Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej – powtórzenie wiadomości z klasy 2 kartkówka LiczBit

23.1 Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej – powtórzenie wiadomości z klasy 2

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (4 pkt)

Zamień stopnie na radiany. a) $165^{\circ}$ b) $-30^{\circ}$ c) $540^{\circ}$ d) $-840^{\circ}$ Zamień radiany na stopnie. e) $-\frac{5\pi}{6}$ f) $\frac{11\pi}{30}$ g) $\frac{41\pi}{12}$ h) $-\frac{83\pi}{20}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (2 pkt)

Punkt $P(x, y)$ znajduje się na końcowym ramieniu kąta skierowanego $\alpha$. Oblicz liczbę $x$, jeśli: a) $y = 8$, $\tan \alpha = -2$ b) $y = 12$, $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$ c) $y = 5$, $\sin \alpha = \frac{5}{13}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Obliczamy współrzędną $x$ dla każdego przypadku. a) Z definicji tangensa kąta w układzie współrzędnych wiemy, że $\tan \alpha = \frac{y}{x}$. Podstawiamy dane wartości:\[-2 = \frac{8}{x}\]Mnożymy obie strony przez $x$:\[-2x = 8\]Dzielimy przez $-2$:\[x = \frac{8}{-2}\]\[x = -4\]b) Z definicji cosinusa kąta w układzie współrzędnych wiemy, że $\cos \alpha = \frac{x}{r}$, gdzie $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ jest promieniem wodzącym. Mamy $y = 12$ i $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$. Ponieważ $y > 0$ i $\cos \alpha < 0$, kąt $\alpha$ znajduje się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. W drugiej ćwiartce $\sin \alpha > 0$. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.\[\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha\]\[\sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2\]\[\sin^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25}\]\[\sin^2 \alpha = \frac{16}{25}\]Ponieważ $\alpha$ jest w drugiej ćwiartce, $\sin \alpha > 0$, więc:\[\sin \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\]Z definicji sinusa kąta wiemy, że $\sin \alpha = \frac{y}{r}$. Podstawiamy wartości:\[\frac{4}{5} = \frac{12}{r}\]Mnożymy na krzyż:\[4r = 5 \cdot 12\]\[4r = 60\]\[r = \frac{60}{4}\]\[r = 15\]Teraz, używając definicji cosinusa $\cos \alpha = \frac{x}{r}$:\[-\frac{3}{5} = \frac{x}{15}\]Mnożymy obie strony przez $15$:\[x = -\frac{3}{5} \cdot 15\]\[x = -3 \cdot 3\]\[x = -9\]c) Z definicji sinusa kąta w układzie współrzędnych wiemy, że $\sin \alpha = \frac{y}{r}$. Mamy $y = 5$ i $\sin \alpha = \frac{5}{13}$. Podstawiamy wartości:\[\frac{5}{13} = \frac{5}{r}\]Z tego wynika, że $r = 13$. Wiemy również, że $r = \sqrt{x^2 + y^2}$. Podstawiamy $r=13$ i $y=5$:\[13 = \sqrt{x^2 + 5^2}\]Podnosimy obie strony do kwadratu:\[13^2 = x^2 + 5^2\]\[169 = x^2 + 25\]Odejmujemy $25$ od obu stron:\[x^2 = 169 - 25\]\[x^2 = 144\]Pierwiastkujemy obie strony:\[x = \pm \sqrt{144}\]\[x = \pm 12\]Ponieważ nie podano dodatkowych informacji o ćwiartce, w której znajduje się kąt $\alpha$, istnieją dwie możliwe wartości dla $x$.

Zadanie 3 (3 pkt)

Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta $\alpha$, jeśli: a) $\sin \alpha = 0,6$ i $\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ b) $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{7}}{4}$ i $\alpha \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ c) $\text{ctg } \alpha = 3$ i $\alpha \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ d) $\text{tg } \alpha = -0,75$ i $\alpha \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Kąt $\alpha$ jest w II ćwiartce, więc $\cos \alpha < 0$, $\text{tg } \alpha < 0$ i $\text{ctg } \alpha < 0$.\[ \sin \alpha = 0,6 = \frac{3}{5} \]Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.\[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \]\[ \frac{9}{25} + \cos^2 \alpha = 1 \implies \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \]Ponieważ $\cos \alpha < 0$, to $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$.\[ \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4} \]\[ \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha} = -\frac{4}{3} \]b) Kąt $\alpha$ jest w III ćwiartce, więc $\sin \alpha < 0$, $\text{tg } \alpha > 0$ i $\text{ctg } \alpha > 0$.\[ \cos \alpha = -\frac{\sqrt{7}}{4} \]\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]\[ \sin^2 \alpha + \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2 = 1 \]\[ \sin^2 \alpha + \frac{7}{16} = 1 \implies \sin^2 \alpha = 1 - \frac{7}{16} = \frac{9}{16} \]Ponieważ $\sin \alpha < 0$, to $\sin \alpha = -\frac{3}{4}$.\[ \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-3/4}{-\sqrt{7}/4} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7} \]\[ \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha} = \frac{\sqrt{7}}{3} \]c) Kąt $\alpha$ jest w III ćwiartce, więc $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha < 0$ i $\text{tg } \alpha > 0$.\[ \text{ctg } \alpha = 3 \]\[ \text{tg } \alpha = \frac{1}{\text{ctg } \alpha} = \frac{1}{3} \]Korzystamy z tożsamości $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.\[ 1 + 3^2 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \implies 10 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \implies \sin^2 \alpha = \frac{1}{10} \]Ponieważ $\sin \alpha < 0$, to $\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.\[ \cos \alpha = \text{ctg } \alpha \cdot \sin \alpha = 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right) = -\frac{3\sqrt{10}}{10} \]d) Kąt $\alpha$ jest w IV ćwiartce, więc $\cos \alpha > 0$, $\sin \alpha < 0$ i $\text{ctg } \alpha < 0$.\[ \text{tg } \alpha = -0,75 = -\frac{3}{4} \]\[ \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha} = -\frac{4}{3} \]Korzystamy z tożsamości $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.\[ 1 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \implies 1 + \frac{9}{16} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \implies \frac{25}{16} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \]\[ \cos^2 \alpha = \frac{16}{25} \]Ponieważ $\cos \alpha > 0$, to $\cos \alpha = \frac{4}{5}$.\[ \sin \alpha = \text{tg } \alpha \cdot \cos \alpha = \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \frac{4}{5} = -\frac{3}{5} \]

Zadanie 4 (4 pkt)

Wykaż, że dane równości są prawdziwe. Podaj konieczne założenia. a) $\cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) \cdot \cot(\pi + \alpha) \cdot \cos(-\alpha + \pi) + \cos^2(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = 1$ b) $\cot(\alpha - 2\pi) \cdot \tan(3\pi - \alpha) = \cos\frac{2\pi}{3} + \sin\frac{7\pi}{6}$ c) $\frac{1 - \tan^2(\alpha - \pi)}{1 + \cot^2(\alpha + \frac{\pi}{2})} = 2\sin^2(\alpha - \frac{\pi}{2}) - 1$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Przekształcamy lewą stronę równości, korzystając ze wzorów redukcyjnych i tożsamości trygonometrycznych. Założenia: $\sin\alpha \neq 0$, czyli $\alpha \neq k\pi$ dla $k \in \mathbb{Z}$.\[\cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin\alpha\]\[\cot(\pi + \alpha) = \cot\alpha\]\[\cos(-\alpha + \pi) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha\]\[\cos^2(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \cos^2(\alpha - \frac{3\pi}{2} + 2\pi) = \cos^2(\alpha + \frac{\pi}{2}) = (-\sin\alpha)^2 = \sin^2\alpha\]Podstawiamy do lewej strony:\[L = (-\sin\alpha) \cdot (\cot\alpha) \cdot (-\cos\alpha) + \sin^2\alpha\]\[L = (-\sin\alpha) \cdot \left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right) \cdot (-\cos\alpha) + \sin^2\alpha\]\[L = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha\]\[L = 1\]Prawa strona to $P = 1$. Zatem $L = P$, co dowodzi prawdziwości równości. b) Przekształcamy obie strony równości. Założenia: $\sin\alpha \neq 0$ i $\cos\alpha \neq 0$, czyli $\alpha \neq k\frac{\pi}{2}$ dla $k \in \mathbb{Z}$. Lewa strona:\[\cot(\alpha - 2\pi) = \cot\alpha\]\[\tan(3\pi - \alpha) = \tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha\]\[L = \cot\alpha \cdot (-\tan\alpha) = -(\cot\alpha \cdot \tan\alpha) = -1\]Prawa strona:\[\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}\]\[\sin\frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}\]\[P = -\frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) = -1\]Zatem $L = P$, co dowodzi prawdziwości równości. c) Przekształcamy obie strony równości. Założenia: $\cos\alpha \neq 0$, czyli $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ dla $k \in \mathbb{Z}$. Lewa strona:\[\tan^2(\alpha - \pi) = \tan^2\alpha\]\[\cot^2(\alpha + \frac{\pi}{2}) = (-\tan\alpha)^2 = \tan^2\alpha\]\[L = \frac{1 - \tan^2\alpha}{1 + \tan^2\alpha}\]Korzystamy z tożsamości $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$:\[L = \frac{1 - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{1 + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha} = \frac{\cos(2\alpha)}{1} = \cos(2\alpha)\]Prawa strona:\[\sin^2(\alpha - \frac{\pi}{2}) = (-\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha\]\[P = 2\cos^2\alpha - 1\]Korzystamy z tożsamości $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$:\[P = \cos(2\alpha)\]Zatem $L = P$, co dowodzi prawdziwości równości.

Zadanie 5 (5 pkt)

Wykaż, że jeśli $\alpha \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$, to $\frac{\cos(2\pi - \alpha)}{1+\sqrt{1-\cos^2\alpha}} + \cot\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)}$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Grupa B

Zadanie 1 (4 pkt)

Zamień stopnie na radiany. a) $210^{\circ}$ b) $-45^{\circ}$ c) $600^{\circ}$ d) $-1200^{\circ}$ Zamień radiany na stopnie. e) $-\frac{3\pi}{4}$ f) $\frac{13\pi}{36}$ g) $\frac{65\pi}{18}$ h) $-\frac{111\pi}{30}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (2 pkt)

Punkt $P(x, y)$ znajduje się na końcowym ramieniu kąta skierowanego $\alpha$. Oblicz liczbę $x$, jeśli: a) $y = -10$, $\tan \alpha = -5$ b) $y = -8$, $\cos \alpha = \frac{15}{17}$ c) $y = -12$, $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta $\alpha$, jeśli: a) $\cos \alpha = \frac{12}{13}$ i $\alpha \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ b) $\sin \alpha = -\frac{1}{3}$ i $\alpha \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ c) $\text{tg } \alpha = -2$ i $\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ d) $\text{ctg } \alpha = \sqrt{3}$ i $\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (4 pkt)

Wykaż, że dane równości są prawdziwe. Podaj konieczne założenia. a) $\sin(\alpha - \frac{3\pi}{2}) \cdot \tan(\alpha + \pi) \cdot \sin(\alpha) + \cos^2(\pi + \alpha) = 1$ b) $\tan(\alpha - 4\pi) \cdot \cot(\alpha - \pi) = \sin\frac{13\pi}{6} - \cos\frac{10\pi}{3}$ c) $\frac{1 - \cot^2(\alpha - \frac{\pi}{2})}{1 + \tan^2(\alpha + \pi)} = 1 - 2\sin^2(\alpha)$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (5 pkt)

Wykaż, że jeśli $\alpha \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$, to $\frac{\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)}{1+\sqrt{1-\cos^2\alpha}} - \sec(2\pi - \alpha) = -\cot\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi