a) Aby dziedziną funkcji $f(x) = \frac{2x+7}{mx^2+mx-16}$ był zbiór liczb rzeczywistych, mianownik funkcji musi być zawsze różny od zera. Mianownik: $D(x) = mx^2+mx-16$. Przypadek 1: Współczynnik przy $x^2$ jest równy zero, czyli $m=0$. Wstawiamy $m=0$ do mianownika:\[ D(x) = 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x - 16 = -16 \]Ponieważ $-16 \neq 0$, mianownik nigdy nie jest zerem. Zatem $m=0$ jest rozwiązaniem. Przypadek 2: Współczynnik przy $x^2$ jest różny od zera, czyli $m \neq 0$. W tym przypadku mianownik jest funkcją kwadratową. Aby funkcja kwadratowa nigdy nie była równa zero, jej wyróżnik (delta) musi być ujemny. Współczynniki mianownika to $a=m$, $b=m$, $c=-16$. Obliczamy wyróżnik $\Delta$:\[ \Delta = b^2 - 4ac \]\[ \Delta = m^2 - 4 \cdot m \cdot (-16) \]\[ \Delta = m^2 + 64m \]Warunek $\Delta < 0$:\[ m^2 + 64m < 0 \]Wyłączamy $m$ przed nawias:\[ m(m+64) < 0 \]Rozwiązaniem tej nierówności są wartości $m$ leżące między pierwiastkami $m=0$ i $m=-64$:\[ m \in (-64, 0) \]Ponieważ ten przypadek dotyczy $m \neq 0$, ten przedział jest prawidłowy. Łącząc rozwiązania z obu przypadków, $m=0$ oraz $m \in (-64, 0)$, otrzymujemy:\[ m \in (-64, 0] \]b) Aby dziedziną funkcji $f(x) = \frac{x^2+mx}{(m+3)x^2+(m^2-9)x+m-3}$ był zbiór liczb rzeczywistych, mianownik funkcji musi być zawsze różny od zera. Mianownik: $D(x) = (m+3)x^2+(m^2-9)x+m-3$. Przypadek 1: Współczynnik przy $x^2$ jest równy zero, czyli $m+3=0 \Rightarrow m=-3$. Wstawiamy $m=-3$ do mianownika:\[ D(x) = (-3+3)x^2+((-3)^2-9)x+(-3-3) \]\[ D(x) = 0 \cdot x^2 + (9-9)x - 6 \]\[ D(x) = 0 \cdot x - 6 \]\[ D(x) = -6 \]Ponieważ $-6 \neq 0$, mianownik nigdy nie jest zerem. Zatem $m=-3$ jest rozwiązaniem. Przypadek 2: Współczynnik przy $x^2$ jest różny od zera, czyli $m+3 \neq 0 \Rightarrow m \neq -3$. W tym przypadku mianownik jest funkcją kwadratową. Aby funkcja kwadratowa nigdy nie była równa zero, jej wyróżnik (delta) musi być ujemny, $\Delta < 0$. Dodatkowo, współczynnik $m+3$ musi być taki, by parabola nie przecinała osi OX (czyli albo zawsze nad nią, albo zawsze pod nią). Współczynniki mianownika to $A=m+3$, $B=m^2-9$, $C=m-3$. Obliczamy wyróżnik $\Delta$:\[ \Delta = B^2 - 4AC \]\[ \Delta = (m^2-9)^2 - 4 \cdot (m+3) \cdot (m-3) \]Zauważmy, że $m^2-9 = (m-3)(m+3)$. Podstawiamy to do wyrażenia na $\Delta$:\[ \Delta = ((m-3)(m+3))^2 - 4 \cdot (m-3)(m+3) \]Wyłączamy wspólny czynnik $(m-3)(m+3)$ przed nawias:\[ \Delta = (m-3)(m+3) \left[ (m-3)(m+3) - 4 \right] \]\[ \Delta = (m^2-9) (m^2-9-4) \]\[ \Delta = (m^2-9)(m^2-13) \]Warunek $\Delta < 0$:\[ (m^2-9)(m^2-13) < 0 \]Rozważmy $u = m^2$. Nierówność staje się $(u-9)(u-13) < 0$. Pierwiastki to $u_1=9$ i $u_2=13$. Ponieważ współczynnik przy $u^2$ jest dodatni, nierówność jest spełniona dla $u \in (9, 13)$. Zatem:\[ 9 < m^2 < 13 \]Ta podwójna nierówność oznacza, że $m^2 > 9$ ORAZ $m^2 < 13$. Rozwiązanie $m^2 > 9$:\[ m \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty) \]Rozwiązanie $m^2 < 13$:\[ m \in (-\sqrt{13}, \sqrt{13}) \]Częścią wspólną obu rozwiązań jest:\[ m \in (-\sqrt{13}, -3) \cup (3, \sqrt{13}) \]Dla tych wartości $m$, sprawdzamy znak $A=m+3$: Jeśli $m \in (-\sqrt{13}, -3)$, to $m+3 < 0$. Parabola otwarta w dół, $\Delta < 0$, więc mianownik jest zawsze ujemny i nigdy zero. Jeśli $m \in (3, \sqrt{13})$, to $m+3 > 0$. Parabola otwarta w górę, $\Delta < 0$, więc mianownik jest zawsze dodatni i nigdy zero. Oba przedziały są poprawne. Łącząc rozwiązania z obu przypadków, $m=-3$ oraz $m \in (-\sqrt{13}, -3) \cup (3, \sqrt{13})$, otrzymujemy:\[ m \in (-\sqrt{13}, -3] \cup (3, \sqrt{13}) \]