W pudełku znajduje się łącznie $5 + 8 + 7 = 20$ kul. Losujemy 3 kule. Ponieważ kule są różne, a kolejność losowania nie jest istotna, będziemy korzystać z kombinacji. Całkowita liczba możliwych wyników losowania 3 kul z 20 to:\[ \binom{20}{3} = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{18 \cdot 19 \cdot 20}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1140 \]a) Każda z wylosowanych kul jest innego koloru. Oznacza to, że losujemy jedną kulę czarną, jedną białą i jedną żółtą. Liczbę możliwości obliczamy, mnożąc liczbę sposobów wyboru kuli z każdego koloru:\[ \binom{5}{1} \cdot \binom{8}{1} \cdot \binom{7}{1} = 5 \cdot 8 \cdot 7 = 280 \]b) Wylosowane trzy kule są tego samego koloru. Oznacza to, że losujemy trzy kule czarne LUB trzy białe LUB trzy żółte. Liczbę możliwości obliczamy, sumując liczby sposobów dla każdego koloru:\[ \binom{5}{3} + \binom{8}{3} + \binom{7}{3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} + \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} + \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 + 56 + 35 = 101 \]c) Wylosowano co najmniej jedną kulę czarną. Jest to zdarzenie przeciwne do zdarzenia, w którym nie wylosowano żadnej kuli czarnej. Kul, które nie są czarne, jest $8 + 7 = 15$. Liczba sposobów wylosowania 3 kul spośród tych 15 to:\[ \binom{15}{3} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 455 \]Liczba sposobów wylosowania co najmniej jednej kuli czarnej to różnica wszystkich możliwych wyników i wyników bez kuli czarnej:\[ 1140 - 455 = 685 \]d) Wylosowano co najwyżej jedną kulę białą. Oznacza to, że wylosowano zero kul białych LUB jedną kulę białą. Kul, które nie są białe, jest $5 + 7 = 12$. Przypadek 1: Wylosowano 0 kul białych (czyli 3 kule spośród nie-białych).\[ \binom{12}{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220 \]Przypadek 2: Wylosowano 1 kulę białą i 2 kule spośród nie-białych.\[ \binom{8}{1} \cdot \binom{12}{2} = 8 \cdot \frac{12 \cdot 11}{2} = 8 \cdot 66 = 528 \]Sumujemy oba przypadki:\[ 220 + 528 = 748 \]