a) Aby obliczyć granicę, najpierw sprowadzamy wyrażenie do wspólnego mianownika:\[ \frac{x^2}{x+3} - x = \frac{x^2 - x(x+3)}{x+3} = \frac{x^2 - x^2 - 3x}{x+3} = \frac{-3x}{x+3} \]Następnie dzielimy licznik i mianownik przez $x$:\[ \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x}{x+3} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{-3x}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{3}{x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-3}{1+\frac{3}{x}} \]Ponieważ $\lim_{x \to -\infty} \frac{3}{x} = 0$, otrzymujemy:\[ \frac{-3}{1+0} = -3 \]b) Najpierw sprowadzamy wyrażenia do wspólnego mianownika:\[ \frac{3x^2+1}{x-2} + \frac{5-6x^2}{2x+1} = \frac{(3x^2+1)(2x+1) + (5-6x^2)(x-2)}{(x-2)(2x+1)} \]Rozwijamy licznik:\[ (3x^2+1)(2x+1) = 6x^3 + 3x^2 + 2x + 1 \]\[ (5-6x^2)(x-2) = 5x - 10 - 6x^3 + 12x^2 = -6x^3 + 12x^2 + 5x - 10 \]Sumujemy wyrażenia w liczniku:\[ (6x^3 + 3x^2 + 2x + 1) + (-6x^3 + 12x^2 + 5x - 10) = 15x^2 + 7x - 9 \]Rozwijamy mianownik:\[ (x-2)(2x+1) = 2x^2 + x - 4x - 2 = 2x^2 - 3x - 2 \]Zatem granica przyjmuje postać:\[ \lim_{x \to -\infty} \frac{15x^2 + 7x - 9}{2x^2 - 3x - 2} \]Dzielimy licznik i mianownik przez $x^2$:\[ \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{15x^2}{x^2} + \frac{7x}{x^2} - \frac{9}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2} - \frac{3x}{x^2} - \frac{2}{x^2}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{15 + \frac{7}{x} - \frac{9}{x^2}}{2 - \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2}} \]Ponieważ $\lim_{x \to -\infty} \frac{c}{x^n} = 0$ dla $n > 0$, otrzymujemy:\[ \frac{15 + 0 - 0}{2 - 0 - 0} = \frac{15}{2} \]c) Najpierw rozwijamy kwadrat w pierwszym ułamku i sprowadzamy wyrażenia do wspólnego mianownika:\[ \frac{(2x+3)^2}{2x-1} - \frac{2x^2-5}{x+4} = \frac{4x^2+12x+9}{2x-1} - \frac{2x^2-5}{x+4} \]\[ = \frac{(4x^2+12x+9)(x+4) - (2x^2-5)(2x-1)}{(2x-1)(x+4)} \]Rozwijamy licznik:\[ (4x^2+12x+9)(x+4) = 4x^3 + 16x^2 + 12x^2 + 48x + 9x + 36 = 4x^3 + 28x^2 + 57x + 36 \]\[ (2x^2-5)(2x-1) = 4x^3 - 2x^2 - 10x + 5 \]Odejmujemy wyrażenia w liczniku:\[ (4x^3 + 28x^2 + 57x + 36) - (4x^3 - 2x^2 - 10x + 5) = 30x^2 + 67x + 31 \]Rozwijamy mianownik:\[ (2x-1)(x+4) = 2x^2 + 8x - x - 4 = 2x^2 + 7x - 4 \]Zatem granica przyjmuje postać:\[ \lim_{x \to -\infty} \frac{30x^2 + 67x + 31}{2x^2 + 7x - 4} \]Dzielimy licznik i mianownik przez $x^2$:\[ \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{30x^2}{x^2} + \frac{67x}{x^2} + \frac{31}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2} + \frac{7x}{x^2} - \frac{4}{x^2}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{30 + \frac{67}{x} + \frac{31}{x^2}}{2 + \frac{7}{x} - \frac{4}{x^2}} \]Ponieważ $\lim_{x \to -\infty} \frac{c}{x^n} = 0$ dla $n > 0$, otrzymujemy:\[ \frac{30 + 0 + 0}{2 + 0 - 0} = \frac{30}{2} = 15 \]