Wskazówki a) Pierwsze równanie ma postać iloczynową. Iloczyn dwóch wyrażeń jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedno z nich wynosi zero. Rozbij to równanie na dwa oddzielne przypadki: $x - y = 0$ oraz $x + y - 4 = 0$. Następnie z każdego przypadku wyznacz y i podstaw do drugiego równania, które opisuje okrąg. b) W tym układzie najwygodniej będzie użyć metody podstawienia. Drugie równanie definiuje y jako $x^{2} - 3$. Zauważ jednak, że w pierwszym równaniu występuje $x^{2}$. Możesz przekształcić drugie równanie do postaci $x^{2} = y + 3$ i podstawić to bezpośrednio do pierwszego równania. Otrzymasz wtedy proste równanie kwadratowe z jedną zmienną y. c) W pierwszym równaniu spróbuj wyłączyć x przed nawias. To pozwoli Ci zauważyć, kiedy lewa strona równa się zero. Alternatywnie, możesz podstawić całe wyrażenie z drugiego równania ($x^{2} - 3x + 5$) w miejsce y w pierwszym równaniu. Po uproszczeniu i przeniesieniu wszystkich wyrazów na jedną stronę otrzymasz równanie trzeciego stopnia, które można rozwiązać poprzez wyłączanie wspólnego czynnika. --- Rozwiązanie a) $\begin{cases} (x-y)(x+y-4)=0 \\ x^2+y^2-4x=0 \end{cases}$ Krok 1: Analizujemy pierwsze równanie. Iloczyn jest równy zero, gdy: 1) $x - y = 0 \implies y = x$ 2) $x + y - 4 = 0 \implies y = -x + 4$ Krok 2: Rozważamy Przypadek 1, gdzie $y = x$. Podstawiamy to do drugiego równania:$$x^{2} + x^{2} - 4x = 0$$$$2x^{2} - 4x = 0$$Wyciągamy $2x$ przed nawias:$$2x(x - 2) = 0$$Stąd $x = 0$ lub $x = 2$. Obliczamy y dla tych wartości (skoro $y = x$): Dla $x = 0 \implies y = 0$. Punkt: $(0, 0)$. Dla $x = 2 \implies y = 2$. Punkt: $(2, 2)$. Krok 3: Rozważamy Przypadek 2, gdzie $y = -x + 4$. Podstawiamy to do drugiego równania:$$x^{2} + (-x + 4)^{2} - 4x = 0$$Stosujemy wzór skróconego mnożenia $(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ dla wyrażenia $(-x + 4)^{2}$, co jest tym samym co $(4 - x)^{2}$:$$x^{2} + (16 - 8x + x^{2}) - 4x = 0$$$$2x^{2} - 12x + 16 = 0$$Dzielimy przez 2 dla uproszczenia:$$x^{2} - 6x + 8 = 0$$Obliczamy deltę: $\Delta = (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$. Pierwiastek z delty wynosi 2.$$x_{1} = \frac{6 - 2}{2} = 2$$$$x_{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4$$Obliczamy y dla tych wartości korzystając z $y = -x + 4$: Dla $x = 2 \implies y = -2 + 4 = 2$. Punkt: $(2, 2)$ (już go mamy). Dla $x = 4 \implies y = -4 + 4 = 0$. Punkt: $(4, 0)$. Odpowiedź: Rozwiązaniami są pary $(0, 0), (2, 2), (4, 0)$. --- b) $\begin{cases} x^2+y^2=5 \\ y=x^2-3 \end{cases}$ Krok 1: Z drugiego równania wyznaczamy $x^{2}$, przenosząc $-3$ na lewą stronę ze zmianą znaku na plus:$$x^{2} = y + 3$$Krok 2: Podstawiamy to wyrażenie do pierwszego równania w miejsce $x^{2}$:$$(y + 3) + y^{2} = 5$$Krok 3: Porządkujemy równanie do postaci kwadratowej, przenosząc 5 na lewą stronę ze zmianą znaku na minus:$$y^{2} + y + 3 - 5 = 0$$$$y^{2} + y - 2 = 0$$Krok 4: Obliczamy deltę dla zmiennej y. Współczynniki to $a=1, b=1, c=-2$:$$\Delta = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$Pierwiastek z delty wynosi 3.$$y_{1} = \frac{-1 - 3}{2} = -2$$$$y_{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$Krok 5: Wracamy do podstawienia $x^{2} = y + 3$, aby obliczyć x dla każdego y: Dla $y_{1} = -2$:$$x^{2} = -2 + 3 = 1$$Stąd $x = 1$ lub $x = -1$. Mamy punkty: $(1, -2)$ oraz $(-1, -2)$. Dla $y_{2} = 1$:$$x^{2} = 1 + 3 = 4$$Stąd $x = 2$ lub $x = -2$. Mamy punkty: $(2, 1)$ oraz $(-2, 1)$. Odpowiedź: Rozwiązaniami są pary $(1, -2), (-1, -2), (2, 1), (-2, 1)$. --- c) $\begin{cases} xy+x^2=4x \\ y=x^2-3x+5 \end{cases}$ Krok 1: Podstawiamy drugie równanie do pierwszego w miejsce y:$$x(x^{2} - 3x + 5) + x^{2} = 4x$$Krok 2: Wymnażamy nawias przez x:$$x^{3} - 3x^{2} + 5x + x^{2} = 4x$$Krok 3: Przenosimy $4x$ na lewą stronę ze zmianą znaku na minus i redukujemy wyrazy podobne:$$x^{3} - 2x^{2} + 5x - 4x = 0$$$$x^{3} - 2x^{2} + x = 0$$Krok 4: Wyłączamy wspólny czynnik x przed nawias:$$x(x^{2} - 2x + 1) = 0$$Krok 5: Zauważamy, że wyrażenie w nawiasie to wzór skróconego mnożenia $(x-1)^{2}$:$$x(x - 1)^{2} = 0$$Krok 6: Rozwiązujemy równanie. Iloczyn jest zerem, gdy: 1) $x = 0$ 2) $x - 1 = 0 \implies x = 1$ Krok 7: Obliczamy wartości y korzystając z drugiego równania $y = x^{2} - 3x + 5$: Dla $x = 0$:$$y = 0^{2} - 3 \cdot 0 + 5 = 5$$Dla $x = 1$:$$y = 1^{2} - 3 \cdot 1 + 5 = 1 - 3 + 5 = 3$$Odpowiedź: Rozwiązaniem układu są pary $(0, 5)$ oraz $(1, 3)$.