a) Obliczenie liczby naturalnych mniejszych od 120, podzielnych przez 5:Liczby naturalne mniejsze od 120, podzielne przez 5, to $0, 5, 10, \dots, 115$.Jest to ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie $a_1 = 0$, ostatnim wyrazie $a_n = 115$ i różnicy $r = 5$.Wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\[a_n = a_1 + (n-1)r\]Podstawienie wartości i obliczenie $n$:\[115 = 0 + (n-1) \cdot 5\]\[115 = 5n - 5\]\[120 = 5n\]\[n = \frac{120}{5}\]\[n = 24\] b) Obliczenie liczby naturalnych należących do przedziału $(120, 900)$, podzielnych przez 4:Liczby naturalne należące do przedziału $(120, 900)$ to $121, 122, \dots, 899$.Pierwszą liczbą naturalną w tym przedziale, podzielną przez 4, jest $124$.Ostatnią liczbą naturalną w tym przedziale, podzielną przez 4, jest $896$.Jest to ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie $a_1 = 124$, ostatnim wyrazie $a_n = 896$ i różnicy $r = 4$.Wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\[a_n = a_1 + (n-1)r\]Podstawienie wartości i obliczenie $n$:\[896 = 124 + (n-1) \cdot 4\]\[896 - 124 = (n-1) \cdot 4\]\[772 = (n-1) \cdot 4\]\[\frac{772}{4} = n-1\]\[193 = n-1\]\[n = 193 + 1\]\[n = 194\] c) Obliczenie liczby naturalnych należących do przedziału $(100, 500)$, których reszta z dzielenia przez 7 jest równa 2:Liczby naturalne należące do przedziału $(100, 500)$ to $101, 102, \dots, 499$.Szukamy liczb postaci $7k+2$.Pierwsza liczba naturalna w tym przedziale, postaci $7k+2$, to $107$ ($7 \cdot 15 + 2 = 107$).Ostatnia liczba naturalna w tym przedziale, postaci $7k+2$, to $499$ ($7 \cdot 71 + 2 = 499$).Jest to ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie $a_1 = 107$, ostatnim wyrazie $a_n = 499$ i różnicy $r = 7$.Wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\[a_n = a_1 + (n-1)r\]Podstawienie wartości i obliczenie $n$:\[499 = 107 + (n-1) \cdot 7\]\[499 - 107 = (n-1) \cdot 7\]\[392 = (n-1) \cdot 7\]\[\frac{392}{7} = n-1\]\[56 = n-1\]\[n = 56 + 1\]\[n = 57\]