Obliczanie granic ciągów zbieżnych kartkówka - LiczBit

18.10 Obliczanie granic ciągów zbieżnych

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (4 pkt)

Wszystkie wyrazy ciągu $(a_n)$ są różne od 3 i ciąg $(a_n)$ jest zbieżny do 3. Oblicz: a) $\lim_{n \to \infty} \frac{3a_n + 5}{a_n - 1}$ b) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n^2 + 2a_n - 15}{a_n - 3}$ c) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n^3 - 27}{2a_n - 6}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Obliczenie granicy funkcji:\[ \lim_{n \to \infty} \frac{3a_n + 5}{a_n - 1} \]Korzystamy z faktu, że jeśli ciąg $a_n$ jest zbieżny do $L$, czyli $\lim_{n \to \infty} a_n = L$, to dla funkcji ciągłej $f$, $\lim_{n \to \infty} f(a_n) = f(L)$. W naszym przypadku $L=3$. Podstawiamy wartość granicy $a_n$:\[ \frac{3 \cdot 3 + 5}{3 - 1} \]\[ = \frac{9 + 5}{2} \]\[ = \frac{14}{2} \]\[ = 7 \]b) Obliczenie granicy funkcji:\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n^2 + 2a_n - 15}{a_n - 3} \]Podstawiając wartość granicy $a_n=3$, otrzymujemy symbol nieoznaczony $\frac{0}{0}$:\[ \frac{3^2 + 2 \cdot 3 - 15}{3 - 3} = \frac{9 + 6 - 15}{0} = \frac{0}{0} \]Aby usunąć nieoznaczoność, rozkładamy licznik na czynniki. Licznik $a_n^2 + 2a_n - 15$ można zapisać jako $(a_n - 3)(a_n + 5)$.\[ a_n^2 + 2a_n - 15 = (a_n - 3)(a_n + 5) \]Zatem, granica przyjmuje postać:\[ \lim_{n \to \infty} \frac{(a_n - 3)(a_n + 5)}{a_n - 3} \]Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu $a_n$ są różne od 3, to $a_n - 3 \neq 0$, więc możemy skrócić czynnik $(a_n - 3)$:\[ \lim_{n \to \infty} (a_n + 5) \]Teraz podstawiamy $a_n = 3$:\[ 3 + 5 \]\[ = 8 \]c) Obliczenie granicy funkcji:\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n^3 - 27}{2a_n - 6} \]Podstawiając wartość granicy $a_n=3$, otrzymujemy symbol nieoznaczony $\frac{0}{0}$:\[ \frac{3^3 - 27}{2 \cdot 3 - 6} = \frac{27 - 27}{6 - 6} = \frac{0}{0} \]Aby usunąć nieoznaczoność, rozkładamy licznik i mianownik na czynniki. Licznik $a_n^3 - 27$ to różnica sześcianów, którą można rozłożyć jako $(a_n - 3)(a_n^2 + 3a_n + 9)$.\[ a_n^3 - 27 = (a_n - 3)(a_n^2 + 3a_n + 9) \]Mianownik $2a_n - 6$ można zapisać jako $2(a_n - 3)$.\[ 2a_n - 6 = 2(a_n - 3) \]Zatem, granica przyjmuje postać:\[ \lim_{n \to \infty} \frac{(a_n - 3)(a_n^2 + 3a_n + 9)}{2(a_n - 3)} \]Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu $a_n$ są różne od 3, to $a_n - 3 \neq 0$, więc możemy skrócić czynnik $(a_n - 3)$:\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n^2 + 3a_n + 9}{2} \]Teraz podstawiamy $a_n = 3$:\[ \frac{3^2 + 3 \cdot 3 + 9}{2} \]\[ = \frac{9 + 9 + 9}{2} \]\[ = \frac{27}{2} \]\[ = 13.5 \]

Zadanie 2 (2 pkt)

Wiedząc, że $\lim_{n\to\infty} a_n = 3$, $\lim_{n\to\infty} b_n = -1$ oraz $a_n + b_n \neq 0$ gdzie $n \in \mathbb{N}_+$, oblicz: a) $\lim_{n\to\infty} (a_n - 4b_n)$ b) $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n \cdot b_n}{a_n + b_n}$ c) $\lim_{n\to\infty} \left(a_n^3 - \frac{43}{25}b_n^3\right)$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Dane są nieskończone ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$ o wyrazach ogólnych: $a_n = \frac{3n}{5n+2}$, $b_n = \frac{n+3}{2n+1}$. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym: a) $c_n = a_n - b_n$ b) $d_n = a_n \cdot b_n$ c) $g_n = \frac{a_n}{b_n}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (1 pkt)

Oblicz granice, wiedząc, że istnieją: a) $$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{5n} - 3\right)$$ b) $$\lim_{n \to \infty} \left(9 + \frac{20}{n+2}\right)$$ c) $$\lim_{n \to \infty} \frac{6n-4}{5-3n}$$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (5 pkt)

Oblicz granice, wiedząc, że istnieją: a) $\lim_{n\to\infty} \left[ \left(7+\frac{\sqrt{n}}{n}\right) \cdot \left(2-\frac{n+3}{n^2}\right) \right]$ b) $\lim_{n\to\infty} \frac{3n^3+2n-5}{(2n-1)(3+n)(1-4n)}$ c) $\lim_{n\to\infty} \frac{(-1)^n+7n^2}{2n^2+5n+1}$ d) $\lim_{n\to\infty} \frac{2+3n^2-4n^3}{(5n^2-2)(n^2+3)}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Obliczamy granice poszczególnych składników:\[ \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}}{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0 \]\[ \lim_{n\to\infty} \frac{n+3}{n^2} = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n} + \frac{3}{n^2}\right) = 0 + 0 = 0 \]Podstawiamy obliczone granice do głównego wyrażenia:\[ \lim_{n\to\infty} \left[ \left(7+\frac{\sqrt{n}}{n}\right) \cdot \left(2-\frac{n+3}{n^2}\right) \right] = (7+0) \cdot (2-0) = 7 \cdot 2 = 14 \]b) Aby obliczyć granicę ilorazu wielomianów, analizujemy najwyższe potęgi licznika i mianownika. Stopień licznika wynosi 3, a jego współczynnik to 3. Licznik:\[ 3n^3+2n-5 \]Mianownik to iloczyn wyrażeń. Szukamy najwyższej potęgi $n^3$ oraz jej współczynnika:\[ (2n-1)(3+n)(1-4n) = (2n \cdot n \cdot (-4n)) + \dots = -8n^3 + \dots \]Stopnie licznika i mianownika są równe (oba 3), więc granica jest ilorazem współczynników przy najwyższej potędze $n$:\[ \lim_{n\to\infty} \frac{3n^3+2n-5}{(2n-1)(3+n)(1-4n)} = \frac{3}{-8} = -\frac{3}{8} \]c) Aby obliczyć granicę, dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $n$ z mianownika, czyli $n^2$: \[ \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{(-1)^n}{n^2}+\frac{7n^2}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2}+\frac{5n}{n^2}+\frac{1}{n^2}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{(-1)^n}{n^2}+7}{2+\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2}} \]Wiemy, że $\lim_{n\to\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} = 0$, $\lim_{n\to\infty} \frac{5}{n} = 0$ oraz $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} = 0$. Stąd:\[ \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{(-1)^n}{n^2}+7}{2+\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2}} = \frac{0+7}{2+0+0} = \frac{7}{2} \]d) Aby obliczyć granicę ilorazu wielomianów, analizujemy najwyższe potęgi licznika i mianownika. Licznik: $2+3n^2-4n^3$. Najwyższa potęga to $n^3$ ze współczynnikiem $-4$. Mianownik: $(5n^2-2)(n^2+3)$. Najwyższa potęga to $n^2 \cdot n^2 = n^4$ ze współczynnikiem $5 \cdot 1 = 5$. Ponieważ stopień wielomianu w liczniku (3) jest mniejszy niż stopień wielomianu w mianowniku (4), granica jest równa 0.\[ \lim_{n\to\infty} \frac{2+3n^2-4n^3}{(5n^2-2)(n^2+3)} = 0 \]

Grupa B

Zadanie 1 (4 pkt)

Wszystkie wyrazy ciągu $(a_n)$ są różne od -1 i ciąg $(a_n)$ jest zbieżny do -1. Oblicz: a) $\lim_{n \to \infty} \frac{3a_n + 5}{a_n - 1}$ b) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n^2 + 5a_n + 4}{a_n + 1}$ c) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n^3 + 1}{4a_n + 4}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (2 pkt)

Wiedząc, że $\lim_{n\to\infty} a_n = -2$, $\lim_{n\to\infty} b_n = \frac{1}{3}$ oraz $a_n + b_n \neq 0$ gdzie $n \in \mathbb{N}_+$, oblicz: a) $\lim_{n\to\infty} (a_n - 4b_n)$ b) $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n \cdot b_n}{a_n + b_n}$ c) $\lim_{n\to\infty} \left(a_n^3 - \frac{43}{25}b_n^3\right)$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Dane są nieskończone ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$ o wyrazach ogólnych: $a_n = \frac{4n}{7n+3}$, $b_n = \frac{n+2}{3n+4}$. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym: a) $c_n = a_n - b_n$ b) $d_n = a_n \cdot b_n$ c) $g_n = \frac{a_n}{b_n}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (1 pkt)

Oblicz granice, wiedząc, że istnieją: a)$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2n} - 5\right)$$ b)$$\lim_{n \to \infty} \left(10 + \frac{15}{n+7}\right)$$ c)$$\lim_{n \to \infty} \frac{10n-3}{2-5n}$$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (5 pkt)

Oblicz granice, wiedząc, że istnieją: a) $\lim_{n\to\infty} \left[ \left(8+\frac{\sqrt{n}}{n}\right) \cdot \left(4-\frac{n+1}{n^2}\right) \right]$ b) $\lim_{n\to\infty} \frac{4n^3+n-2}{(5n-1)(1+n)(1-3n)}$ c) $\lim_{n\to\infty} \frac{(-1)^n+9n^2}{4n^2+6n+7}$ d) $\lim_{n\to\infty} \frac{3+n^2-5n^3}{(7n^2-3)(n^2+2)}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi