Twierdzenie cosinusów kartkówka LiczBit

15.2 Twierdzenie cosinusów

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (4 pkt)

Dane są długości boków $a$ i $b$ oraz kąt między tymi bokami równy $\gamma$. Oblicz długość trzeciego boku, jeśli:

a) $a = 4$, $b = 6$, $\gamma = 120^\circ$

b) $a = 3\sqrt{2}$, $b = 4$, $\gamma = 45^\circ$

Wskazówki:

Mając dane dwa boki oraz kąt zawarty między nimi, długość trzeciego boku wyznaczamy bezpośrednio z twierdzenia cosinusów: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$.
Dla kąta rozwartego skorzystaj ze wzoru redukcyjnego: $\cos(180^\circ - x) = -\cos x$, w szczególności $\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2}$.
Długość boku trójkąta jest wielkością dodatnią, dlatego wybieramy wyłącznie dodatni pierwiastek kwadratowy: $c = \sqrt{c^2}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i twierdzenie cosinusów:
W trójkącie kąt $\gamma$ leży między bokami o długościach $a$ oraz $b$, a naprzeciwko niego znajduje się poszukiwany trzeci bok $c$.

Z twierdzenia cosinusów wynika zależność: $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma $$
Podpunkt a) Obliczenie długości boku $c$, gdy $a = 4$, $b = 6$ oraz $\gamma = 120^\circ$:
Wartość cosinusa kąta rozwartego $120^\circ$ wyznaczamy za pomocą wzoru redukcyjnego: $$ \cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2} $$ Podstawiamy dane liczbowe do wzoru twierdzenia cosinusów: $$ \begin{aligned} c^2 &= 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos 120^\circ \\[8pt] &= 16 + 36 - 48 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) \\[8pt] &= 52 + 24 \\[8pt] &= 76 \end{aligned} $$ Ponieważ długość boku $c > 0$, wyciągamy pierwiastek kwadratowy i wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka: $$ \begin{aligned} c &= \sqrt{76} \\[8pt] &= \sqrt{4 \cdot 19} \\[8pt] &= 2\sqrt{19} \end{aligned} $$
Podpunkt b) Obliczenie długości boku $c$, gdy $a = 3\sqrt{2}$, $b = 4$ oraz $\gamma = 45^\circ$:
Wartość funkcji cosinus dla kąta $45^\circ$ wynosi: $$ \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$ Stosujemy twierdzenie cosinusów dla podanych danych: $$ \begin{aligned} c^2 &= (3\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \cos 45^\circ \\[8pt] &= (9 \cdot 2) + 16 - 24\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\[8pt] &= 18 + 16 - 24 \cdot \dfrac{2}{2} \\[8pt] &= 34 - 24 \\[8pt] &= 10 \end{aligned} $$ Wyznaczamy długość boku $c$: $$ c = \sqrt{10} $$

Odpowiedź:
a) $c = 2\sqrt{19}$

b) $c = \sqrt{10}$

Zadanie 2 (3 pkt)

Boki trójkąta $ABC$ mają długość: $|AB| = 7\text{ cm}$, $|BC| = 5\text{ cm}$, $|AC| = 4\text{ cm}$. Oblicz cosinusy kątów tego trójkąta. Czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny, czy rozwartokątny?

Wskazówki:

Gdy znane są długości wszystkich trzech boków trójkąta, cosinus dowolnego kąta obliczamy bezpośrednio z twierdzenia cosinusów: kwadrat boku leżącego naprzeciw danego kąta jest równy sumie kwadratów pozostałych dwóch boków pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta między nimi.
Przekształcona postać twierdzenia cosinusów dla kąta $\alpha$ naprzeciw boku $a$: $$ \cos \alpha = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $$
O rodzaju trójkąta (ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny) decyduje znak cosinusa kąta o największej mierze (czyli leżącego naprzeciw najdłuższego boku):
- jeśli $\cos > 0$, to kąt jest ostry ($< 90^\circ$),
- jeśli $\cos = 0$, to kąt jest prosty ($= 90^\circ$),
- jeśli $\cos < 0$, to kąt jest rozwarty ($> 90^\circ$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i przypisanie oznaczeń boków oraz kątów:
W trójkącie $ABC$ oznaczamy długości boków naprzeciw odpowiednich wierzchołków: $$ a = |BC| = 5\text{ cm}, \quad b = |AC| = 4\text{ cm}, \quad c = |AB| = 7\text{ cm} $$ Kąty leżące naprzeciw tych boków to odpowiednio $\angle A$, $\angle B$ oraz $\angle C$.
Obliczenie cosinusa kąta $A$:
Bok $a = |BC| = 5$ leży naprzeciw kąta $A$. Zapisujemy twierdzenie cosinusów: $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\angle A) $$ Podstawiamy dane liczbowe i wyznaczamy $\cos(\angle A)$: $$ \begin{aligned} 5^2 &= 4^2 + 7^2 - 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cos(\angle A) \\[8pt] 25 &= 16 + 49 - 56 \cos(\angle A) \\[8pt] 25 &= 65 - 56 \cos(\angle A) \\[8pt] 56 \cos(\angle A) &= 65 - 25 \\[8pt] 56 \cos(\angle A) &= 40 \\[8pt] \cos(\angle A) &= \dfrac{40}{56} = \dfrac{5}{7} \end{aligned} $$
Obliczenie cosinusa kąta $B$:
Bok $b = |AC| = 4$ leży naprzeciw kąta $B$. Z twierdzenia cosinusów zachodzi równość: $$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\angle B) $$ Podstawiamy dane liczbowe i wyznaczamy $\cos(\angle B)$: $$ \begin{aligned} 4^2 &= 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos(\angle B) \\[8pt] 16 &= 25 + 49 - 70 \cos(\angle B) \\[8pt] 16 &= 74 - 70 \cos(\angle B) \\[8pt] 70 \cos(\angle B) &= 74 - 16 \\[8pt] 70 \cos(\angle B) &= 58 \\[8pt] \cos(\angle B) &= \dfrac{58}{70} = \dfrac{29}{35} \end{aligned} $$
Obliczenie cosinusa kąta $C$:
Bok $c = |AB| = 7$ jest najdłuższym bokiem trójkąta i leży naprzeciw kąta $C$. Z twierdzenia cosinusów otrzymujemy: $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\angle C) $$ Podstawiamy wartości boków: $$ \begin{aligned} 7^2 &= 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos(\angle C) \\[8pt] 49 &= 25 + 16 - 40 \cos(\angle C) \\[8pt] 49 &= 41 - 40 \cos(\angle C) \\[8pt] 40 \cos(\angle C) &= 41 - 49 \\[8pt] 40 \cos(\angle C) &= -8 \\[8pt] \cos(\angle C) &= -\dfrac{8}{40} = -\dfrac{1}{5} \end{aligned} $$
Określenie rodzaju trójkąta:
Analizujemy znaki obliczonych cosinusów: $$ \cos(\angle A) = \dfrac{5}{7} > 0 \implies |\angle A| < 90^\circ $$ $$ \cos(\angle B) = \dfrac{29}{35} > 0 \implies |\angle B| < 90^\circ $$ $$ \cos(\angle C) = -\dfrac{1}{5} < 0 \implies |\angle C| > 90^\circ $$ Ponieważ cosinus kąta $C$ jest liczbą ujemną, kąt ten jest rozwarty ($|\angle C| \in (90^\circ, 180^\circ)$). Trójkąt mający jeden kąt rozwarty jest trójkątem rozwartokątnym.

Odpowiedź:
$\cos(\angle A) = \dfrac{5}{7}$

$\cos(\angle B) = \dfrac{29}{35}$

$\cos(\angle C) = -\dfrac{1}{5}$

Trójkąt jest rozwartokątny.

Zadanie 3 (3 pkt)

Dane są długości boków trójkąta: $a = 7\text{ cm}$, $b = 8\text{ cm}$, $c = 13\text{ cm}$. Sprawdź, czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny. Podaj miarę największego kąta tego trójkąta.

Wskazówki:

W każdym trójkącie kąt o największej mierze leży naprzeciwko najdłuższego boku. W tym przypadku najdłuższym bokiem jest $c = 13\text{ cm}$, zatem największym kątem jest kąt $\gamma$.
Aby wyznaczyć cosinus największego kąta, zastosuj twierdzenie cosinusów: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$.
Znak wartości $\cos \gamma$ jednoznacznie określa rodzaj trójkąta:
- jeśli $\cos \gamma > 0$, to trójkąt jest ostrokątny,
- jeśli $\cos \gamma = 0$, to trójkąt jest prostokątny,
- jeśli $\cos \gamma < 0$, to trójkąt jest rozwartokątny.
Do wyznaczenia dokładnej miary kąta rozwartego skorzystaj ze wzoru redukcyjnego: $\cos(180^\circ - x) = -\cos x$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i ustalenie położenia największego kąta:
Porównujemy długości boków trójkąta: $7 < 8 < 13$. Najdłuższym bokiem trójkąta jest bok o długości $c = 13\text{ cm}$. Z podstawowych własności trójkąta wynika, że naprzeciwko najdłuższego boku leży kąt o największej mierze (kąt $\gamma$).
Obliczenie cosinusa kąta $\gamma$ z twierdzenia cosinusów:
Zapisujemy twierdzenie cosinusów dla boku $c$: $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma $$ Podstawiamy dane liczbowe ($a = 7$, $b = 8$, $c = 13$): $$ \begin{aligned} 13^2 &= 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos \gamma \\[8pt] 169 &= 49 + 64 - 112 \cos \gamma \\[8pt] 169 &= 113 - 112 \cos \gamma \end{aligned} $$ Przenosimy wyrazy i wyznaczamy wartość $\cos \gamma$: $$ \begin{aligned} 112 \cos \gamma &= 113 - 169 \\[8pt] 112 \cos \gamma &= -56 \\[8pt] \cos \gamma &= -\dfrac{56}{112} = -\dfrac{1}{2} \end{aligned} $$
Określenie rodzaju trójkąta i wyznaczenie miary kąta $\gamma$:
Ponieważ $\cos \gamma = -\dfrac{1}{2} < 0$, kąt $\gamma$ jest kątem rozwartym ($\gamma \in (90^\circ, 180^\circ)$). Trójkąt posiadający kąt rozwarty jest trójkątem rozwartokątnym.

(Wniosek ten potwierdza również bezpośrednie porównanie kwadratu najdłuższego boku z sumą kwadratów dwóch pozostałych boków: $c^2 = 169$, natomiast $a^2 + b^2 = 49 + 64 = 113$. Ponieważ $c^2 > a^2 + b^2$, trójkąt jest rozwartokątny).

Aby wyznaczyć miarę kąta $\gamma$, korzystamy ze znajomości wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych oraz wzoru redukcyjnego: $$ \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2} $$ $$ \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha \implies \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2} $$ Zatem: $$ \gamma = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $$

Odpowiedź:
Trójkąt jest rozwartokątny, a miara jego największego kąta wynosi $120^\circ$.

Zadanie 4 (3 pkt)

Boki trójkąta $ABC$ mają długość: $|BC| = \sqrt{10}$, $|AB| = \sqrt{3} - 1$ oraz $|AC| = \sqrt{3} + 1$. Oblicz miarę kąta przy wierzchołku $A$.

Wskazówki:

Bok $BC$ leży naprzeciwko kąta przy wierzchołku $A$. Zastosuj twierdzenie cosinusów: $|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2|AB| \cdot |AC| \cos(\angle A)$.
Podczas podnoszenia boków do kwadratu oraz obliczania ich iloczynu skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia:
- kwadrat sumy: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$,
- kwadrat różnicy: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$,
- różnica kwadratów: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Ujemna wartość cosinusa oznacza, że kąt jest rozwarty ($> 90^\circ$). Zastosuj wzór redukcyjny: $\cos(180^\circ - x) = -\cos x$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza relacji w trójkącie:
W trójkącie $ABC$ kąt przy wierzchołku $A$ leży naprzeciw boku $BC$, a jego ramionami są boki $AB$ i $AC$.
Obliczenie kwadratów długości boków oraz iloczynu ramion kąta:
Podnosimy długości boków do kwadratu: $$ |BC|^2 = (\sqrt{10})^2 = 10 $$ Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy dla boku $AB$: $$ \begin{aligned} |AB|^2 &= (\sqrt{3} - 1)^2 \\[8pt] &= (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 \\[8pt] &= 3 - 2\sqrt{3} + 1 \\[8pt] &= 4 - 2\sqrt{3} \end{aligned} $$ Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy dla boku $AC$: $$ \begin{aligned} |AC|^2 &= (\sqrt{3} + 1)^2 \\[8pt] &= (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 \\[8pt] &= 3 + 2\sqrt{3} + 1 \\[8pt] &= 4 + 2\sqrt{3} \end{aligned} $$ Suma kwadratów boków $AB$ i $AC$ wynosi: $$ \begin{aligned} |AB|^2 + |AC|^2 &= (4 - 2\sqrt{3}) + (4 + 2\sqrt{3}) \\[8pt] &= 8 \end{aligned} $$ Obliczamy podwojony iloczyn boków $|AB|$ i $|AC|$, stosując wzór na różnicę kwadratów: $$ \begin{aligned} 2 \cdot |AB| \cdot |AC| &= 2 \cdot (\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1) \\[8pt] &= 2 \cdot \left((\sqrt{3})^2 - 1^2\right) \\[8pt] &= 2 \cdot (3 - 1) \\[8pt] &= 2 \cdot 2 = 4 \end{aligned} $$
Wyznaczenie miary kąta $A$ z twierdzenia cosinusów:
Zgodnie z twierdzeniem cosinusów: $$ |BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2|AB| \cdot |AC| \cos(\angle A) $$ Wstawiamy wyliczone wartości: $$ \begin{aligned} 10 &= 8 - 4 \cos(\angle A) \\[8pt] 4 \cos(\angle A) &= 8 - 10 \\[8pt] 4 \cos(\angle A) &= -2 \\[8pt] \cos(\angle A) &= -\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2} \end{aligned} $$ Kąt wewnętrzny trójkąta spełnia warunek $|\angle A| \in (0^\circ, 180^\circ)$. Wiemy, że dla kąta ostrego zachodzi: $$ \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2} $$ Wykorzystując wzór redukcyjny: $$ \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2} $$ Otrzymujemy ostateczną miarę kąta: $$ |\angle A| = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $$

Odpowiedź:
$|\angle A| = 120^\circ$

Zadanie 5 (3 pkt)

W trójkącie $ABC$ dane są długości boków $|AC| = 5\text{ cm}$ i $|BC| = 8\text{ cm}$. Wiedząc, że sinus kąta przy wierzchołku $C$ jest równy $\dfrac{\sqrt{15}}{4}$, oblicz obwód tego trójkąta.

Wskazówki:

Aby wyznaczyć długość trzeciego boku $|AB|$ z twierdzenia cosinusów, potrzebujemy wartości $\cos(\angle C)$. Wyznacz ją z jedynki trygonometrycznej: $\sin^2(\angle C) + \cos^2(\angle C) = 1$.
Kąt wewnętrzny trójkąta spełnia warunek $|\angle C| \in (0^\circ, 180^\circ)$. W tym przedziale cosinus może być dodatni (gdy kąt jest ostry) lub ujemny (gdy kąt jest rozwarty), co prowadzi do dwóch możliwych rozwiązań zadania.
Zastosuj twierdzenie cosinusów: $|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2|AC| \cdot |BC| \cos(\angle C)$.
Obwód trójkąta to suma długości wszystkich jego boków: $\text{Obw} = |AB| + |BC| + |AC|$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wyznaczenie wartości $\cos(\angle C)$ z jedynki trygonometrycznej:
W trójkącie $ABC$ dany kąt leży przy wierzchołku $C$, między ramionami o długościach $|AC| = 5\text{ cm}$ oraz $|BC| = 8\text{ cm}$. Bok leżący naprzeciw tego kąta to $|AB|$.

Stosujemy tożsamość trygonometryczną: $$ \sin^2(\angle C) + \cos^2(\angle C) = 1 $$ Podstawiamy wartość $\sin(\angle C) = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$: $$ \begin{aligned} \left(\dfrac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 + \cos^2(\angle C) &= 1 \\[8pt] \dfrac{15}{16} + \cos^2(\angle C) &= 1 \\[8pt] \cos^2(\angle C) &= 1 - \dfrac{15}{16} \\[8pt] \cos^2(\angle C) &= \dfrac{1}{16} \end{aligned} $$ Ponieważ kąt $C$ jest kątem trójkąta ($|\angle C| \in (0^\circ, 180^\circ)$), jego cosinus może przyjmować zarówno wartość dodatnią, jak i ujemną: $$ \cos(\angle C) = \dfrac{1}{4} \quad \text{lub} \quad \cos(\angle C) = -\dfrac{1}{4} $$
Przypadek I – gdy kąt $C$ jest ostry ($\cos(\angle C) = \dfrac{1}{4}$):
Obliczamy długość boku $|AB|$ za pomocą twierdzenia cosinusów: $$ |AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2|AC| \cdot |BC| \cos(\angle C) $$ Podstawiamy dane liczbowe: $$ \begin{aligned} |AB|^2 &= 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \dfrac{1}{4} \\[8pt] &= 25 + 64 - 80 \cdot \dfrac{1}{4} \\[8pt] &= 89 - 20 \\[8pt] &= 69 \end{aligned} $$ Ponieważ długość odcinka musi być dodatnia: $$ |AB| = \sqrt{69}\text{ cm} $$ (Wartość $\sqrt{69} \approx 8{,}31$ spełnia warunek nierówności trójkąta: $5 + 8 > \sqrt{69}$).

Obliczamy obwód trójkąta w pierwszym przypadku: $$ \begin{aligned} \text{Obw}_1 &= |AB| + |BC| + |AC| \\[8pt] &= \sqrt{69} + 8 + 5 \\[8pt] &= 13 + \sqrt{69}\text{ cm} \end{aligned} $$
Przypadek II – gdy kąt $C$ jest rozwarty ($\cos(\angle C) = -\dfrac{1}{4}$):
Podstawiamy ujemną wartość cosinusa do twierdzenia cosinusów: $$ \begin{aligned} |AB|^2 &= 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) \\[8pt] &= 25 + 64 + 80 \cdot \dfrac{1}{4} \\[8pt] &= 89 + 20 \\[8pt] &= 109 \end{aligned} $$ Wyznaczamy długość boku $|AB|$: $$ |AB| = \sqrt{109}\text{ cm} $$ (Wartość $\sqrt{109} \approx 10{,}44$ spełnia warunek nierówności trójkąta: $5 + 8 = 13 > \sqrt{109}$).

Obliczamy obwód trójkąta w drugim przypadku: $$ \begin{aligned} \text{Obw}_2 &= |AB| + |BC| + |AC| \\[8pt] &= \sqrt{109} + 8 + 5 \\[8pt] &= 13 + \sqrt{109}\text{ cm} \end{aligned} $$

Odpowiedź:
I przypadek: $13 + \sqrt{69}\text{ cm}$

II przypadek: $13 + \sqrt{109}\text{ cm}$

Grupa B

Zadanie 1 (4 pkt)

Dane są długości boków $a$ i $b$ oraz kąt między tymi bokami równy $\gamma$. Oblicz długość trzeciego boku, jeśli: a) $a = 5, b = 8, \gamma = 60^\circ$ b) $a = \sqrt{2}, b = 10, \gamma = 45^\circ$