Rozwiązujemy każdą granicę krok po kroku. a) $ \lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x}-3}{x-9} $ Najpierw podstawiamy $x=9$ do wyrażenia, aby sprawdzić, czy otrzymujemy formę nieoznaczoną. Licznik: $ \sqrt{9}-3 = 3-3 = 0 $. Mianownik: $ 9-9 = 0 $. Otrzymujemy formę nieoznaczoną $ \frac{0}{0} $, co oznacza, że musimy uprościć wyrażenie. Zauważamy, że mianownik $x-9$ można zapisać jako różnicę kwadratów: $x-9 = (\sqrt{x})^2 - 3^2 = (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)$. Teraz możemy przepisać granicę:\[ \lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x}-3}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} \]Ponieważ $x \to 9$, $x \neq 9$, więc $ \sqrt{x} \neq 3 $. Możemy skrócić czynnik $ (\sqrt{x}-3) $ z licznika i mianownika:\[ \lim_{x \to 9} \frac{1}{\sqrt{x}+3} \]Teraz możemy podstawić $x=9$:\[ \frac{1}{\sqrt{9}+3} = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6} \]Odpowiedź do a): $ \frac{1}{6} $ b) $ \lim_{x \to 2} \frac{8-x^3}{x^2-4} $ Najpierw podstawiamy $x=2$ do wyrażenia, aby sprawdzić, czy otrzymujemy formę nieoznaczoną. Licznik: $ 8-2^3 = 8-8 = 0 $. Mianownik: $ 2^2-4 = 4-4 = 0 $. Otrzymujemy formę nieoznaczoną $ \frac{0}{0} $, co oznacza, że musimy uprościć wyrażenie. Zauważamy, że licznik $8-x^3$ to różnica sześcianów: $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Dla $a=2$ i $b=x$: $8-x^3 = (2-x)(2^2+2x+x^2) = (2-x)(4+2x+x^2)$. Zauważamy, że mianownik $x^2-4$ to różnica kwadratów: $x^2-2^2 = (x-2)(x+2)$. Teraz możemy przepisać granicę:\[ \lim_{x \to 2} \frac{(2-x)(4+2x+x^2)}{(x-2)(x+2)} \]Zauważamy, że $2-x = -(x-2)$. Możemy to wykorzystać do skrócenia:\[ \lim_{x \to 2} \frac{-(x-2)(4+2x+x^2)}{(x-2)(x+2)} \]Ponieważ $x \to 2$, $x \neq 2$, więc $x-2 \neq 0$. Możemy skrócić czynnik $ (x-2) $ z licznika i mianownika:\[ \lim_{x \to 2} \frac{-(4+2x+x^2)}{x+2} \]Teraz możemy podstawić $x=2$:\[ \frac{-(4+2(2)+2^2)}{2+2} = \frac{-(4+4+4)}{4} = \frac{-12}{4} \]Możemy uprościć ułamek:\[ \frac{-12}{4} = -3 \]Odpowiedź do b): $ -3 $ c) $ \lim_{x \to 1} \left[ \frac{x(x-4)}{x^6-1} - \frac{3}{1-x^6} \right] $ Najpierw przekształcamy wyrażenie w nawiasie. Zauważamy, że $1-x^6 = -(x^6-1)$. Zatem drugi człon $ \frac{3}{1-x^6} $ można zapisać jako $ \frac{3}{-(x^6-1)} = -\frac{3}{x^6-1} $. Podstawiamy to do wyrażenia:\[ \lim_{x \to 1} \left[ \frac{x(x-4)}{x^6-1} - \left(-\frac{3}{x^6-1}\right) \right] \]\[ \lim_{x \to 1} \left[ \frac{x(x-4)}{x^6-1} + \frac{3}{x^6-1} \right] \]Ponieważ mianowniki są takie same, możemy połączyć liczniki:\[ \lim_{x \to 1} \frac{x(x-4)+3}{x^6-1} \]Rozwijamy licznik: $x(x-4)+3 = x^2-4x+3$. Teraz podstawiamy $x=1$ do nowego wyrażenia, aby sprawdzić, czy otrzymujemy formę nieoznaczoną. Licznik: $ 1^2-4(1)+3 = 1-4+3 = 0 $. Mianownik: $ 1^6-1 = 1-1 = 0 $. Otrzymujemy formę nieoznaczoną $ \frac{0}{0} $, co oznacza, że musimy uprościć wyrażenie. Faktoryzujemy licznik $x^2-4x+3$. Szukamy dwóch liczb, których iloczyn to $3$ i suma to $-4$. Są to $-1$ i $-3$. Zatem $x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$. Faktoryzujemy mianownik $x^6-1$. Możemy go potraktować jako różnicę kwadratów, a następnie różnicę/sumę sześcianów: $x^6-1 = (x^3)^2 - 1^2 = (x^3-1)(x^3+1)$. Teraz faktoryzujemy każdy z tych czynników: $x^3-1 = x^3-1^3 = (x-1)(x^2+x+1^2) = (x-1)(x^2+x+1)$. $x^3+1 = x^3+1^3 = (x+1)(x^2-x+1^2) = (x+1)(x^2-x+1)$. Zatem mianownik to: $ (x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1) $. Teraz możemy przepisać granicę:\[ \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)} \]Ponieważ $x \to 1$, $x \neq 1$, więc $x-1 \neq 0$. Możemy skrócić czynnik $ (x-1) $ z licznika i mianownika:\[ \lim_{x \to 1} \frac{x-3}{(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)} \]Teraz możemy podstawić $x=1$:\[ \frac{1-3}{(1^2+1+1)(1+1)(1^2-1+1)} \]\[ \frac{-2}{(1+1+1)(2)(1-1+1)} \]\[ \frac{-2}{(3)(2)(1)} \]\[ \frac{-2}{6} \]Możemy uprościć ułamek, dzieląc licznik i mianownik przez 2:\[ \frac{-1}{3} \]Odpowiedź do c): $ -\frac{1}{3} $