Zastosowanie twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów do rozwiązywania zadań kartkówka LiczBit

15.3 Zastosowanie twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów do rozwiązywania zadań

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Rozwiąż trójkąt równoramienny $ABC$, w którym ramiona $|AC| = |BC|$, podstawa $|AB| = 12$, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy $10$. Kąty podaj w pełnych stopniach.

Wskazówki:

Środek okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym leży na symetralnej jego podstawy, która zawiera również wysokość opuszczoną z wierzchołka $C$.
Z twierdzenia sinusów zachodzi zależność $\dfrac{|AB|}{\sin\gamma} = 2R$. Równanie $\sin\gamma = 0{,}6$ w przedziale $(0^\circ, 180^\circ)$ posiada dwa rozwiązania: kąt ostry lub kąt rozwarty.
Rozważ dwa możliwe położenia środka okręgu: wewnątrz trójkąta (trójkąt ostrokątny, $h = R + d$) oraz na zewnątrz trójkąta (trójkąt rozwartokątny, $h = R - d$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie odległości środka okręgu opisanego od podstawy trójkąta:
Niech punkt $D$ będzie środkiem podstawy $AB$. Wówczas odcinek $AD$ ma długość równą połowie podstawy: $$|AD| = \dfrac{|AB|}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$$ Środek okręgu opisanego $O$ leży na symetralnej odcinka $AB$. Trójkąt $ADO$ jest prostokątny z przeciwprostokątną równą promieniowi okręgu $|AO| = R = 10$. Odległość $d = |OD|$ obliczamy z twierdzenia Pitagorasa: $$ \begin{aligned} d^2 + |AD|^2 &= R^2 \\ d^2 + 6^2 &= 10^2 \\ d^2 + 36 &= 100 \\ d^2 &= 64 \implies d = 8 \end{aligned} $$
Wyznaczenie miary kąta przy wierzchołku $C$ z twierdzenia sinusów:
Stosujemy twierdzenie sinusów dla boku $AB$ i kąta leżącego naprzeciwko niemu ($\gamma = \angle ACB$): $$ \begin{aligned} \dfrac{|AB|}{\sin\gamma} &= 2R \\ \sin\gamma &= \dfrac{|AB|}{2R} \\ \sin\gamma &= \dfrac{12}{2 \cdot 10} = \dfrac{12}{20} = 0{,}6 \end{aligned} $$ Dla kątów w trójkącie ($\gamma \in (0^\circ, 180^\circ)$) istnieją dwie możliwości:
- Przypadek I (kąt ostry): $\gamma \approx 36{,}87^\circ \approx 37^\circ$, co oznacza, że środek okręgu leży wewnątrz trójkąta.
- Przypadek II (kąt rozwarty): $\gamma = 180^\circ - 36{,}87^\circ = 143{,}13^\circ \approx 143^\circ$, co oznacza, że środek okręgu leży na zewnątrz trójkąta.
Przypadek I – trójkąt ostrokątny ($\gamma \approx 37^\circ$):
Gdy środek okręgu leży wewnątrz trójkąta, wysokość $h_1 = |CD|$ jest sumą promienia $R$ i odległości $d$: $$h_1 = R + d = 10 + 8 = 18$$ Długość ramienia $b_1 = |AC| = |BC|$ obliczamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $ADC$: $$ \begin{aligned} b_1 &= \sqrt{h_1^2 + |AD|^2} \\ &= \sqrt{18^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{324 + 36} \\ &= \sqrt{360} = 6\sqrt{10} \end{aligned} $$ Kąty przy podstawie $\alpha$ i $\beta$ są równe: $$ \alpha = \beta = \dfrac{180^\circ - 36{,}87^\circ}{2} = 71{,}57^\circ \approx 72^\circ $$
Przypadek II – trójkąt rozwartokątny ($\gamma \approx 143^\circ$):
Gdy środek okręgu leży na zewnątrz trójkąta, wierzchołek $C$ leży na krótszym łuku okręgu, a wysokość $h_2 = |CD|$ jest różnicą promienia $R$ i odległości $d$: $$h_2 = R - d = 10 - 8 = 2$$ Długość ramienia $b_2 = |AC| = |BC|$ obliczamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $ADC$: $$ \begin{aligned} b_2 &= \sqrt{h_2^2 + |AD|^2} \\ &= \sqrt{2^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{4 + 36} \\ &= \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \end{aligned} $$ Kąty przy podstawie $\alpha$ i $\beta$ wynoszą wówczas: $$ \alpha = \beta = \dfrac{180^\circ - 143{,}13^\circ}{2} = 18{,}43^\circ \approx 18^\circ $$

Odpowiedź:
1. Wariant ostrokątny: $|AC| = |BC| = 6\sqrt{10}$, kąty: $72^\circ$, $72^\circ$, $37^\circ$.
2. Wariant rozwartokątny: $|AC| = |BC| = 2\sqrt{10}$, kąty: $18^\circ$, $18^\circ$, $143^\circ$.

Zadanie 2 (3 pkt)

Wskazówki:

Wykorzystaj twierdzenie sinusów, łączące stosunki długości boków z sinusami kątów leżących naprzeciwko nich: $\dfrac{|BC|}{\sin(\angle A)} = \dfrac{|AC|}{\sin(\angle B)}$.
Zwróć uwagę na relację długości boków: skoro $|BC| > |AC|$, to naprzeciwko dłuższego boku leży większy kąt ($|\angle A| > |\angle B|$). Z tego powodu kąt $\angle B$ musi być kątem ostrym, co wyklucza drugie (rozwartokątne) rozwiązanie.
Miarę trzeciego kąta oblicz z sumy miar kątów w trójkącie ($180^\circ$), a brakujący bok $|AB|$ wyznacz ponownie z twierdzenia sinusów.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie miary kąta $B$ z twierdzenia sinusów:
Zapisujemy zależność wynikającą z twierdzenia sinusów dla boków $BC$ oraz $AC$: $$ \begin{aligned} \dfrac{|BC|}{\sin(\angle A)} &= \dfrac{|AC|}{\sin(\angle B)} \\ \sin(\angle B) &= \dfrac{|AC| \cdot \sin(\angle A)}{|BC|} \end{aligned} $$ Wstawiamy dane liczbowe ($|AC| = 72$, $|BC| = 73$, $\sin 49^\circ \approx 0{,}7547$): $$ \begin{aligned} \sin(\angle B) &= \dfrac{72 \cdot \sin 49^\circ}{73} \\ &\approx \dfrac{72 \cdot 0{,}7547}{73} \\ &\approx \dfrac{54{,}339}{73} \approx 0{,}7444 \end{aligned} $$ Ponieważ $|BC| > |AC|$ ($73 > 72$), naprzeciwko dłuższego boku leży większy kąt, skąd wynika, że $|\angle A| > |\angle B|$. Kąt $\angle B$ musi być mniejszy niż $49^\circ$, co oznacza, że jest kątem ostrym: $$|\angle B| \approx 48{,}1^\circ \approx 48^\circ$$
Obliczenie miary kąta $C$ z sumy kątów w trójkącie:
Suma miar kątów w trójkącie wynosi $180^\circ$, zatem kąt przy wierzchołku $C$ ma miarę: $$ \begin{aligned} |\angle C| &= 180^\circ - (|\angle A| + |\angle B|) \\ &\approx 180^\circ - (49^\circ + 48{,}1^\circ) \\ &= 180^\circ - 97{,}1^\circ = 82{,}9^\circ \approx 83^\circ \end{aligned} $$
Wyznaczenie długości boku $|AB|$:
Stosujemy ponownie twierdzenie sinusów dla pary boków $AB$ i $BC$: $$ \begin{aligned} \dfrac{|AB|}{\sin(\angle C)} &= \dfrac{|BC|}{\sin(\angle A)} \\ |AB| &= \dfrac{|BC| \cdot \sin(\angle C)}{\sin(\angle A)} \end{aligned} $$ Podstawiamy wyznaczoną wartość kąta $|\angle C| \approx 82{,}9^\circ$ ($\sin 82{,}9^\circ \approx 0{,}9923$): $$ \begin{aligned} |AB| &\approx \dfrac{73 \cdot \sin 82{,}9^\circ}{\sin 49^\circ} \\ &\approx \dfrac{73 \cdot 0{,}9923}{0{,}7547} \\ &\approx \dfrac{72{,}438}{0{,}7547} \approx 95{,}98 \approx 96 \end{aligned} $$

Zadanie 3 (3 pkt)

Wykaż, że nie istnieje trójkąt $ABC$, w którym $|BC| = 121$, $|AC| = 60$, $|\angle B| = 30^\circ$.

Wskazówki:

Twierdzenie sinusów: W trójkącie stosunek boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw niego jest stały: $\dfrac{|AC|}{\sin(\angle B)} = \dfrac{|BC|}{\sin(\angle A)}$.
Zbiór wartości funkcji sinus: Dla każdego kąta wewnętrznego trójkąta zachodzi warunek $0 < \sin \alpha \le 1$. Jeśli z obliczeń otrzymamy wartość większą od $1$, oznacza to, że taki kąt (a tym samym trójkąt) nie istnieje.
Interpretacja geometryczna (wysokość trójkąta): Najkrótszą odległością wierzchołka $C$ od prostej zawierającej podstawę jest wysokość $h_c = |BC| \cdot \sin 30^\circ$. Aby bok $AC$ mógł dosięgnąć tej prostej i zamknąć trójkąt, jego długość musi wynosić co najmniej $h_c$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Zastosowanie twierdzenia sinusów (dowód algebraiczny):
W trójkącie $ABC$ kąt $B$ leży naprzeciw boku $AC$, natomiast kąt $A$ leży naprzeciw boku $BC$. Zakładamy nie wprost, że trójkąt o podanych wielkościach istnieje. Zgodnie z twierdzeniem sinusów zachodzi proporcja: $$ \dfrac{|AC|}{\sin(\angle B)} = \dfrac{|BC|}{\sin(\angle A)} $$ Wyznaczamy z powyższego równania $\sin(\angle A)$: $$ \sin(\angle A) = \dfrac{|BC| \cdot \sin(\angle B)}{|AC|} $$ Podstawiamy dane z treści zadania ($|BC| = 121$, $|AC| = 60$ oraz $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$): $$ \begin{aligned} \sin(\angle A) &= \dfrac{121 \cdot \dfrac{1}{2}}{60} \\[8pt] &= \dfrac{\dfrac{121}{2}}{60} \\[8pt] &= \dfrac{121}{120} = 1\dfrac{1}{120} \end{aligned} $$ Ponieważ dla dowolnego kąta rzeczywistego funkcja sinus przyjmuje wartości z przedziału $[-1, 1]$, a dla kąta trójkąta zachodzi warunek: $$ 0 < \sin(\angle A) \le 1 $$ otrzymana wartość $\sin(\angle A) = \dfrac{121}{120} > 1$ prowadzi do sprzeczności. Kąt $A$ o takim sinusie nie istnieje, co dowodzi, że trójkąt $ABC$ spełniający warunki zadania nie istnieje.
Sposób II – Analiza geometryczna za pomocą wysokości trójkąta (dowód syntetyczny):
Rozważmy półprostą wychodzącą z wierzchołka $B$ pod kątem $30^\circ$ do prostej zawierającej bok $BC$. Wyznaczmy odległość wierzchołka $C$ od prostej zawierającej ramię $AB$ (czyli wysokość trójkąta $h_c$): $$ \begin{aligned} h_c &= |BC| \cdot \sin 30^\circ \\[8pt] &= 121 \cdot \dfrac{1}{2} = 60{,}5 \end{aligned} $$

Najkrótszym możliwym odcinkiem łączącym wierzchołek $C$ z prostą $AB$ jest prostopadła do tej prostej, która ma długość $60{,}5$. Dowolny odcinek łączący punkt $C$ z prostą $AB$ musi mieć długość nie mniejszą niż $h_c$: $$ |AC| \ge h_c = 60{,}5 $$ Z treści zadania wynika natomiast, że $|AC| = 60 < 60{,}5$. Oznacza to, że odcinek o długości $60$ wyprowadzony z wierzchołka $C$ jest zbyt krótki, aby przeciąć prostą $AB$. Wierzchołek $A$ nie może istnieć, co kończy dowód.

Odpowiedź:
Wykazano, że trójkąt $ABC$ nie istnieje, ponieważ z twierdzenia sinusów wynika sprzeczność $\sin(\angle A) = \dfrac{121}{120} > 1$ (oraz geometrycznie bok $|AC| = 60$ jest mniejszy od wysokości $h_c = 60{,}5$).

Zadanie 4 (3 pkt)

Boki trójkąta mają długość $a, b, c$, kąty są odpowiednio równe $\alpha, \beta, \gamma$, a $R$ jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie. Rozwiąż ten trójkąt, jeśli: $$b = 3\sqrt{2}, \quad c = 3, \quad \gamma = 30^\circ$$

Wskazówki:

Wykorzystaj twierdzenie sinusów: $\dfrac{c}{\sin\gamma} = 2R$, aby wyznaczyć promień okręgu opisanego $R$.
Zastosuj ponownie twierdzenie sinusów do wyznaczenia $\sin\beta$. Pamiętaj, że w przedziale $(0^\circ, 180^\circ)$ równanie trygonometryczne $\sin\beta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ posiada dwa rozwiązania: kąt ostry oraz kąt rozwarty.
Sprawdź warunek sumy kątów trójkąta dla obu wartości $\beta$. Jeśli suma ze znanym kątem $\gamma$ jest mniejsza od $180^\circ$, otrzymujesz dwa poprawne przypadki geometryczne.
Brakujący bok $a$ wyznacz z twierdzenia sinusów dla kąta $\alpha$, korzystając ze wzorów na sinus sumy lub różnicy kątów: $\sin(60^\circ \pm 45^\circ)$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Obliczenie promienia okręgu opisanego $R$:
Zgodnie z twierdzeniem sinusów stosunek długości boku trójkąta do sinusa przeciwległego kąta jest równy podwojonemu promieniowi okręgu opisanego na tym trójkącie: $$ \dfrac{c}{\sin\gamma} = 2R $$ Podstawiamy dane z treści zadania $c = 3$ oraz $\gamma = 30^\circ$: $$ \begin{aligned} 2R &= \dfrac{3}{\sin 30^\circ} \\ &= \dfrac{3}{\frac{1}{2}} \\ &= 6 \end{aligned} $$ Dzieląc obustronnie przez $2$, otrzymujemy: $$ R = 3 $$
Wyznaczenie miary kąta $\beta$:
Korzystamy z twierdzenia sinusów dla pary bok $b$ i kąt $\beta$: $$ \dfrac{b}{\sin\beta} = 2R $$ Przekształcamy wzór, aby wyznaczyć $\sin\beta$, i wstawiamy $b = 3\sqrt{2}$ oraz $2R = 6$: $$ \begin{aligned} \sin\beta &= \dfrac{b}{2R} \\ &= \dfrac{3\sqrt{2}}{6} \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} $$ Kąt $\beta$ jest kątem wewnętrznym trójkąta, czyli $\beta \in (0^\circ, 180^\circ)$. W tym przedziale funkcja sinus przyjmuje wartość $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ dla dwóch różnych kątów: $$ \beta_1 = 45^\circ \quad \text{oraz} \quad \beta_2 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ $$ Sprawdzamy, czy w obu przypadkach można zbudować trójkąt przy danym kącie $\gamma = 30^\circ$:
- Dla $\beta_1 = 45^\circ$: $\beta_1 + \gamma = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ < 180^\circ$ (warunek spełniony),
- Dla $\beta_2 = 135^\circ$: $\beta_2 + \gamma = 135^\circ + 30^\circ = 165^\circ < 180^\circ$ (warunek spełniony).
Oznacza to, że dane zadania opisują dwa różne trójkąty. Rozpatrujemy oba przypadki osobno.
Przypadek I – gdy kąt $\beta$ jest ostry ($\beta_1 = 45^\circ$):
Wyznaczamy miarę trzeciego kąta trójkąta $\alpha_1$: $$ \begin{aligned} \alpha_1 &= 180^\circ - (\beta_1 + \gamma) \\ &= 180^\circ - (45^\circ + 30^\circ) \\ &= 180^\circ - 75^\circ \\ &= 105^\circ \end{aligned} $$ Obliczamy wartość $\sin 105^\circ$, stosując wzór na sinus sumy kątów: $$ \begin{aligned} \sin 105^\circ &= \sin(60^\circ + 45^\circ) \\ &= \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \end{aligned} $$ Długość boku $a_1$ obliczamy z twierdzenia sinusów: $$ \begin{aligned} \dfrac{a_1}{\sin\alpha_1} &= 2R \\ a_1 &= 2R \cdot \sin 105^\circ \\ &= 6 \cdot \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \\ &= \dfrac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} \end{aligned} $$
Przypadek II – gdy kąt $\beta$ jest rozwarty ($\beta_2 = 135^\circ$):
Wyznaczamy miarę kąta $\alpha_2$: $$ \begin{aligned} \alpha_2 &= 180^\circ - (\beta_2 + \gamma) \\ &= 180^\circ - (135^\circ + 30^\circ) \\ &= 180^\circ - 165^\circ \\ &= 15^\circ \end{aligned} $$ Obliczamy wartość $\sin 15^\circ$, stosując wzór na sinus różnicy kątów: $$ \begin{aligned} \sin 15^\circ &= \sin(45^\circ - 30^\circ) \\ &= \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{aligned} $$ Długość boku $a_2$ obliczamy z twierdzenia sinusów: $$ \begin{aligned} \dfrac{a_2}{\sin\alpha_2} &= 2R \\ a_2 &= 2R \cdot \sin 15^\circ \\ &= 6 \cdot \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \\ &= \dfrac{3(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \end{aligned} $$

Odpowiedź: Trójkąt posiada dwa rozwiązania:
1) $R = 3$, $\beta = 45^\circ$, $\alpha = 105^\circ$, $a = \dfrac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$
2) $R = 3$, $\beta = 135^\circ$, $\alpha = 15^\circ$, $a = \dfrac{3(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2}$

Zadanie 5 (3 pkt)

Boki trójkąta mają długość $a, b, c$, a kąty leżące naprzeciw nich to odpowiednio $\alpha, \beta, \gamma$. Wykaż, że jeśli stosunek boków wynosi $a : b : c = 2 : 3 : 4$, to $4 \cos \gamma + 1 = 0$.

Wskazówki:

Wprowadź dodatni współczynnik proporcjonalności $x > 0$, aby wyrazić długości wszystkich trzech boków za pomocą jednej zmiennej.
Skorzystaj z twierdzenia cosinusów dla boku $c$, który leży naprzeciwko kąta $\gamma$.
Wyznacz wartość $\cos \gamma$, a następnie przekształć otrzymane wyrażenie do postaci podanej w tezie.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wprowadzenie oznaczeń i zapisanie długości boków trójkąta:
Stosunek boków wynosi $a : b : c = 2 : 3 : 4$. Oznacza to, że istnieje taka liczba $x > 0$, dla której długości boków wynoszą odpowiednio: $$ \begin{aligned} a &= 2x \\ b &= 3x \\ c &= 4x \end{aligned} $$
Zastosowanie twierdzenia cosinusów dla boku $c$:
Kąt $\gamma$ leży naprzeciwko boku o długości $c$. Zgodnie z twierdzeniem cosinusów zachodzi równość: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$$ Podstawiamy wyrażenia z parametrem $x$: $$ \begin{aligned} (4x)^2 &= (2x)^2 + (3x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot (3x) \cdot \cos \gamma \\ 16x^2 &= 4x^2 + 9x^2 - 12x^2 \cos \gamma \\ 16x^2 &= 13x^2 - 12x^2 \cos \gamma \end{aligned} $$
Wyznaczenie wartości $\cos \gamma$:
Grupujemy wyrazy z $x^2$ po lewej stronie równania: $$ \begin{aligned} 16x^2 - 13x^2 &= -12x^2 \cos \gamma \\ 3x^2 &= -12x^2 \cos \gamma \end{aligned} $$ Ponieważ $x > 0$, to $x^2 > 0$. Możemy zatem obustronnie podzielić równanie przez $x^2$: $$3 = -12 \cos \gamma$$ Dzielimy obie strony równania przez $-12$: $$\cos \gamma = -\dfrac{3}{12} = -\dfrac{1}{4}$$
Wykazanie równości z tezy:
Mnożymy obie strony równości $\cos \gamma = -\dfrac{1}{4}$ przez $4$: $$4 \cos \gamma = -1$$ Dodajemy $1$ do obu stron równania: $$4 \cos \gamma + 1 = 0$$ Co należało wykazać.

Wniosek: Równość $4 \cos \gamma + 1 = 0$ jest prawdziwa.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

W trójkącie równoramiennym $ABC$ podstawa $\left| AB \right|$ ma długość $8$, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi $5$. Rozwiąż ten trójkąt, zaokrąglając kąty do pełnych stopni.