Talia 52 kart składa się z 4 kolorów, a w każdym kolorze jest 13 kart. Zgodnie z poleceniem, figurami są asy, króle, damy i walety. W talii jest więc $4 \cdot 4 = 16$ figur oraz $52 - 16 = 36$ pozostałych kart (blotek). a) Wybieramy 6 kart spośród 16 figur. Liczba sposobów jest równa:\[ \binom{16}{6} = \frac{16!}{6!(16-6)!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 8008 \]b) Wybieramy 2 króle z 4, 2 walety z 4 i 1 asa z 4. Do wylosowania pozostaje $6 - 2 - 2 - 1 = 1$ karta. Tę kartę wybieramy spośród kart, które nie są ani królem, ani waletem, ani asem, czyli z $52 - 4 - 4 - 4 = 40$ kart. Liczba sposobów wynosi:\[ \binom{4}{2} \cdot \binom{4}{2} \cdot \binom{4}{1} \cdot \binom{40}{1} = 6 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 40 = 5760 \]c) "Co najwyżej jednego króla" oznacza, że możemy wybrać 0 króli lub 1 króla. Sumujemy obie możliwości. Przypadek 1: 0 króli. Wybieramy 6 kart spośród $52-4=48$ kart, które nie są królami. Liczba sposobów: $\binom{48}{6}$. Przypadek 2: 1 król. Wybieramy 1 króla z 4 i pozostałe 5 kart spośród 48 kart, które nie są królami. Liczba sposobów: $\binom{4}{1} \cdot \binom{48}{5}$. Łączna liczba sposobów:\[ \binom{48}{6} + \binom{4}{1}\binom{48}{5} = 12271512 + 4 \cdot 1712304 = 12271512 + 6849216 = 19120728 \]d) "Co najmniej dwa asy" oznacza, że możemy wybrać 2, 3 lub 4 asy. Sumujemy wszystkie możliwości. Przypadek 1: 2 asy. Wybieramy 2 asy z 4 i 4 karty z 48 nie-asów: $\binom{4}{2} \cdot \binom{48}{4}$. Przypadek 2: 3 asy. Wybieramy 3 asy z 4 i 3 karty z 48 nie-asów: $\binom{4}{3} \cdot \binom{48}{3}$. Przypadek 3: 4 asy. Wybieramy 4 asy z 4 i 2 karty z 48 nie-asów: $\binom{4}{4} \cdot \binom{48}{2}$. Łączna liczba sposobów:\[ \binom{4}{2}\binom{48}{4} + \binom{4}{3}\binom{48}{3} + \binom{4}{4}\binom{48}{2} = 6 \cdot 194580 + 4 \cdot 17296 + 1 \cdot 1128 = 1167480 + 69184 + 1128 = 1237792 \]