Aby zbadać ciągłość funkcji $f$ w punkcie $x_0$, należy sprawdzić trzy warunki: 1. Istnienie wartości funkcji $f(x_0)$. 2. Istnienie granicy funkcji $\lim_{x \to x_0} f(x)$. 3. Równość $f(x_0) = \lim_{x \to x_0} f(x)$. a) Dla $f(x) = \begin{cases} \frac{3x^2 - 7x - 6}{x-3}, & \text{jeśli } x \neq 3 \\ 11, & \text{jeśli } x = 3 \end{cases}$ $\quad x_0 = 3$: 1. Wartość funkcji w punkcie $x_0 = 3$:\[f(3) = 11\]2. Granica funkcji w punkcie $x_0 = 3$: Najpierw rozkładamy licznik na czynniki. Ponieważ dla $x=3$ licznik wynosi $3(3)^2 - 7(3) - 6 = 27 - 21 - 6 = 0$, to $(x-3)$ jest czynnikiem licznika.\[3x^2 - 7x - 6 = (x-3)(3x+2)\]Obliczamy granicę:\[\lim_{x \to 3} \frac{3x^2 - 7x - 6}{x-3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(3x+2)}{x-3}\]Dla $x \neq 3$ możemy skrócić $(x-3)$:\[\lim_{x \to 3} (3x+2) = 3(3)+2 = 11\]3. Porównanie wartości funkcji i granicy: Ponieważ $\lim_{x \to 3} f(x) = 11$ i $f(3) = 11$, to funkcja jest ciągła w punkcie $x_0 = 3$. b) Dla $f(x) = \begin{cases} \frac{3x^2 - 10x - 8}{x^2 - 8x + 16}, & \text{jeśli } x \neq 4 \\ 10, & \text{jeśli } x = 4 \end{cases}$ $\quad x_0 = 4$: 1. Wartość funkcji w punkcie $x_0 = 4$:\[f(4) = 10\]2. Granica funkcji w punkcie $x_0 = 4$: Rozkładamy licznik i mianownik na czynniki. Mianownik: $x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$. Licznik: Ponieważ dla $x=4$ licznik wynosi $3(4)^2 - 10(4) - 8 = 48 - 40 - 8 = 0$, to $(x-4)$ jest czynnikiem licznika.\[3x^2 - 10x - 8 = (x-4)(3x+2)\]Obliczamy granicę:\[\lim_{x \to 4} \frac{3x^2 - 10x - 8}{x^2 - 8x + 16} = \lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(3x+2)}{(x-4)^2}\]Dla $x \neq 4$ możemy skrócić $(x-4)$:\[\lim_{x \to 4} \frac{3x+2}{x-4}\]Gdy $x \to 4$, licznik dąży do $3(4)+2 = 14$, a mianownik dąży do $0$. Ponieważ licznik dąży do liczby różnej od zera, a mianownik do zera, granica jest niewłaściwa. Zbadajmy granice jednostronne:\[\lim_{x \to 4^+} \frac{3x+2}{x-4} = \frac{14}{0^+} = +\infty\]\[\lim_{x \to 4^-} \frac{3x+2}{x-4} = \frac{14}{0^-} = -\infty\]Ponieważ granice jednostronne są różne (i niewłaściwe), granica $\lim_{x \to 4} f(x)$ nie istnieje. 3. Porównanie wartości funkcji i granicy: Ponieważ granica $\lim_{x \to 4} f(x)$ nie istnieje, funkcja nie jest ciągła w punkcie $x_0 = 4$. c) Dla $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{16 + 8x^2} - 4}{x^2}, & \text{jeśli } x \neq 0 \\ 1, & \text{jeśli } x = 0 \end{cases}$ $\quad x_0 = 0$: 1. Wartość funkcji w punkcie $x_0 = 0$:\[f(0) = 1\]2. Granica funkcji w punkcie $x_0 = 0$: Mamy symbol nieoznaczony $\frac{0}{0}$. Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie licznika:\[\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{16 + 8x^2} - 4}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{16 + 8x^2} - 4}{x^2} \cdot \frac{\sqrt{16 + 8x^2} + 4}{\sqrt{16 + 8x^2} + 4}\]\[= \lim_{x \to 0} \frac{(16 + 8x^2) - 4^2}{x^2(\sqrt{16 + 8x^2} + 4)}\]\[= \lim_{x \to 0} \frac{16 + 8x^2 - 16}{x^2(\sqrt{16 + 8x^2} + 4)}\]\[= \lim_{x \to 0} \frac{8x^2}{x^2(\sqrt{16 + 8x^2} + 4)}\]Dla $x \neq 0$ możemy skrócić $x^2$:\[= \lim_{x \to 0} \frac{8}{\sqrt{16 + 8x^2} + 4}\]Podstawiamy $x=0$:\[= \frac{8}{\sqrt{16 + 8(0)^2} + 4} = \frac{8}{\sqrt{16} + 4} = \frac{8}{4 + 4} = \frac{8}{8} = 1\]3. Porównanie wartości funkcji i granicy: Ponieważ $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$ i $f(0) = 1$, to funkcja jest ciągła w punkcie $x_0 = 0$.