Wskazówki:
1. Skorzystaj z dwóch warunków, które muszą być spełnione, aby funkcja miała ekstremum w danym punkcie.
2. Warunek 1 (Wartość funkcji): $f(2) = 4$. Podstaw $x=2$ do wzoru funkcji i przyrównaj do $4$. Otrzymasz pierwsze równanie z $a$ i $b$.
3. Warunek 2 (Pochodna): Jeśli w punkcie $x=2$ jest ekstremum, to pochodna funkcji w tym punkcie musi być równa zero: $f'(2) = 0$.
4. Oblicz pochodną $f'(x)$ korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu:$$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.$$5. Rozwiąż układ dwóch równań liniowych z niewiadomymi $a$ i $b$.
6. Po wyznaczeniu $a$ i $b$, znajdź pozostałe punkty krytyczne, rozwiązując równanie $f'(x) = 0$. Sprawdź znak pochodnej, aby określić, czy jest to minimum, czy maksimum.
Rozwiązanie:
1. Ustalenie warunków początkowych.
Z treści zadania wynikają dwa warunki, które pozwolą nam wyznaczyć parametry $a$ i $b$:
a) Funkcja przechodzi przez punkt $\left( 2, 4 \right)$, czyli $f(2) = 4$.
b) W punkcie $x=2$ jest ekstremum, co oznacza, że pochodna funkcji w tym punkcie jest równa zero, czyli $f'(2) = 0$.
2. Wykorzystanie warunku $f(2) = 4$ (Równanie I).
Podstawiamy $x=2$ do wzoru funkcji $f(x) = \frac{x^2 - ax + b}{x - 4}$:$$f(2) = \frac{2^2 - a \cdot 2 + b}{2 - 4}$$Wiemy, że $f(2) = 4$, więc:$$\frac{4 - 2a + b}{-2} = 4$$Mnożymy obie strony przez mianownik, czyli przez $-2$:$$4 - 2a + b = 4 \cdot \left( -2 \right)$$$$4 - 2a + b = -8$$Przenosimy stałą $4$ na prawą stronę ze zmianą znaku (odejmujemy $4$ od obu stron):$$-2a + b = -8 - 4$$$$-2a + b = -12$$To jest nasze Równanie I.
3. Obliczenie pochodnej $f'(x)$.
Korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu:$$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.$$$u = x^2 - ax + b$, więc $u' = 2x - a$.
$v = x - 4$, więc $v' = 1$.$$f'(x) = \frac{\left( 2x - a \right) \left( x - 4 \right) - \left( x^2 - ax + b \right) \cdot 1}{\left( x - 4 \right)^2}$$Rozwijamy licznik, mnożąc nawiasy i redukując wyrazy podobne:$$f'(x) = \frac{\left( 2x^2 - 8x - ax + 4a \right) - x^2 + ax - b}{\left( x - 4 \right)^2}$$$$f'(x) = \frac{x^2 - 8x + 4a - b}{\left( x - 4 \right)^2}$$4. Wykorzystanie warunku $f'(2) = 0$ (Równanie II).
Podstawiamy $x=2$ do wzoru pochodnej $f'(x)$ i przyrównujemy do zera:$$f'(2) = \frac{2^2 - 8 \cdot 2 + 4a - b}{\left( 2 - 4 \right)^2} = 0$$Ponieważ mianownik jest różny od zera, licznik musi być równy zero:$$4 - 16 + 4a - b = 0$$$$-12 + 4a - b = 0$$Przenosimy stałą $-12$ na prawą stronę ze zmianą znaku (dodajemy $12$ do obu stron):$$4a - b = 12$$To jest nasze Równanie II.
5. Rozwiązanie układu równań.
Rozwiązujemy układ Równań I i II:
I: $-2a + b = -12$
II: $4a - b = 12$
Dodajemy Równanie I do Równania II (metoda przeciwnych współczynników):$$\left( -2a + b \right) + \left( 4a - b \right) = -12 + 12$$$$2a = 0$$$$a = 0$$Podstawiamy $a=0$ do Równania I, aby znaleźć $b$:$$-2 \cdot 0 + b = -12$$$$b = -12$$6. Określenie funkcji i znalezienie pozostałych ekstremów.
Znalezione parametry to $a=0$ i $b=-12$. Funkcja ma postać $f(x) = \frac{x^2 - 12}{x - 4}$.
Pochodna ma postać (podstawiamy $a=0$ i $b=-12$ do wzoru z kroku 3):$$f'(x) = \frac{x^2 - 8x + 4 \cdot 0 - \left( -12 \right)}{\left( x - 4 \right)^2} = \frac{x^2 - 8x + 12}{\left( x - 4 \right)^2}$$Punkty krytyczne to miejsca zerowe licznika:$$x^2 - 8x + 12 = 0$$Rozkładamy na czynniki:$$\left( x - 2 \right) \left( x - 6 \right) = 0$$Punkty krytyczne to $x_1 = 2$ oraz $x_2 = 6$.
7. Badanie charakteru ekstremum w punkcie $x=6$.
Znak pochodnej $f'(x)$ zależy od licznika $\left( x - 2 \right) \left( x - 6 \right)$, ponieważ mianownik $\left( x - 4 \right)^2$ jest zawsze dodatni.
- Dla $x \in \left( 4, 6 \right)$: $f'(x) < 0$, funkcja maleje.
- Dla $x \in \left( 6, \infty \right)$: $f'(x) > 0$, funkcja rośnie.
Ponieważ funkcja maleje, a następnie rośnie, w punkcie $x=6$ jest \textbf{minimum lokalne}.
8. Obliczenie wartości minimum.
Podstawiamy $x=6$ do wzoru funkcji:$$f(6) = \frac{6^2 - 12}{6 - 4} = \frac{36 - 12}{2} = \frac{24}{2} = 12$$Pozostałe ekstremum to minimum lokalne w punkcie $\left( 6, 12 \right)$.
