Wektor w układzie współrzędnych - podstawowe informacje

9.1 Wektor w układzie współrzędnych – podstawowe informacje

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Oblicz współrzędne wektora $\vec{AB}$, jeśli:

a) $A(-\sqrt{2}, 0),\ B(3\sqrt{2}, -\sqrt{2})$

b) $A\left(-\dfrac{1}{4}, \dfrac{2}{5}\right),\ B\left(\dfrac{3}{4}, 1\right)$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i definicja: Współrzędne wektora o danym początku i końcu opisują jego przesunięcie wzdłuż osi układu współrzędnych – pierwsza współrzędna odpowiada zmianie na osi $OX$, a druga na osi $OY$.
Kluczowy wzór: Dla punktów $A(x_A, y_A)$ oraz $B(x_B, y_B)$ stosujemy fundamentalną zależność: $\vec{AB} = [x_B - x_A,\; y_B - y_A]$. Zawsze odejmujemy współrzędne punktu początkowego ($A$) od współrzędnych punktu końcowego ($B$).
Kolejność operacji: Obliczaj każdą współrzędną osobno. W podpunkcie a) pamiętaj o redukcji wyrazów podobnych z pierwiastkami, a w podpunkcie b) o sprowadzeniu liczb do wspólnego mianownika przy odejmowaniu ułamków.
Weryfikacja wyniku: Skontroluj znaki współrzędnych – jeżeli punkt końcowy leży niżej lub bardziej na lewo niż początkowy, odpowiednia współrzędna wektora musi wyjść ujemna.
Czego unikać (częsta pułapka): Uważaj na zamianę kolejności odejmowania (wyznaczenie wektora przeciwnego $\vec{BA}$ zamiast $\vec{AB}$) oraz na znaki minus przy odejmowaniu wartości ujemnych: $x_B - (-x_A) = x_B + x_A$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wzór ogólny na współrzędne wektora w układzie współrzędnych:
Współrzędne wektora zaczepionego w punkcie $A(x_A, y_A)$ o końcu w punkcie $B(x_B, y_B)$ obliczamy, odejmując współrzędne początku od współrzędnych końca: $$ \vec{AB} = [x_B - x_A,\; y_B - y_A] $$
Podpunkt a) Obliczamy współrzędne wektora dla punktów $A(-\sqrt{2}, 0)$ oraz $B(3\sqrt{2}, -\sqrt{2})$:
Identyfikujemy współrzędne punktów: $$ x_A = -\sqrt{2},\quad y_A = 0,\quad x_B = 3\sqrt{2},\quad y_B = -\sqrt{2} $$ Wstawiamy dane do wzoru, zwracając szczególną uwagę na podwójny znak minus przy pierwszej współrzędnej: $$ \begin{aligned} \vec{AB} &= [x_B - x_A,\; y_B - y_A] \\[8pt] &= [3\sqrt{2} - (-\sqrt{2}),\; -\sqrt{2} - 0] \\[8pt] &= [3\sqrt{2} + \sqrt{2},\; -\sqrt{2}] \\[8pt] &= [4\sqrt{2},\; -\sqrt{2}] \end{aligned} $$
Podpunkt b) Obliczamy współrzędne wektora dla punktów $A\left(-\dfrac{1}{4}, \dfrac{2}{5}\right)$ oraz $B\left(\dfrac{3}{4}, 1\right)$:
Identyfikujemy współrzędne punktów: $$ x_A = -\dfrac{1}{4},\quad y_A = \dfrac{2}{5},\quad x_B = \dfrac{3}{4},\quad y_B = 1 $$ Wstawiamy wartości do wzoru i wykonujemy działania na ułamkach zwykłych: $$ \begin{aligned} \vec{AB} &= [x_B - x_A,\; y_B - y_A] \\[8pt] &= \left[\dfrac{3}{4} - \left(-\dfrac{1}{4}\right),\; 1 - \dfrac{2}{5}\right] \\[8pt] &= \left[\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4},\; \dfrac{5}{5} - \dfrac{2}{5}\right] \\[8pt] &= \left[\dfrac{4}{4},\; \dfrac{3}{5}\right] \\[8pt] &= \left[1,\; \dfrac{3}{5}\right] \end{aligned} $$

Odpowiedź:
a) $\vec{AB} = [4\sqrt{2},\; -\sqrt{2}]$

b) $\vec{AB} = \left[1,\; \dfrac{3}{5}\right]$

Zadanie 2 (2 pkt)

Punkt $S$ jest punktem wspólnym odcinka $AB$ i jego symetralnej. Wyznacz współrzędne punktu $A$, jeśli: $S(0, 0)$, $\vec{SB} = [2, 3]$.

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza pojęciowa: Przypomnij sobie geometryczną definicję symetralnej odcinka. Jest to prosta prostopadła do odcinka przechodząca dokładnie przez jego środek. Punkt wspólny odcinka i jego symetralnej to zatem środek tego odcinka, co oznacza, że punkt $S$ jest środkiem odcinka $AB$.
Główna metoda (własność wektorów): Skoro punkt $S$ leży dokładnie w połowie odcinka $AB$, wektory $\vec{SA}$ oraz $\vec{SB}$ mają identyczną długość i ten sam kierunek, lecz przeciwne zwroty. Zachodzi między nimi podstawowa relacja wektorowa: $\vec{SA} = -\vec{SB}$.
Kolejność operacji: Wyznacz współrzędne wektora przeciwnego $\vec{SA}$ poprzez zmianę znaków składowych wektora $\vec{SB}$, a następnie wyznacz współrzędne punktu $A$, korzystając ze wzoru na współrzędne wektora $\vec{SA} = [x_A - x_S, y_A - y_S]$.
Metoda alternatywna i weryfikacja: Możesz również odczytać współrzędne punktu $B(2, 3)$ i zastosować klasyczne wzory na współrzędne środka odcinka: $x_S = \dfrac{x_A + x_B}{2}$ oraz $y_S = \dfrac{y_A + y_B}{2}$, sprawdzając zgodność obu metod.
Czego unikać (częsta pułapka): Uważaj na zwroty wektorów – wektor $\vec{SA}$ jest wektorem przeciwnym do $\vec{SB}$, a nie równym mu ($\vec{SA} \neq \vec{SB}$). Nie pomyl również początku z końcem wektora przy odejmowaniu współrzędnych.

Rozwiązanie krok po kroku:

Analiza geometryczna i rysunek pomocniczy stanu wyjściowego:
Symetralna odcinka to prosta prostopadła do niego, dzieląca go na dwie równe części. Skoro punkt $S$ jest punktem wspólnym odcinka $AB$ i jego symetralnej, to $S$ jest środkiem odcinka $AB$.
Z treści zadania znamy współrzędne środka $S(0, 0)$ oraz wektor $\vec{SB} = [2, 3]$.
Sposób I – Wyznaczenie współrzędnych punktu $A$ z zależności wektorowej:
Wektor $\vec{SA}$ łączy środek odcinka z punktem $A$, natomiast wektor $\vec{SB}$ łączy środek odcinka z punktem $B$. Mają one równe długości, leżą na jednej prostej, lecz są skierowane przeciwnie: $$\vec{SA} = -\vec{SB}$$ Podstawiamy dane współrzędne wektora $\vec{SB} = [2, 3]$: $$\vec{SA} = -[2, 3] = [-2, -3]$$ Współrzędne wektora $\vec{SA}$ wyrażają się przez różnicę współrzędnych końca i początku: $$\vec{SA} = [x_A - x_S, y_A - y_S]$$ Podstawiamy współrzędne punktu $S(0, 0)$: $$\begin{aligned} [-2, -3] &= [x_A - 0, y_A - 0] \\[8pt] [-2, -3] &= [x_A, y_A] \end{aligned}$$ Przyrównując odpowiednie składowe: $$x_A = -2, \quad y_A = -3$$ Zatem punkt $A$ ma współrzędne $A(-2, -3)$.
Sposób II – Wyznaczenie współrzędnych ze wzoru na środek odcinka:
Wektor $\vec{SB}$ ma początek w punkcie $S(0, 0)$ i koniec w punkcie $B(x_B, y_B)$: $$\vec{SB} = [x_B - x_S, y_B - y_S] = [x_B - 0, y_B - 0] = [x_B, y_B]$$ Ponieważ $\vec{SB} = [2, 3]$, współrzędne punktu $B$ to $B(2, 3)$.
Punkt $S(x_S, y_S)$ jest środkiem odcinka $AB$, więc jego współrzędne są średnimi arytmetycznymi współrzędnych punktów $A$ i $B$: $$x_S = \dfrac{x_A + x_B}{2}, \quad y_S = \dfrac{y_A + y_B}{2}$$ Wyznaczamy współrzędną $x_A$: $$\begin{aligned} 0 &= \dfrac{x_A + 2}{2} \\[8pt] x_A + 2 &= 0 \\[8pt] x_A &= -2 \end{aligned}$$ Wyznaczamy współrzędną $y_A$: $$\begin{aligned} 0 &= \dfrac{y_A + 3}{2} \\[8pt] y_A + 3 &= 0 \\[8pt] y_A &= -3 \end{aligned}$$ Obie metody prowadzą do tego samego wyniku: $A(-2, -3)$.
Rysunek wynikowy w kartezjańskim układzie współrzędnych:
Poniższy wykres ilustruje położenie obu końców odcinka $A(-2, -3)$ i $B(2, 3)$, jego środek $S(0, 0)$ oraz prostą symetralną przechodzącą przez punkt $S$.

Odpowiedź:
$A(-2, -3)$

Zadanie 3 (2 pkt)

Dane są punkty $A$, $B$, $C$, $D$. Sprawdź, czy czworokąt $ABCD$ jest równoległobokiem. Następnie oblicz jego obwód.
$A(0, 0)$, $B(2, 1)$, $C(3, 4)$, $D(1, 3)$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza: Rozpocznij od wykonania szkicu pomocniczego w układzie współrzędnych i naniesienia punktów $A, B, C, D$. Przypomnij sobie warunki równoległoboku: przeciwległe boki muszą być równoległe i równej długości, a przekątne muszą przecinać się dokładnie w swoich środkach.
Kluczowa metoda i wzór: Najszybszym i najbardziej eleganckim sposobem jest zbadanie równości wektorów wyznaczających przeciwległe boki: $\vec{AB}$ oraz $\vec{DC}$ (gdzie $\vec{PK} = [x_K - x_P,\; y_K - y_P]$). Równość $\vec{AB} = \vec{DC}$ gwarantuje jednocześnie równoległość i równość długości tych boków. Alternatywnie możesz sprawdzić, czy środki przekątnych $AC$ i $BD$ pokrywają się, korzystając ze wzoru na środek odcinka: $S = \left(\dfrac{x_1 + x_2}{2},\; \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$.
Kolejność operacji: Po potwierdzeniu, że figura jest równoległobokiem, oblicz długości dwóch sąsiednich boków (np. $|AB|$ oraz $|AD|$) za pomocą wzoru na odległość punktów: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Następnie wyznacz obwód jako sumę wszystkich boków: $Obw = 2|AB| + 2|AD|$.
Weryfikacja wyniku: Upewnij się, że długości boków są dodatnie oraz zapisane w najprostszej postaci pierwiastkowej. Pamiętaj, że wyrażenia $2\sqrt{5} + 2\sqrt{10}$ nie można zsumować pod jeden wspólny pierwiastek – można jedynie wyłączyć liczbę $2$ przed nawias: $2(\sqrt{5} + \sqrt{10})$.
Czego unikać (częsta pułapka): Zwróć szczególną uwagę na zwrot wektorów przy porównywaniu przeciwległych boków. Odcinek $AB$ ma ten sam zwrot co odcinek $DC$ (a nie $CD$). Zapisanie wektora $\vec{CD}$ dałoby wektor o przeciwnych znakach ($[-2, -1]$), co mogłoby błędnie zasugerować, że czworokąt nie jest równoległobokiem.

Rozwiązanie krok po kroku:

Szkic pomocniczy i naniesienie punktów w układzie współrzędnych:
Zaznaczamy w kartezjańskim układzie współrzędnych dane punkty: $A(0, 0)$, $B(2, 1)$, $C(3, 4)$ oraz $D(1, 3)$. Łączymy je pomocniczym zarysem, aby zilustrować badany czworokąt $ABCD$.
Weryfikacja, czy czworokąt $ABCD$ jest równoległobokiem:
Aby czworokąt był równoległobokiem, jego przeciwległe boki muszą być parami równe i równoległe, bądź jego przekątne muszą dzielić się na połowy.

Sposób I – Wykorzystanie rachunku wektorowego (najbardziej intuicyjna metoda licealna):
Współrzędne wektora o początku w punkcie $P(x_P, y_P)$ i końcu w punkcie $K(x_K, y_K)$ wyznaczamy odejmując współrzędne początku od współrzędnych końca: $$\vec{PK} = [x_K - x_P,\; y_K - y_P]$$ Wyznaczamy wektory reprezentujące pierwszą parę przeciwległych boków ($\vec{AB}$ oraz $\vec{DC}$): $$\begin{aligned} \vec{AB} &= [2 - 0,\; 1 - 0] = [2,\; 1] \\[8pt] \vec{DC} &= [3 - 1,\; 4 - 3] = [2,\; 1] \end{aligned}$$ Zauważmy, że wektory $\vec{AB}$ i $\vec{DC}$ są równe: $$\vec{AB} = \vec{DC} = [2,\; 1]$$ Równość wektorów oznacza, że proste zawierające te boki są równoległe ($AB \parallel CD$), a same boki mają jednakową długość ($|AB| = |CD|$).

Sprawdźmy drugą parę przeciwległych boków ($\vec{AD}$ oraz $\vec{BC}$): $$\begin{aligned} \vec{AD} &= [1 - 0,\; 3 - 0] = [1,\; 3] \\[8pt] \vec{BC} &= [3 - 2,\; 4 - 1] = [1,\; 3] \end{aligned}$$ Mamy: $$\vec{AD} = \vec{BC} = [1,\; 3]$$ co dowodzi, że $AD \parallel BC$ oraz $|AD| = |BC|$.
Zatem czworokąt $ABCD$ jest równoległobokiem.

Sposób II – Wyznaczenie środków przekątnych:
Czworokąt jest równoległobokiem wtedy i tylko wtedy, gdy jego przekątne przecinają się w punkcie dzielącym obie z nich na połowy. Przekątnymi czworokąta $ABCD$ są odcinki $AC$ oraz $BD$. Współrzędne środka odcinka są średnimi arytmetycznymi współrzędnych jego końców.

Środek przekątnej $AC$: $$\begin{aligned} S_{AC} &= \left(\dfrac{x_A + x_C}{2},\; \dfrac{y_A + y_C}{2}\right) \\[8pt] &= \left(\dfrac{0 + 3}{2},\; \dfrac{0 + 4}{2}\right) \\[8pt] &= \left(\dfrac{3}{2},\; 2\right) \end{aligned}$$ Środek przekątnej $BD$: $$\begin{aligned} S_{BD} &= \left(\dfrac{x_B + x_D}{2},\; \dfrac{y_B + y_D}{2}\right) \\[8pt] &= \left(\dfrac{2 + 1}{2},\; \dfrac{1 + 3}{2}\right) \\[8pt] &= \left(\dfrac{3}{2},\; 2\right) \end{aligned}$$ Ponieważ punkty te są identyczne: $$S_{AC} = S_{BD} = \left(\dfrac{3}{2},\; 2\right)$$ przekątne dzielą się na połowy w tym samym punkcie, co ostatecznie potwierdza, że czworokąt $ABCD$ jest równoległobokiem.
Obliczenie długości boków oraz obwodu równoległoboku:
Długość odcinka o końcach $P(x_P, y_P)$ i $K(x_K, y_K)$ wyliczamy ze wzoru: $$|PK| = \sqrt{(x_K - x_P)^2 + (y_K - y_P)^2}$$ Obliczamy długość boku $AB$: $$\begin{aligned} |AB| &= \sqrt{(2 - 0)^2 + (1 - 0)^2} \\[8pt] &= \sqrt{2^2 + 1^2} \\[8pt] &= \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \end{aligned}$$ Z własności równoległoboku przeciwległy bok ma tę samą długość: $$|CD| = |AB| = \sqrt{5}$$ Obliczamy długość boku $AD$: $$\begin{aligned} |AD| &= \sqrt{(1 - 0)^2 + (3 - 0)^2} \\[8pt] &= \sqrt{1^2 + 3^2} \\[8pt] &= \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \end{aligned}$$ Podobnie dla przeciwległego boku $BC$: $$|BC| = |AD| = \sqrt{10}$$ Obliczamy obwód równoległoboku $ABCD$: $$\begin{aligned} Obw &= |AB| + |BC| + |CD| + |DA| \\[8pt] &= \sqrt{5} + \sqrt{10} + \sqrt{5} + \sqrt{10} \\[8pt] &= 2\sqrt{5} + 2\sqrt{10} \end{aligned}$$ Wynik możemy również zapisać w postaci iloczynowej: $$Obw = 2(\sqrt{5} + \sqrt{10})$$
Rysunek wynikowy z zaznaczonym równoległobokiem i wyliczonymi wielkościami:
Poniższy wykres przedstawia udowodniony równoległobok $ABCD$ wraz z przekątnymi przecinającymi się w punkcie $S\left(\dfrac{3}{2},\; 2\right)$ oraz wyznaczonymi długościami boków:

Odpowiedź:
Czworokąt $ABCD$ jest równoległobokiem. Obwód czworokąta wynosi $2\sqrt{5} + 2\sqrt{10}$ (lub $2(\sqrt{5} + \sqrt{10})$).

Zadanie 4 (2 pkt)

Oblicz współrzędne wierzchołków $C$ i $D$ równoległoboku $ABCD$, wiedząc, że $A(1, 2)$, $B(3, 1)$, a przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $S(-1, -2)$. Oblicz długości boków tego równoległoboku.

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza wstępna: Przypomnij sobie kluczową własność każdego równoległoboku – jego przekątne przecinają się w jednym punkcie, który dzieli każdą z nich dokładnie na dwie równe połowy. Oznacza to, że punkt $S$ jest środkiem odcinka $AC$ oraz środkiem odcinka $BD$.
Główna metoda i powiązanie pojęciowe: Aby wyznaczyć brakujące współrzędne wierzchołków $C$ i $D$, skorzystaj ze wzoru na współrzędne środka odcinka o końcach w znanych punktach (bądź z własności wektorów równych: $\vec{AS} = \vec{SC}$ oraz $\vec{BS} = \vec{SD}$).
Kolejność operacji: Ułóż niezależne równania dla pierwszej współrzędnej $x$ oraz drugiej współrzędnej $y$ dla wierzchołka $C$, a następnie powtórz procedurę dla wierzchołka $D$. Po wyznaczeniu wszystkich czterech punktów zastosuj wzór na odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych, by obliczyć długości boków.
Interpretacja i weryfikacja końcowa: W równoległoboku przeciwległe boki mają jednakowe długości ($|AB| = |CD|$ oraz $|BC| = |AD|$). Wystarczy więc policzyć odległości dla dwóch sąsiednich boków, np. $|AB|$ oraz $|BC|$, i sprawdzić, czy przeciwległe odcinki dają identyczny wynik.
Czego unikać (częsta pułapka): Uważaj na znaki minus przy odejmowaniu liczb ujemnych – we wzorze na odległość oraz wektor odjęcie współrzędnej ujemnej daje plus (np. $x - (-1) = x + 1$). Zwróć też uwagę na kolejność liter w nazwie równoległoboku: przekątne to $AC$ oraz $BD$, a nie $AB$ czy $AD$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i własności przekątnych równoległoboku:
W dowolnym równoległoboku $ABCD$ przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $S$, który jest jednocześnie środkiem symetrii figury i środkiem każdej z tych przekątnych. Na poniższym szkicu pomocniczym naniesiono wyłącznie dane wyjściowe zadania: wierzchołki $A(1, 2)$ i $B(3, 1)$, odcinek $AB$ oraz punkt przecięcia przekątnych $S(-1, -2)$. Linie przerywane wyznaczają kierunki przekątnych, na których muszą znaleźć się szukane punkty $C$ i $D$.
Wyznaczenie współrzędnych wierzchołków $C$ i $D$ – Sposób I (wzór na środek odcinka):
Współrzędne środka odcinka o końcach $P_1(x_1, y_1)$ i $P_2(x_2, y_2)$ wyrażają się wzorami: $$x_S = \dfrac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_S = \dfrac{y_1 + y_2}{2}$$ Wyznaczamy współrzędne wierzchołka $C(x_C, y_C)$, wiedząc, że punkt $S(-1, -2)$ jest środkiem przekątnej $AC$, gdzie $A(1, 2)$: $$\begin{aligned} -1 &= \dfrac{1 + x_C}{2} \quad \Big/ \cdot 2 \\[8pt] -2 &= 1 + x_C \\[8pt] x_C &= -2 - 1 \\[8pt] x_C &= -3 \end{aligned}$$ Dla współrzędnej $y_C$: $$\begin{aligned} -2 &= \dfrac{2 + y_C}{2} \quad \Big/ \cdot 2 \\[8pt] -4 &= 2 + y_C \\[8pt] y_C &= -4 - 2 \\[8pt] y_C &= -6 \end{aligned}$$ Zatem wierzchołek $C$ ma współrzędne: $$C(-3, -6)$$ W analogiczny sposób wyznaczamy współrzędne wierzchołka $D(x_D, y_D)$, wykorzystując fakt, że punkt $S(-1, -2)$ jest środkiem przekątnej $BD$, gdzie $B(3, 1)$: $$\begin{aligned} -1 &= \dfrac{3 + x_D}{2} \quad \Big/ \cdot 2 \\[8pt] -2 &= 3 + x_D \\[8pt] x_D &= -2 - 3 \\[8pt] x_D &= -5 \end{aligned}$$ Dla współrzędnej $y_D$: $$\begin{aligned} -2 &= \dfrac{1 + y_D}{2} \quad \Big/ \cdot 2 \\[8pt] -4 &= 1 + y_D \\[8pt] y_D &= -4 - 1 \\[8pt] y_D &= -5 \end{aligned}$$ Zatem wierzchołek $D$ ma współrzędne: $$D(-5, -5)$$
Wyznaczenie współrzędnych wierzchołków $C$ i $D$ – Sposób II (rachunek wektorowy):
Ponieważ punkt $S$ leży w połowie drogi między przeciwległymi wierzchołkami, wektor przesunięcia z punktu $A$ do $S$ jest dokładnie taki sam jak wektor przesunięcia z punktu $S$ do $C$: $$\vec{AS} = \vec{SC}$$ Obliczamy współrzędne wektora $\vec{AS}$: $$\begin{aligned} \vec{AS} &= [x_S - x_A, \; y_S - y_A] \\[8pt] &= [-1 - 1, \; -2 - 2] \\[8pt] &= [-2, -4] \end{aligned}$$ Współrzędne wektora $\vec{SC}$ wynoszą: $$\vec{SC} = [x_C - (-1), \; y_C - (-2)] = [x_C + 1, \; y_C + 2]$$ Przyrównując odpowiednie współrzędne obu wektorów: $$\begin{aligned} x_C + 1 &= -2 \implies x_C = -3 \\[8pt] y_C + 2 &= -4 \implies y_C = -6 \end{aligned}$$ Otrzymujemy wierzchołek $C(-3, -6)$.

W ten sam sposób dla wierzchołka $D$ zachodzi równość wektorów $\vec{BS} = \vec{SD}$: $$\begin{aligned} \vec{BS} &= [x_S - x_B, \; y_S - y_B] \\[8pt] &= [-1 - 3, \; -2 - 1] \\[8pt] &= [-4, -3] \end{aligned}$$ Współrzędne wektora $\vec{SD}$ to $[x_D + 1, \; y_D + 2]$. Przyrównujemy: $$\begin{aligned} x_D + 1 &= -4 \implies x_D = -5 \\[8pt] y_D + 2 &= -3 \implies y_D = -5 \end{aligned}$$ Otrzymujemy wierzchołek $D(-5, -5)$.
Obliczenie długości boków równoległoboku $ABCD$:
Długość odcinka o końcach $P_1(x_1, y_1)$ i $P_2(x_2, y_2)$ wyraża się wzorem: $$|P_1P_2| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ Obliczamy długość boku $AB$, podstawiając współrzędne punktów $A(1, 2)$ oraz $B(3, 1)$: $$\begin{aligned} |AB| &= \sqrt{(3 - 1)^2 + (1 - 2)^2} \\[8pt] &= \sqrt{2^2 + (-1)^2} \\[8pt] &= \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \end{aligned}$$ W równoległoboku przeciwległe boki mają jednakowe długości, zatem bok $CD$ ma tę samą miarę: $$|CD| = |AB| = \sqrt{5}$$ Obliczamy długość boku $BC$, podstawiając współrzędne punktów $B(3, 1)$ oraz $C(-3, -6)$: $$\begin{aligned} |BC| &= \sqrt{(-3 - 3)^2 + (-6 - 1)^2} \\[8pt] &= \sqrt{(-6)^2 + (-7)^2} \\[8pt] &= \sqrt{36 + 49} = \sqrt{85} \end{aligned}$$ Przeciwległy bok $AD$ ma taką samą długość co bok $BC$: $$|AD| = |BC| = \sqrt{85}$$
Rysunek wynikowy i interpretacja w układzie współrzędnych:
Poniższy wykres przedstawia zrekonstruowany równoległobok $ABCD$ wraz z obiema przecinającymi się przekątnymi, wyznaczonymi wierzchołkami oraz obliczonymi długościami boków.

Odpowiedź:
Współrzędne wierzchołków równoległoboku to $C(-3, -6)$ oraz $D(-5, -5)$.

Długości boków wynoszą: $|AB| = |CD| = \sqrt{5}$ oraz $|BC| = |AD| = \sqrt{85}$.

Zadanie 5 (2 pkt)

Wyznacz liczby $m$ i $n$ wiedząc, że:

a) wektory $\vec{a} = [m, 2m + n]$ i $\vec{b} = [n + 5, 1]$ są równe

b) wektory $\vec{c} = [m + n, m - 2n]$ i $\vec{d} = [-3, 0]$ są przeciwne

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza: Zidentyfikuj pierwszą i drugą współrzędną każdego z wektorów w obu podpunktach: dla wektora $\vec{u} = [u_x, u_y]$ pierwsza wielkość to współrzędna pozioma, a druga to współrzędna pionowa.
Kluczowa metoda i warunki: Skorzystaj z fundamentalnych własności wektorów w układzie współrzędnych:
• Dwa wektory są równe ($\vec{a} = \vec{b}$), gdy ich odpowiednie współrzędne są równe: $a_x = b_x$ oraz $a_y = b_y$.
• Dwa wektory są przeciwne ($\vec{c} = -\vec{d}$), gdy ich odpowiednie współrzędne są liczbami przeciwnymi: $c_x = -d_x$ oraz $c_y = -d_y$ (co jest równoważne warunkowi $\vec{c} + \vec{d} = \vec{0}$).
Kolejność operacji: Zbuduj dla każdego podpunktu układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi $m$ i $n$. Wyznacz jedną zmienną z prostszego równania i podstaw ją do drugiego, a po znalezieniu pierwszej liczby oblicz drugą.
Weryfikacja wyniku: Wstaw wyznaczone wartości $m$ i $n$ do początkowych współrzędnych wektorów i sprawdź, czy w podpunkcie a) wektory są identyczne, a w podpunkcie b) ich współrzędne sumują się do zera.
Czego unikać (częsta pułapka): Przy wektorach przeciwnych pamiętaj o zmianie znaku OBU współrzędnych. Zwróć szczególną uwagę na znaki minus przy liczbach ujemnych: liczba przeciwna do $-3$ to $-(-3) = 3$, natomiast liczba przeciwna do $0$ to $-0 = 0$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie liczb $m$ i $n$ dla wektorów równych $\vec{a} = [m, 2m + n]$ oraz $\vec{b} = [n + 5, 1]$:
Dwa wektory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich odpowiadające sobie współrzędne są równe. Przyrównujemy pierwszą współrzędną do pierwszej, a drugą do drugiej: $$ \begin{cases} m = n + 5 \\ 2m + n = 1 \end{cases} $$ Układ rozwiązujemy metodą podstawiania. Wyrażenie $m = n + 5$ z pierwszego równania wstawiamy w miejsce $m$ do drugiego równania: $$ \begin{aligned} 2(n + 5) + n &= 1 \\[8pt] 2n + 10 + n &= 1 \\[8pt] 3n + 10 &= 1 \\[8pt] 3n &= 1 - 10 \\[8pt] 3n &= -9 \quad \Big/ : 3 \\[8pt] n &= -3 \end{aligned} $$ Mając wyznaczoną wartość $n = -3$, obliczamy $m$: $$ \begin{aligned} m &= n + 5 \\[8pt] m &= -3 + 5 \\[8pt] m &= 2 \end{aligned} $$ Sprawdzamy współrzędne wektorów dla wyznaczonych wartości $m = 2$ i $n = -3$: $$ \begin{aligned} \vec{a} &= [2, 2 \cdot 2 + (-3)] = [2, 4 - 3] = [2, 1] \\[8pt] \vec{b} &= [-3 + 5, 1] = [2, 1] \end{aligned} $$ Oba wektory mają identyczne współrzędne $[2, 1]$, co potwierdza ich równość.
Podpunkt b) Wyznaczenie liczb $m$ i $n$ dla wektorów przeciwnych $\vec{c} = [m + n, m - 2n]$ oraz $\vec{d} = [-3, 0]$:
Dwa wektory są przeciwne ($\vec{c} = -\vec{d}$), gdy ich odpowiednie współrzędne są liczbami przeciwnymi: $$ \begin{cases} c_x = -d_x \\ c_y = -d_y \end{cases} $$ Ponieważ dla wektora $\vec{d}$ mamy $d_x = -3$ oraz $d_y = 0$, liczby do nich przeciwne wynoszą: $$ -d_x = -(-3) = 3, \quad -d_y = -0 = 0 $$ Zapisujemy układ równań: $$ \begin{cases} m + n = 3 \\ m - 2n = 0 \end{cases} $$ Z drugiego równania natychmiast wyznaczamy zależność między zmiennymi: $$ m = 2n $$ Podstawiamy $m = 2n$ do pierwszego równania: $$ \begin{aligned} 2n + n &= 3 \\[8pt] 3n &= 3 \quad \Big/ : 3 \\[8pt] n &= 1 \end{aligned} $$ Obliczamy wartość $m$: $$ \begin{aligned} m &= 2n \\[8pt] m &= 2 \cdot 1 \\[8pt] m &= 2 \end{aligned} $$ Sprawdzamy współrzędne wektorów dla $m = 2$ i $n = 1$: $$ \begin{aligned} \vec{c} &= [2 + 1, 2 - 2 \cdot 1] = [3, 2 - 2] = [3, 0] \\[8pt] \vec{d} &= [-3, 0] \end{aligned} $$ Wektor przeciwny do $\vec{d}$ to $-\vec{d} = -[-3, 0] = [3, 0] = \vec{c}$, co potwierdza poprawność rozwiązania.
Weryfikacja algebraiczna i podsumowanie wyników:
Sprawdzamy sumę wektorów przeciwnych wyznaczonych w podpunkcie b: $$ \vec{c} + \vec{d} = [3 + (-3), 0 + 0] = [0, 0] = \vec{0} $$ Suma wektora i wektora do niego przeciwnego jest wektorem zerowym $\vec{0}$, co ostatecznie dowodzi poprawności wyznaczonych parametrów.

Odpowiedź:
a) $m = 2,\ n = -3$

b) $m = 2,\ n = 1$

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Oblicz współrzędne wektora $\overrightarrow{AB}$, jeśli: a) $A(\sqrt{5}, \sqrt{3}), B(\sqrt{5}, -2\sqrt{3})$ b) $A\left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{6}\right), B\left(\frac{1}{3}, \frac{5}{6}\right)$