WSKAZÓWKI Równanie ogólne prostej ma postać $Ax + By + C = 0$. Dwie proste o równaniach $k: A_1x + B_1y + C_1 = 0$ oraz $m: A_2x + B_2y + C_2 = 0$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:$$A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = 0$$Jeśli wolisz postać kierunkową $y = ax + b$, to proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$:$$a_1 \cdot a_2 = -1$$ROZWIĄZANIE a) $k: 3x + 4y - 1 = 0$ $m: -8x + 6y + 5 = 0$ Wypisujemy współczynniki prostej $k$: $A_1 = 3$ $B_1 = 4$ Wypisujemy współczynniki prostej $m$: $A_2 = -8$ $B_2 = 6$ Podstawiamy do warunku prostopadłości:$$3 \cdot (-8) + 4 \cdot 6 = -24 + 24 = 0$$Suma wynosi $0$, zatem proste $k$ i $m$ są prostopadłe. b) $k: 2x - 9 = 0$ $m: 7y + 4 = 0$ W prostej $k$ brakuje składnika z $y$, zatem współczynnik $B_1$ wynosi $0$: $A_1 = 2$ $B_1 = 0$ W prostej $m$ brakuje składnika z $x$, zatem współczynnik $A_2$ wynosi $0$: $A_2 = 0$ $B_2 = 7$ Podstawiamy do warunku:$$2 \cdot 0 + 0 \cdot 7 = 0 + 0 = 0$$Suma wynosi $0$, zatem proste $k$ i $m$ są prostopadłe. c) $k: 6x - 10y + 12 = 0$ $m: 5x - 3y + 1 = 0$ Wypisujemy współczynniki: $A_1 = 6$ $B_1 = -10$ $A_2 = 5$ $B_2 = -3$ Podstawiamy do warunku:$$6 \cdot 5 + (-10) \cdot (-3) = 30 + 30 = 60$$Ponieważ $60 \neq 0$, proste $k$ i $m$ nie są prostopadłe. d) $k: -\frac{1}{2}x - \frac{2}{5}y + 3 = 0$ $m: 4x - 5y - 1 = 0$ Wypisujemy współczynniki: $A_1 = -\frac{1}{2}$ $B_1 = -\frac{2}{5}$ $A_2 = 4$ $B_2 = -5$ Podstawiamy do warunku:$$(-\frac{1}{2}) \cdot 4 + (-\frac{2}{5}) \cdot (-5)$$Obliczamy pierwszy iloczyn:$$(-\frac{1}{2}) \cdot 4 = -\frac{4}{2} = -2$$Obliczamy drugi iloczyn (minus razy minus daje plus):$$(-\frac{2}{5}) \cdot (-5) = \frac{10}{5} = 2$$Sumujemy wyniki:$$-2 + 2 = 0$$Suma wynosi $0$, zatem proste $k$ i $m$ są prostopadłe.