Geometria płaska – pole czworokąta
Sprawdzian
Grupa A
Zadanie 1 (3 pkt)
W trapezie prostokątnym $ABCD$ ($AB \parallel CD$), dłuższe ramię $BC$ tworzy z podstawą $AB$ kąt $45^\circ$, zaś $|CD| = 6$. Punkt $M$ jest środkiem boku $BC$. Na boku $AB$ wybrano punkt $N$ taki, że $|MN| = 8$ oraz $|\angle MNB| = 60^\circ$. Wyznacz pole tego trapezu.
Zadanie 2 (5 pkt)
W czworokącie $ABCD$ kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty, zaś $|\angle DAB| = 60^\circ$. Ponadto $|AB| = 4$, $|BC| = 3$ oraz $|CD| = 5$. Wyznacz pole tego czworokąta.
Zadanie 3 (3 pkt)
W trapezie równoramiennym $ABCD$ ($AB \parallel CD$) przez wierzchołek $C$ poprowadzono prostą równoległą do boku $AD$. Podzieliła ona trapez na dwie figury: czworokąt i trójkąt tak, że pole czworokąta jest 4 razy większe niż pole trójkąta. Uzasadnij, że stosunek długości podstaw tego trapezu jest równy $\frac{3}{2}$.
Zadanie 4 (3 pkt)
Na okręgu o promieniu $3\,\text{cm}$ opisano trapez prostokątny, którego najkrótszy bok ma długość $4\,\text{cm}$. Oblicz pole tego trapezu.
Zadanie 5 (3 pkt)
Pole trapezu $A$ jest o $125\%$ większe od pola trapezu $B$, zaś pole trapezu $B$ jest 3 razy większe od pola trapezu $C$. Trapezy te są parami podobne do siebie. Wyznacz stosunek długości odpowiadających sobie boków trapezu $A$ i $C$.
Grupa B
Zadanie 1 (3 pkt)
W trapezie prostokątnym $ABCD$ ($AB \parallel CD$), dłuższe ramię $BC$ tworzy z podstawą $AB$ kąt $45^\circ$, zaś $|CD| = 4$. Punkt $M$ jest środkiem boku $BC$. Na boku $AB$ wybrano punkt $N$ taki, że $|MN| = 5$ oraz $|\angle MNB| = 45^\circ$. Wyznacz pole tego trapezu.
Zadanie 2 (5 pkt)
W czworokącie $ABCD$ kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty, zaś $|\angle DAB| = 30^\circ$. Ponadto $|AB| = 6$, $|BC| = 2$ oraz $|CD| = 3$. Wyznacz pole tego czworokąta.
Zadanie 3 (3 pkt)
W trapezie równoramiennym $ABCD$ ($AB \parallel CD$) przez wierzchołek $C$ poprowadzono prostą równoległą do boku $AD$. Podzieliła ona trapez na dwie figury: czworokąt i trójkąt tak, że pole czworokąta jest 5 razy większe niż pole trójkąta. Uzasadnij, że stosunek długości podstaw tego trapezu jest równy $\frac{7}{5}$.
Zadanie 4 (3 pkt)
Na okręgu o promieniu $4\,\text{cm}$ opisano trapez prostokątny, którego najkrótszy bok ma długość $6\,\text{cm}$. Oblicz pole tego trapezu.
Zadanie 5 (3 pkt)
Pole trapezu $A$ jest o $300\%$ większe od pola trapezu $B$, zaś pole trapezu $B$ jest o $100\%$ większe od pola trapezu $C$. Trapezy te są parami podobne do siebie. Wyznacz stosunek długości odpowiadających sobie boków trapezu $A$ i $C$.