18.3 Ciąg arytmetyczny
Kartkówka
Grupa A
Zadanie 1 (2 pkt)
Ciąg ($a_n$) jest określony wzorem $a_n = 3n + 5$, gdzie $n \in N_+$.
a) Wykaż, że ciąg ($a_n$) jest arytmetyczny.
b) Wyznacz wyraz pierwszy i różnicę tego ciągu.
c) Podaj wzór rekurencyjny ciągu ($a_n$).
Zadanie 2 (3 pkt)
Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = \frac{10-3n}{4}$, gdzie $n \in N_+$.
a) Wykaż, że ciąg $(a_n)$ jest ciągiem arytmetycznym.
b) Zbadaj monotoniczność tego ciągu.
c) Oblicz $a_{15} - a_8$.
Zadanie 3 (3 pkt)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym $(a_n)$ dane są: $a_1 = -3\frac{1}{2}$, $r = \frac{5}{2}$. Oblicz:
a) wyrazy $a_5$, $a_{12}$ oraz $a_{19}$
b) wyraz ogólny $a_n$
c) różnicę $a_{n+3} - a_n$
Zadanie 4 (5 pkt)
Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 3n^2 + 7n$, gdzie $n \in N_+$.
a) Wykaż, że ciąg $(a_n)$ nie jest ciągiem arytmetycznym.
b) Wyraz pierwszy oraz wyraz czwarty ciągu $(a_n)$ są odpowiednio równe trzeciemu i szóstemu wyrazowi pewnego nieskończonego ciągu arytmetycznego $(b_n)$. Wyznacz wyraz ogólny ciągu $(b_n)$.
Zadanie 5 (4 pkt)
Między liczby 80 i 20 wstaw dziewięć liczb tak, aby wraz z danymi liczbami tworzyły malejący ciąg arytmetyczny.
Grupa B
Zadanie 1 (2 pkt)
Ciąg ($a_n$) jest określony wzorem $a_n = -2n + 10$, gdzie $n \in N_+$.
a) Wykaż, że ciąg ($a_n$) jest arytmetyczny.
b) Wyznacz wyraz pierwszy i różnicę tego ciągu.
c) Podaj wzór rekurencyjny ciągu ($a_n$).
Zadanie 2 (3 pkt)
Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = \frac{12-7n}{5}$, gdzie $n \in N_+$.
a) Wykaż, że ciąg $(a_n)$ jest ciągiem arytmetycznym.
b) Zbadaj monotoniczność tego ciągu.
c) Oblicz $a_{20} - a_{10}$.
Zadanie 3 (3 pkt)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym $(a_n)$ dane są: $a_1 = -1\frac{1}{4}$, $r = \frac{1}{4}$. Oblicz:
a) wyrazy $a_5$, $a_{12}$ oraz $a_{19}$
b) wyraz ogólny $a_n$
c) różnicę $a_{n+3} - a_n$
Zadanie 4 (5 pkt)
Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 4n^2 + 5n$, gdzie $n \in N_+$.
a) Wykaż, że ciąg $(a_n)$ nie jest ciągiem arytmetycznym.
b) Wyraz pierwszy oraz wyraz czwarty ciągu $(a_n)$ są odpowiednio równe trzeciemu i szóstemu wyrazowi pewnego nieskończonego ciągu arytmetycznego $(b_n)$. Wyznacz wyraz ogólny ciągu $(b_n)$.
Zadanie 5 (4 pkt)
Między liczby 100 i 10 wstaw dziewięć liczb tak, aby wraz z danymi liczbami tworzyły malejący ciąg arytmetyczny.