przekątnej $BD$. Obliczamy współrzędne środka $S$ odcinka $AC$ za pomocą wzoru: $S = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right)$.$$x_S = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$$$y_S = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$$Środek $S$ ma współrzędne $S\left(2, 4\right)$. 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka $D$. Wiemy, że $S\left(2, 4\right)$ jest środkiem odcinka $BD$, gdzie $B\left(5, 0\right)$ i $D\left(x_D, y_D\right)$. Korzystamy ponownie ze wzoru na środek odcinka: Dla współrzędnej $x$: $x_S = \frac{x_B + x_D}{2}$.$$2 = \frac{5 + x_D}{2}$$Mnożymy obie strony przez 2: $2 \cdot 2 = 5 + x_D$, czyli $4 = 5 + x_D$. Odejmujemy 5 od obu stron, aby wyznaczyć $x_D$: $x_D = 4 - 5 = -1$. Dla współrzędnej $y$: $y_S = \frac{y_B + y_D}{2}$.$$4 = \frac{0 + y_D}{2}$$Mnożymy obie strony przez 2: $4 \cdot 2 = y_D$, czyli $8 = y_D$. Współrzędne wierzchołka $D$ to $D\left(-1, 8\right)$. 4. Obliczenie długości przekątnej $BD$. Korzystamy ze wzoru na odległość dla punktów $B\left(5, 0\right)$ i $D\left(-1, 8\right)$.$$|BD| = \sqrt{\left(-1 - 5\right)^2 + \left(8 - 0\right)^2}$$Obliczamy różnice w nawiasach: $-1 - 5 = -6$ oraz $8 - 0 = 8$.$$|BD| = \sqrt{\left(-6\right)^2 + \left(8\right)^2}$$Podnosimy do kwadratu: $\left(-6\right)^2 = 36$ oraz $8^2 = 64$.$$|BD| = \sqrt{36 + 64}$$Sumujemy: $36 + 64 = 100$.$$|BD| = \sqrt{100}$$Obliczamy pierwiastek: $|BD| = 10$. Długości przekątnych równoległoboku wynoszą $2\sqrt{5}$ i $10$.

Zadanie 5 (3 pkt)

Dany jest trójkąt $ABC$, gdzie: $A\left(1, 2\right)$, $B\left(7, 4\right)$, $C\left(3, 10\right)$. Oblicz długość środkowej: a) $AD$ b) $BE$ c) $CF$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Wskazówki: 1. Przypomnij sobie definicję środkowej w trójkącie. Środkowa łączy wierzchołek z środkiem przeciwległego boku. 2. Aby obliczyć długość środkowej (np. $AD$), musisz najpierw znaleźć współrzędne punktu $D$, który jest środkiem boku $BC$. 3. Skorzystaj ze wzoru na środek odcinka: $M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$. 4. Gdy masz już współrzędne obu końców środkowej (np. $A$ i $D$), użyj wzoru na odległość między dwoma punktami: $d = \sqrt{\left(x_2 - x_1\right)^2 + \left(y_2 - y_1\right)^2}$. Rozwiązanie: Zadanie polega na obliczeniu długości trzech środkowych w trójkącie $ABC$. Środkowa to odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. Dane wierzchołki to $A\left(1, 2\right)$, $B\left(7, 4\right)$, $C\left(3, 10\right)$. a) Obliczenie długości środkowej $AD$: 1. Znajdujemy współrzędne punktu $D$. Punkt $D$ jest środkiem boku $BC$. Stosujemy wzór na środek odcinka dla $B\left(7, 4\right)$ i $C\left(3, 10\right)$.$$D = \left( \frac{7 + 3}{2}, \frac{4 + 10}{2} \right)$$2. Wykonujemy dodawanie w licznikach:$$D = \left( \frac{10}{2}, \frac{14}{2} \right)$$3. Wykonujemy dzielenie, aby otrzymać współrzędne punktu $D$:$$D = \left(5, 7\right)$$4. Obliczamy długość odcinka $AD$. Mamy punkty $A\left(1, 2\right)$ i $D\left(5, 7\right)$. Stosujemy wzór na odległość.$$|AD| = \sqrt{\left( 5 - 1 \right)^2 + \left( 7 - 2 \right)^2}$$5. Upraszczamy wyrażenia w nawiasach:$$|AD| = \sqrt{4^2 + 5^2}$$6. Obliczamy kwadraty:$$|AD| = \sqrt{16 + 25}$$7. Wykonujemy dodawanie:$$|AD| = \sqrt{41}$$b) Obliczenie długości środkowej $BE$: 1. Znajdujemy współrzędne punktu $E$. Punkt $E$ jest środkiem boku $AC$. Stosujemy wzór na środek odcinka dla $A\left(1, 2\right)$ i $C\left(3, 10\right)$.$$E = \left( \frac{1 + 3}{2}, \frac{2 + 10}{2} \right)$$2. Wykonujemy dodawanie w licznikach:$$E = \left( \frac{4}{2}, \frac{12}{2} \right)$$3. Wykonujemy dzielenie, aby otrzymać współrzędne punktu $E$:$$E = \left(2, 6\right)$$4. Obliczamy długość odcinka $BE$. Mamy punkty $B\left(7, 4\right)$ i $E\left(2, 6\right)$. Stosujemy wzór na odległość.$$|BE| = \sqrt{\left( 2 - 7 \right)^2 + \left( 6 - 4 \right)^2}$$5. Upraszczamy wyrażenia w nawiasach:$$|BE| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2}$$6. Obliczamy kwadraty:$$|BE| = \sqrt{25 + 4}$$7. Wykonujemy dodawanie:$$|BE| = \sqrt{29}$$c) Obliczenie długości środkowej $CF$: 1. Znajdujemy współrzędne punktu $F$. Punkt $F$ jest środkiem boku $AB$. Stosujemy wzór na środek odcinka dla $A\left(1, 2\right)$ i $B\left(7, 4\right)$.$$F = \left( \frac{1 + 7}{2}, \frac{2 + 4}{2} \right)$$2. Wykonujemy dodawanie w licznikach:$$F = \left( \frac{8}{2}, \frac{6}{2} \right)$$3. Wykonujemy dzielenie, aby otrzymać współrzędne punktu $F$:$$F = \left(4, 3\right)$$4. Obliczamy długość odcinka $CF$. Mamy punkty $C\left(3, 10\right)$ i $F\left(4, 3\right)$. Stosujemy wzór na odległość.$$|CF| = \sqrt{\left( 4 - 3 \right)^2 + \left( 3 - 10 \right)^2}$$5. Upraszczamy wyrażenia w nawiasach:$$|CF| = \sqrt{1^2 + (-7)^2}$$6. Obliczamy kwadraty:$$|CF| = \sqrt{1 + 49}$$7. Wykonujemy dodawanie i upraszczamy pierwiastek:$$|CF| = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$$

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Oblicz długość odcinka $AB$, jeśli: a) $A\left(-3, 8\right), B\left(5, 2\right)$ b) $A\left(3\sqrt{2}, 5\right), B\left(\sqrt{2}, 1\right)$ c) $A\left(-1, 1\frac{1}{2}\right), B\left(5, 4\frac{1}{2}\right)$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (2 pkt)

Wyznacz współrzędne środka odcinka $AB$, jeśli: a) $A\left(-7, 2\right)$, $B\left(1, -6\right)$ b) $A\left(\frac{1}{2}, 10\right)$, $B\left(\frac{3}{2}, -4\right)$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Dane są dwa wierzchołki równoległoboku $ABCD$ i punkt $P$ przecięcia się przekątnych. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków równoległoboku, jeśli: $A\left(-4, -2\right)$, $B\left(0, 6\right)$, $P\left(1, 2\right)$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Oblicz długości przekątnych równoległoboku $ABCD$, jeśli: $A\left(-2, 4\right)$, $B\left(4, 1\right)$, $C\left(0, -5\right)$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Dany jest trójkąt $ABC$, gdzie: $A\left(-2, 3\right)$, $B\left(6, 1\right)$, $C\left(0, -5\right)$. Oblicz długość środkowej: a) $AD$ b) $BE$ c) $CF$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

14.1 Odcinek w układzie współrzędnych

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (2 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (2 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋