Granice jednostronne funkcji w punkcie kartkówka LiczBit

22.3 Granice jednostronne funkcji w punkcie

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Oblicz granice jednostronne funkcji $f$ w punkcie $x_0$ i na tej podstawie ustal, czy istnieje $\lim_{x \to x_0} f(x)$ a) $f(x) = \frac{(x-2)^2}{|x-2|}$, $x_0 = 2$ b) $f(x) = \frac{x^3 - 3x}{|x|}$, $x_0 = 0$ c) $f(x) = \frac{|3+x|^3}{x+3} + 2$, $x_0 = -3$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Oblicz granice jednostronne: a) $ \lim_{x \to 3^-} (5 + \sqrt{9 - x^2}) $ b) $ \lim_{x \to 7^+} \frac{7 - x}{\sqrt{(x - 7)^2}} $ c) $ \lim_{x \to -3^-} \frac{\sqrt{(x + 3)^2}}{x + 3} $

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Zbadaj, czy istnieje granica funkcji $f$ w punkcie $x_0$. Jeśli tak, to oblicz tę granicę. a) $f(x) = \begin{cases} 3x - 1, & \text{jeśli } x > 2 \\ x + 3, & \text{jeśli } x < 2 \end{cases}$ $x_0 = 2$ b) $f(x) = \begin{cases} x^3 + 2, & \text{jeśli } x > -1 \\ -x^2 + 4x + 6, & \text{jeśli } x < -1 \end{cases}$ $x_0 = -1$ c) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-25}{5-x}, & \text{jeśli } x > 5 \\ 2x-1, & \text{jeśli } x < 5 \end{cases}$ $x_0 = 5$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (4 pkt)

Zbadaj, czy istnieje granica funkcji $f$ w punkcie $x_0$. Jeśli tak, to oblicz tę granicę. a) $f(x)=\begin{cases} \frac{x^2+6x+5}{x+1}, & \text{jeśli } x<-1 \\ \frac{\sqrt{4x+5}-1}{x+1}, & \text{jeśli } x>-1 \end{cases}$ $x_0=-1$ b) $f(x)=\begin{cases} \frac{2x^2-3x-2}{x-2}, & \text{jeśli } x<2 \\ \frac{\sqrt{3x-2}-2}{x-2}, & \text{jeśli } x>2 \end{cases}$ $x_0=2$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) $x_0=-1$ 1. Obliczanie granicy lewostronnej: Granica lewostronna to $\lim_{x \to -1^-} \frac{x^2+6x+5}{x+1}$. Podstawiając $x=-1$ otrzymujemy formę nieoznaczoną $\frac{0}{0}$. Rozkładamy licznik na czynniki. Ponieważ $x=-1$ jest pierwiastkiem licznika, $(x+1)$ jest jego czynnikiem.\[x^2+6x+5 = (x+1)(x+5)\]Wtedy granica wynosi:\[\lim_{x \to -1^-} \frac{(x+1)(x+5)}{x+1} = \lim_{x \to -1^-} (x+5) = -1+5 = 4\]2. Obliczanie granicy prawostronnej: Granica prawostronna to $\lim_{x \to -1^+} \frac{\sqrt{4x+5}-1}{x+1}$. Podstawiając $x=-1$ otrzymujemy formę nieoznaczoną $\frac{0}{0}$. Mnożymy licznik i mianownik przez $(\sqrt{4x+5}+1)$:\[\lim_{x \to -1^+} \frac{\sqrt{4x+5}-1}{x+1} \cdot \frac{\sqrt{4x+5}+1}{\sqrt{4x+5}+1} = \lim_{x \to -1^+} \frac{(4x+5)-1}{(x+1)(\sqrt{4x+5}+1)}\]\[= \lim_{x \to -1^+} \frac{4x+4}{(x+1)(\sqrt{4x+5}+1)} = \lim_{x \to -1^+} \frac{4(x+1)}{(x+1)(\sqrt{4x+5}+1)}\]\[= \lim_{x \to -1^+} \frac{4}{\sqrt{4x+5}+1} = \frac{4}{\sqrt{4(-1)+5}+1} = \frac{4}{\sqrt{1}+1} = \frac{4}{1+1} = \frac{4}{2} = 2\]3. Wniosek: Ponieważ granica lewostronna $4$ jest różna od granicy prawostronnej $2$, granica funkcji $f$ w punkcie $x_0=-1$ nie istnieje. b) $x_0=2$ 1. Obliczanie granicy lewostronnej: Granica lewostronna to $\lim_{x \to 2^-} \frac{2x^2-3x-2}{x-2}$. Podstawiając $x=2$ otrzymujemy formę nieoznaczoną $\frac{0}{0}$. Rozkładamy licznik na czynniki. Ponieważ $x=2$ jest pierwiastkiem licznika, $(x-2)$ jest jego czynnikiem.\[2x^2-3x-2 = (x-2)(2x+1)\]Wtedy granica wynosi:\[\lim_{x \to 2^-} \frac{(x-2)(2x+1)}{x-2} = \lim_{x \to 2^-} (2x+1) = 2(2)+1 = 5\]2. Obliczanie granicy prawostronnej: Granica prawostronna to $\lim_{x \to 2^+} \frac{\sqrt{3x-2}-2}{x-2}$. Podstawiając $x=2$ otrzymujemy formę nieoznaczoną $\frac{0}{0}$. Mnożymy licznik i mianownik przez $(\sqrt{3x-2}+2)$:\[\lim_{x \to 2^+} \frac{\sqrt{3x-2}-2}{x-2} \cdot \frac{\sqrt{3x-2}+2}{\sqrt{3x-2}+2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{(3x-2)-4}{(x-2)(\sqrt{3x-2}+2)}\]\[= \lim_{x \to 2^+} \frac{3x-6}{(x-2)(\sqrt{3x-2}+2)} = \lim_{x \to 2^+} \frac{3(x-2)}{(x-2)(\sqrt{3x-2}+2)}\]\[= \lim_{x \to 2^+} \frac{3}{\sqrt{3x-2}+2} = \frac{3}{\sqrt{3(2)-2}+2} = \frac{3}{\sqrt{4}+2} = \frac{3}{2+2} = \frac{3}{4}\]3. Wniosek: Ponieważ granica lewostronna $5$ jest różna od granicy prawostronnej $\frac{3}{4}$, granica funkcji $f$ w punkcie $x_0=2$ nie istnieje.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Oblicz granice jednostronne funkcji $f$ w punkcie $x_0$ i na tej podstawie ustal, czy istnieje $\lim_{x \to x_0} f(x)$ a) $f(x) = \frac{(x+1)^2}{|x+1|}$, $x_0 = -1$ b) $f(x) = \frac{x^3 + 4x}{|x|}$, $x_0 = 0$ c) $f(x) = \frac{|1-x|^3}{1-x} + 5$, $x_0 = 1$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Oblicz granice jednostronne: a) $ \lim_{x \to 5^-} (1 + \sqrt{25 - x^2}) $ b) $ \lim_{x \to 2^+} \frac{2 - x}{\sqrt{(x - 2)^2}} $ c) $ \lim_{x \to -1^-} \frac{\sqrt{(x + 1)^2}}{x + 1} $

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Zbadaj, czy istnieje granica funkcji $f$ w punkcie $x_0$. Jeśli tak, to oblicz tę granicę. a) $f(x) = \begin{cases} 5x + 1, & \text{jeśli } x > -2 \\ -x - 9, & \text{jeśli } x < -2 \end{cases}$ $x_0 = -2$ b) $f(x) = \begin{cases} x^3 - 3, & \text{jeśli } x > 1 \\ -x^2 + 2x - 2, & \text{jeśli } x < 1 \end{cases}$ $x_0 = 1$ c) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-4}{x+2}, & \text{jeśli } x > -2 \\ x+1, & \text{jeśli } x < -2 \end{cases}$ $x_0 = -2$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (4 pkt)

Zbadaj, czy istnieje granica funkcji $f$ w punkcie $x_0$. Jeśli tak, to oblicz tę granicę. a) $f(x)=\begin{cases} \frac{2x^2+3x}{x}, & \text{jeśli } x<0 \\ \frac{\sqrt{2x+4}-2}{\sqrt{x+9}-3}, & \text{jeśli } x>0 \end{cases}$ $x_0=0$ b) $f(x)=\begin{cases} \frac{x^2-6x+8}{x-4}, & \text{jeśli } x<4 \\ \frac{\sqrt{x+5}-3}{\sqrt{x+32}-6}, & \text{jeśli } x>4 \end{cases}$ $x_0=4$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi